Một số bài toán về hypocycloid

61

Những đẳng thức này được đọc như sau: “bảy phần mười bằng mười lần bảy”, v.v.

Như một bài tập, tôi khuyên bạn nên chứng minh tính đúng của các đẳng thức sau: $2_7 + 6_7 = 11_7$, $4_7 + 5_7 = 12_7$, $11_7 + 16_7 = 30_7$, $3_7^2 = 12_7$, $4_7 \times 6_7 = 33_7$, $101_7 : 34_7 = 2_7$.

Ngoài ra, hãy cố gắng tạo các bảng để cộng và nhân các số có một chữ số trong hệ thống số bảy.

Bây giờ chúng ta hãy thử tìm hiểu xem đẳng thức nào có thể đúng trong hệ thống nào

$$7 + 8 = 16.$$

Tôi nghĩ chính bạn đã nói rằng cơ sở của hệ thống này phải là số $a$, cộng với sáu số một sẽ có tổng cộng là mười lăm. Thật vậy, $16_a$ có nghĩa là tổng của $1 \times a^1 + 6 \times a^0$, tức là $16_a = a_{10} + 6_{10}$. Mặt khác, $7_a + 8_a = 7_{10} + 8_{10} = 15_{10}$, và do đó phải có $a_{10} + 6_{10} = 15_{10}$. Từ đây không khó để tìm thấy $a$ - nó bằng chín.

Vì vậy, đẳng thức $7 + 8 = 16$ đúng trong hệ chín số, $7_9 + 8_9 = 16_9$. Đây là đáp số cho câu hỏi được đặt ra trong tiêu đề.

Hãy để tôi chấm dứt chuyện này, Seryozha thân mến. Đúng vậy, tôi định nói với bạn nhiều hơn về hệ thống số kép, áp dụng các mối quan hệ nhiều người mới, nhưng tôi nghĩ sẽ tốt hơn nếu chúng ta nói về nó vào lần sau, nhưng bây giờ tôi khuyên bạn nên xem cuốn sách của S. V. Fomin “Hệ thống số” (loạt bài “Bài giảng phổ biến về toán học”, M., “Khoa học”, 1975).

Tôi chúc bạn thành công! Hẹn gặp lại các bạn ở trang «Kvant».

R.S. Nếu có điều gì bạn thấy chưa rõ ràng, hãy viết thư, tôi sẽ sẵn lòng đáp số.

A. D. Bendukidze

Một vài bài toán về hypocyclopedes

Bài toán 1. Chứng minh rằng với $k=2$ các đơn bội *) là đường kính của một hình tròn cố định (Nasreddin - Konernik - Ferrari meorem).

Thực tế hình học tuyệt đẹp từ bài toán này không dễ hình dung lắm. Nó đóng vai trò là nguồn gốc của nhiều hình học phổ biến bài toán.

Ví dụ: để các đầu của đoạn $AB$ trượt dọc theo các đường thẳng cắt nhau tại điểm $O$. Nếu chúng ta cho tất cả các mặt phẳng vào chuyển động này của điểm (coi nó là một tấm đặc), thì (nhờ bài toán 1) chúng ta thu được chuyển động tương tự như khi một vòng tròn đang lăn, bị giới hạn bởi một vòng tròn ngoại tiếp tam giác $AOB$, dọc theo cạnh trong của vòng tròn với tâm ở điểm $O$ gấp đôi bán kính.

Bài toán 2. Tìm quỹ đạo mà trong quá trình chuyển động được mô tả sẽ có các chuyển động:

a) chuỗi hình tròn ngoại tiếp đường tròn $AOB$;

b) điểm $C$, biểu thị rằng $O$ và $C$ nằm đối diện nhau của đoạn $AB$ và $ACB + AOB = \pi$.

Một hypocyclopede ở $k=4$ được gọi là astrude.

Bài toán 3. Chúng ta hãy vẽ đường kính của hình tròn cố định (bán kính $R$) qua các đỉnh bằng một thanh ngang. Let’s take an arbitrary point with astrude $B$ and draw a tangent to it at this point until it intersects with the diameters at points $E$ and $F$. Chứng minh rằng đường kính $EF$ không phụ thuộc vào việc chọn điểm $B$ và bằng $R$.

*) Để biết định nghĩa về hypocyclopeda, xem bài viết của S. G. Verov “Tangents to roulettes”, «Kvant», 1975, No. 5, p. 30.