Конструирование уравнений по графикам функций

54

Конструирование уравнений по графикам функций

Необходимость конструкирования уравнений функций воззникает при решении различных вопросов. Встречаются такие задачи и в математике, и в физике, и что особенно важно, в современной технике. В этой статье показано, как с помощью уравнения элематриных функций [уравнение прямой, парабольы, синусоиды] можно описать графики более сложных зависимостей, встречающихся в школьном курсе физики. Точнее, в тех его разделах, где расссказывается о периодических процессах.

Вспомним сначала несколько важных свойств графиков функций.

1. Если график функции $F_1(x)$ есть сдинитый на $|c|$ единиц вверх или вниз вдоль оси ordinат график функции $f(x)$, $x \in [a, b]$, то уравнение функции $F_1(x)$ имеет вид

$$F_1(x) \quad f(x) \pm |c|, \quad x \in [a, b]$$

причем, если график сдинитует вверх, следует брать знак «+», а если вниз — знак «-».

2. Если график функции $F_2(x)$ есть сдинитый на $|c|$ единиц влево или вправо вдоль оси абсцисс график функции $f(x)$, $x \in [a, b]$, то уравнение функции $F_2(x)$ имеет вид

$$F_2(x) - f(x \pm |c|), \quad x \in [a \mp |c|, b \mp |c|]$$

причем верхние знаки берутся в случае, когда график сдинитует влево, а нижние — когда сдинитует вправо.

3. Если график функции $F(x)$ симметричен относительно оси абсцисс график функции $f(x)$, $x \in [a, b]$, то уравнение $F(x)$ имеет вид

$$F(x) - f(x), \quad x \in [a, b]$$

Рассмотрим теперь некоторые примеры.

Рис. 1.

Рис. 2.

«Пилюобразное» направление

Попробуем, пользоваться приведенными выше свойствами графиков функции, описать «пилюобразное» направление (рис. 1). направление такого вида подается, например, на отклоняющие пластины электронной трубки осцилографа. Для «пилюобразного» направления характерно, что время $T$ его нарастания велико по сравнению со временем спада $t$. Поэтому графикаски изменение направления во время можно представить в виде линии, изображенной на рисунке 2. Однако в этом случае возникает необходимость в точках

$$t = \frac{T}{2} (2n + 1),$$

$n$ — целое число. Чтобы избиться от неоднозначности, заменим «пилюобразную» линio графиком функции, вообще не определяной в точках

$$t = \frac{T}{2} (2n + 1),$$

или графиком функции, определяной в этих точках слева или справа (рис. 3, $a$, $b$, $\theta$).

Для получения управления периодической функции $u(t)$ измененной на рисунке 3, $a$, исследуем ее при изменении аргумента в пределах одного периода, например, $\left(-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\right)$.

В этом интервале график периодической функции $u(t)$ совпадает с графиком функции $u_0 = f(t) = t^*$). Сдвинем теперь график $u_0$ вдоль оси абсцисс на один период вправа (красная линия на рисунке). тогда получим новую функцию $u_1 = f(t - T) = t - T$, причем промежуток $\left(-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\right)$ перейдет в промежуток $\left(\frac{T}{2}, \frac{3}{2} T\right)$. Смезая график функции $u_0$ вдоль оси абсцисс на целое число $n$ периодов, всякий

$$*) \text{Точнее, } f(t) = At, \text{ где } A = 1 \ \theta/c \text{-размерный коэффициент.}$$

раз при фиксированном $n$ будем получать новую функцию

$$u_n = f(t - nT) = t - nT,$$

$$t \in \left(\frac{T}{2} (2n - 1), \frac{T}{2} (2n + 1)\right).$$

Совокупность этих функций при $n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots$ составляет уравнение исключой функции $u(t)$.

Если период функции $T = \pi$ секунд, то ее уравнение можно записать по-ному:

56

отрезки прямых, параллельные оси ordinат. Их уравнения:

$$t(u) = \frac{T}{2}(2n+1),$$
$$u \in \left[-\frac{T}{2}, \frac{T}{2}\right], \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$$

Уравнение пути

На рисунке 4 приведен график пути, проходимо точкой, движущейся прямойно.
Сконструируем уравнение пути *).

Очевидно, что график $S(t)$ составлен из участков параболы $S_\alpha = at^2$, $t \in \left[0, \frac{T}{2}\right]^{**}$. Проделаем следующие преобразования:

1. ветвь ($\alpha$) отрезим симметрично относительно оси ordinат — получим ветвь ($\beta$): $S_\beta = at^2$, $t \in \left[-\frac{T}{2}, 0\right]$;

2. ветвь ($\beta$) отрезим симметрично относительно оси абсцисс — получим ветвь ($\gamma$): $S_\gamma = at^2$, $t \in \left[-\frac{T}{2}, 0\right]$;

3. переместим ветвь ($\gamma$) на $T$ вправо и на $\frac{aT^2}{2}$ вверх — получим ветвь ($\delta$): $S_\delta = -a(t-T)^2 + \frac{aT^2}{2}$, $t \in \left[\frac{T}{2}, T\right]$.

Перемещая ветвь ($\alpha$) и ($\delta$) на $nT$ вправо и на $\frac{aT^2}{2}$ вверх, при переменном $n = 0, 1, 2, \ldots$ будем иметь

$$S(t) = \begin{cases} a(t-nT)^2 + n\frac{aT^2}{2}, \\ t \in [nT, \frac{T}{2} + nT]; \\ -a[t-(n+1)T]^2 + (n+1)\frac{aT^2}{2}, \\ t \in \left[\frac{T}{2} + nT, (n+1)T\right]. \end{cases}$$

*) См. «Квант», 1973, № 11, с. 60.
**) Здесь $a$ — коэффициент пропорциональноности. Если точка движется сускорением $b$, то $a = b/2$

57

Рис. 5.

Рис. 6.

Рис. 7.

Рис. 8.

Рис. 9.

Если преобразовать вторую часть гак:

$$--a\left[\left(t-nT-\frac{T}{2}\right)-\frac{T}{2}\right]^2+\frac{aT^2}{2}+$$

$$+n\frac{aT^2}{2}=-a\left[t-(2n+1)\frac{T}{2}\right]^2+$$

$$+aT\left[t--(2n+1)\frac{T}{2}\right]-\frac{aT^2}{4}+$$

$$+\frac{aT^2}{2}+n\frac{aT^2}{2}=-a\left[t-(2n+1)\frac{T}{2}\right]^2+$$

$$+aT\left[t-(2n+1)\frac{T}{2}\right]+\frac{aT^2}{4}(2n+1),$$

то уравнение пути можно записать так:

$$S(t)=(-1)^m a\left(t-m\frac{T}{2}\right)^2+$$

$$+\frac{1-(-1)^m}{2}aT\left(t-m\frac{T}{2}\right)+m\frac{aT^2}{4},$$

$$t\in\left[m\frac{T}{2},(m+1)\frac{T}{2}\right], m=0,1,2,\dots$$

Упражнения

1. Напишите уравнения линий, изображенных на рисунках 5, 6 и 7. Для линии, показанной на рисунке 5, приведите уравнения функций, определенных в точках $t=n\pi$ слева и справа.
2. «Двухтактное» (двухполупериодное) выпрямление переменного тока осуществляется с помощью схемы с двумя электронными лампами-диодами. Если положительные полупериоды тока пройдут через один диод, а отрицательные — через другой, то осциллограмма напряжения будет иметь вид линии, изображенной на рисунке 8. Найдите уравнение этой линии.
3. Однополупериодное выпрямление переменного тока можно осуществить с помощью схемы с одним диодом. Тогда полупериоды одного знака проходят через диод, а полупериоды другого знака не проходят. Осциллограмма напряжения изображена на рисунке 9. Найдите уравнение этой функции.
4. Сконструируйте уравнение функции, график которой (см. рис. 4) на участках $[nT,(n+1)T]$, $n=0,1,2,\dots$ конгруэнтен графику функции

$$y=A\sin x,\ x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$