Задачи М336—М340; Ф348—Ф352

Квант 1975, №8 с. 49-50 Тег W12M

Задачик кванта

Решения задач из этого номера можно посылать не позднее 1 октября 1975 г. по адресу: 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15, издательство «Наука», журнал «Квант». После адреса на конверте написите, решения каких задач вы посылаете, например: «Задачик «Кванта», М336, М337» или «…Ф348». Решения задач по каждому из предметов [математике и физике], а также новые задачи просылать в отдельных конвертах. Задания из разных номеров журнала просылайте также в разных конвертах. В письмо вложите конверт с написанным на нем адресом (в этом конверте вы получите результаты проверки ваших решений). Условия оригинальных задач, предлагаемых для публикации, просылайте в двух экземплярах вместе с вашими решениями этих задач (на конверте помещьте: «Задачик «Кванта», новая задача по физике» или «…новая задача по математике»). После формирования задачи мы обещано указывать, кто предложил нам эту задачу. Разумеется, не все эти задачи публикуются впервые. Наболее трудные задачи отмечены звездочки.

В этом номере «Задачик «Кванта» составлен из задач последней Всесоюзной оптимизации и их обобщений.

Задачи

М 336 — М340; Ф348—Ф352

М336. В плоскости данного конечное множество многоугольников, каждый два из которых имеют общую точку. Докажите, что существует прямая, которая имеет общую точку с каждой из этих многоугольников. (10 кл.)

С. В. Фомин

М337. Дан равносторонний треугольник ABC со стороны длины 1. Первый игрок выбирает точку X на стороне AB, второй — точку Y на стороне BC, затем первый — точку Z на стороне AC.

a) Цель первого игрок — получить треугольник XYZ набольшей площади, второй — набольшей площади. Какую набольшую площадь может обеспечить первый?

b) Цель первого игрок — получить треугольник XYZ набольшeropeimetра, второй — набольшeropeimetра. Какой наименший перimetр может обеспечить первый? (8—9 кл.)

М. Д. Бронштейн

М338. На доске написано несколько нулей, единиц и двое. Разрешаетсястерть две неравные цифры и вместених написать одну цифру, отличную от стертых (2 вместе 0 и 1, 1 вместе 0 и 2, 0 вместе 1 и 2). Докажите, что если в результате нескольких таких операций на доске остаются одна-единственная цифра, то она не зависит от порядка, в которой производились стирания. (8 и 10 кл.)

С. В. Фомин

М339. Дана горизонтальная полоса на плоскости, края которой — паралельные прямые, и n прямых, пересекающих эту полосу. Какые две из этих n прямых пересекаются внутри-

ри полосы и никакие три не проходят через одну точку. Расстоянием все пути, начинающие на нижней кромке полосы, идущее по данным прямым, и заканчивающей на верхней кромке, обладающие таким свойством: иде по такому пути, мы все время поднимаемся вверх: дойдя до точки пересечения прямых, мы обязаны перейти на другую прямую. Докажите, что среди таких путей

a) есть путь, состоящий не менее чем из $n$ отрезков;
b) есть путь, проходящий не более чем по $\frac{n}{2} + 1$ прямым;
b) есть путь, проходящий по всем $n$ прямым. (8—9 кл.)

А. В. Карзанов

M340. В каждую клетку прямогольной таблицы записано вещественное число. Некоторые клетки таблицы называется ее седловой клеткой, если стоящее в ней число не меньше остальных чисел в своей строке.

a) Пусть про таблицу $T$ известно, что любая таблица $2 \times 2$ , получающая в пересечении двух строк и двух столбцов таблицы $T$ , имеетседловую клетку. Докажите, что тогда таблица $T$ также имеетседловую клетку.

b) Пусть $a_1, a_2, \dots, a_m, b_1, b_2, \dots, b_n$ — произвольные числа, $p_1, p_2, \dots, p_m, q_1, q_2, \dots, q_n$ — положительные числа. Докажите, что таблица $m \times n$ , на пересечении $i$ -й строки и $j$ -го столбца которого стоит число $\frac{a_i + b_j}{p_i + q_j}$ , имеетседловую клетку.

Одно из решений задачи 6) можно получить, использую a). Подумайте, однako, как можно решить эту задачу другим способом. (10 кл.)

В. П. Грибере

Ф348. Космический корабль подходит к Луне по параболической траектории, почти касаошейся поверхности Луны. Чтобы перейти на стелющую круговую орбиту (т. е. круговую орбиту, очень близкую к поверхности Луны), в момент набольшого сбижения с Луной включается тормозной двигатель. Определить, насолько изменится скорость корабля при выполнении этого маневра. Ускорение свободного падения на поверхности Луны $g_{\perp} \approx 1,7 \text{ m/c}^2$ , радиус Луны $R_{\perp} \approx 1,7 \cdot 10^6 \text{ m}$ .

Дополнительный вопрос. Попробуйте оценить, какую часть первогоальной массы корабля должна составить сохраенное горючее, если двигатель выбрасывается продукты с относительной скоростью $v = 4 \cdot 10^3 \text{ m/c}$ . (10 кл.)

Ф349. Один киломоль идеального одноатомного газа, находящщегося при нормальных условиях, переводит из состояния 1 в состояние 2 двумя способами: $1 \rightarrow 3 \rightarrow 2$ и $1 \rightarrow 4 \rightarrow 2$ (см. рис. 1). Найти относение количества теплоты, которые необходимо сообщить газу в этих двух процесах. (9 кл.)

Ф350. Найти зависимости падения на прияжении на сопротивлении $R$ в схеме, показанной на рисунке 2, от величины этого сопротивления. Э. д. с. всех источников равны $\mathcal{E}$ , их внутренние сопротивления $r$ . Дiod считать идеальным (его сопротивление