Несколько задач о гипоциклоидах

61

Читаются эти равенства следующим образом: «семь десятиное равно десяти семеричному» и т. д.

Предлагаю тебе в качестве упражнения доказать истинность следующих равенств: $2_7 + 6_7 = 11_7$, $4_7 + 5_7 = 12_7$, $11_7 + 16_7 = 30_7$, $3_7^2 = 12_7$, $4_7 \times 6_7 = 33_7$, $101_7 : 34_7 = 2_7$.

Попробуйте также составить таблицы сложения и умножения однозначных чисел в семеричной системе чиселения.

А теперь попытаемся выяснить, в какой же системе может быть верным равенство

$$7 + 8 = 16.$$

Думаю, ты сам уже сообщил, что основанием этой системы должно быть такое число $a$, которое, сложенное с шестю единицами, в сумме дает пятнадцать. В самом деле, ведь $16_a$ означает сумму $1 \times a^1 + 6 \times a^0$, т. е. $16_a = a_{10} + 6_{10}$. С другой стороны, $7_a + 8_a = 7_{10} + 8_{10} = 15_{10}$, и поэтому должно быть $a_{10} + 6_{10} = 15_{10}$. Отсюда уже нетрудно найти $a$ — оно равно девяти.

Итак, равенство $7 + 8 = 16$ верно в девятеричной системе чиселения, $7_9 + 8_9 = 16_9$. Это и есть ответ на вопрос, поставленный в заголовке.

На этом, дорогой Сережа, разреши поставить точку. Правда, я собирался расссказать тебе еще о двойной системе чиселения, применять новый многогих отношения, но думаю, будет лучше, если мы о ней поговорим в следующий раз, а пока я советую тебе посмотреть книгу С. В. Фомина «Системы чиселения» (серия «Популярные лекции по математике», М., «Наука», 1975).

Желаю успеxa! До новых встреч на страницах «Кванта».

Р. S. Если тебе что-нибудь показется неясным, напиши, я с удовлетворением ответу.

А. Д. Бендукидзе

Несколько задач о гипоциклопедах

Задача 1. Докажите, что при $k=2$ единоклойды *) являются диаметрами неподвижного круга (меорема Насреддина — Конерника — Феррари).

Красивый геометрический факт из этой задачи не очень легко представить наглядно. Он служит источником многогих популярных геометрических задач.

Пусть, например, концы отрезка $AB$ скольят по прямым, пересекающимся в точке $O$. Если вовлечь в это движение точки все плоскости (считая ее твердой пластиной), то (в силу задачи 1) мы получим то же движение, что и при качении круга, ограниченной окружностью, описанной вокруг треугольника $AOB$, по внутренней стороне окружности с центром в точке $O$ вдвое большего радиуса.

Задача 2. Найдитетрактории, по которым при описанной движении будут движения:

a) цепир окружности, описанной вокруг круге $AOB$;

b) точка $C$, макая, что $O$ и $C$ находится по разные стороны отрезка $AB$ и $ACB + AOB = \pi$.

Гипоциклопеда при $k=4$ называется астрюдой.

Задача 3. Проведем диаметры неподвижного круга (радуса $R$) через вершины астрюдой. Возьмем произвольную точку астрюдой $B$ и проведем касательную к ней в этой точке до пересечения с диаметрами в точках $E$ и $F$. Докажите, что диаметра $EF$ не зависит от выбора точки $B$ и равна $R$.

*) Определение гипоциклопеды см. в статье С. Г. Верова «Касательные к рулеттам», «Квант», 1975, № 5, с. 30.