Bài toán M361—M365; F373—F377

50

Bài tập

M361. Hai người chơi trò tiếp theo. Một hình chữ nhật gồm $m \times n$ ô nổi bật trên tờ giấy ca-rô. Lần lượt từng người gạch đi tất cả các ô của hàng ngang hoặc hàng dọc nào đó còn ô chưa gạch chéo. Người nào gạch bỏ ô cuối cùng sẽ thắng.

Ai có thể đảm bảo chiến thắng: người mới bắt đầu hay đối tác của anh ta? (Đáp số, tất nhiên, phụ thuộc vào $m$ và $n$.)
A. Bernard, A. Felshtin, A. Tkachev

M362. Hãy cắt mỗi cạnh của tứ giác lồi $ABCD$ thành ba phần bằng nhau và nối các điểm tương ứng ở các cạnh đối diện bằng các đoạn thẳng (Hình 1). Chứng minh rằng diện tích tứ giác “trung bình” nhỏ hơn 9 lần diện tích tứ giác $ABCD$.
A. Lopshitz

M363. Hai parabol có trục song song cắt nhau tại các điểm $A_0$ và $B_0$. Ở điểm đầu tiên trong số đó, điểm $A_1, \dots, A_{2n}$ được lấy, ở điểm thứ hai - điểm $B_1, \dots, B_{2n}$ sao cho $A_0A_1||B_0B_1, A_1A_2||B_1B_2, \dots, A_{2n-1}A_{2n}||B_{2n-1}B_{2n}$. Chứng minh rằng $A_0B_{2n}||B_0A_{2n}$.
Nechen Kone Kwi

M364. Trong số 16 phi hành gia, bạn cần chọn 4 - phi hành đoàn của tàu vũ trụ. Việc huấn luyện được thực hiện với 4 đội, mỗi đội 4 người

Hình 1.

căn nhà. Có thể thiết kế một lịch trình huấn luyện sao cho hai phi hành gia bất kỳ sẽ ở cùng một phi hành đoàn một lần không?

M365. a) Tổng của nhiều số bằng 1. Tổng lập phương của chúng có thể lớn hơn một không?
b) Có thể chuỗi $a_1 + a_2 + a_3 + \dots$ hội tụ nhưng chuỗi $a_1^3 + a_2^3 + a_3^3 \dots$ thì không?
(Nhớ lại rằng chuỗi $x_1 + x_2 + x_3 + \dots$ được gọi là hội tụ nếu dãy số $S_n = x_1 + x_2 + \dots + x_n$ có giới hạn.)

F373*. Hai quả bi-a, một trong số đó ban đầu bị chôn vùi, chịu va chạm đàn hồi “xiên”. Đường đi qua tâm của các quả bóng khi va chạm tạo thành một góc $60^\circ$ với hướng chuyển động ban đầu của quả bóng đang bay. Trong quá trình va chạm, các quả bóng bị biến dạng và một phần động năng của quả bóng được chuyển thành thế năng biến dạng đàn hồi của các quả bóng, khi các quả bóng tách ra sẽ lại chuyển thành động năng. Xác định số phần năng lượng lớn nhất của quả cầu biến thành năng lượng biến dạng đàn hồi khi va chạm. Các quả bóng được coi là hoàn toàn trơn tru.

F374*. Dưới đáy ly nước có nhiều ống mao dẫn bịt kín ở một đầu và chứa đầy không khí. Động năng của các ống là $d = 0,2$ mm, chiều cao của mực nước trong cốc là $h = 10$ cm. Khi nước sôi, bọt hơi hình thành ở hai đầu hở của ống. Nhiệt độ của nước ở đáy cốc là bao nhiêu nếu áp suất khí quyển là $10^5$ k/$m^2$? Lấy hệ số căng bề mặt của nước bằng 57 dynes/cm. Giả sử áp suất của hơi nước bão hòa ở gần 100°C tăng thêm 27 mm rm. xem khi nhiệt độ tăng thêm 1°.