Kvant
Tài liệu thi cử

Học viện sư phạm quốc gia Moscow được đặt theo tên. V. I. Lênin

Шадрин Г. А., Мур Д. М.

Kvant 1976, số 7tr. 44Thẻ 3LI0

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

44

Toán học

Tùy chọn 1

  1. Một lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong một hình trụ. Đường chéo của lăng kính tạo thành một góc α\alpha với mặt bên thì chiều cao của lăng kính là hh. Tìm bề mặt bên của hình trụ.
  2. Giải phương trình
    ∣1+log⁡13x∣=3+∣2−log⁡13x∣.|1 + \log \frac{1}{3}x| = 3 + |2 - \log \frac{1}{3}x|.
  3. Tìm miền xác định của hàm
    y=(25)x2−3x−2,54+1log⁡3x−log⁡2x.y = \sqrt[4]{\left(\frac{2}{5}\right)^{x^2 - 3x} - 2,5} + \frac{1}{\sqrt{\log_3 x - \log_2 x}}.
  4. Giải phương trình
    sin⁡22x−4cos⁡4x=sin⁡4x.\sin^2 2x - 4 \cos^4 x = \sin 4x.
    Tùy chọn 2
  5. Đáy của lăng trụ đứng là một tam giác vuông có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng RR. Xác định diện tích của phần được tạo thành bởi các đường chéo của các mặt bên lớn nhất, nhỏ nhất và cạnh của đế, nếu các đường chéo nghiêng với đáy một góc α\alpha và 3α3\alpha.
  6. Giải hệ phương trình
    {xy+yx=7xy+1,xxy+yxy=78.\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{7}{\sqrt{xy}} + 1, \\ x \sqrt{xy} + y \sqrt{xy} = 78. \end{cases}
  7. Giải bất đẳng thức
    log⁡4(2x2+x+1)−log⁡2(2x−1)≤−tg74π.\log_4 (2x^2 + x + 1) - \log_2 (2x - 1) \leq -tg \frac{7}{4}\pi.
  8. Giải phương trình
    1+sin⁡2x=2cos⁡3x,\sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{2} \cos 3x,
    nếu π<x<32π\pi < x < \frac{3}{2}\pi.

Vật lý

  1. Với bề mặt của một ngọn núi dài nghiêng một góc α=30∘\alpha = 30^\circ so với đường chân trời, một hòn đá được ném theo phương ngang với tốc độ v0=20v_0 = 20 m/giây. Xác định thời gian tt bay của hòn đá. Bỏ qua sức cản của không khí.

  2. Mật độ điện tích bề mặt của một mặt phẳng vô hạn tích điện đều nằm thẳng đứng là σ=1,73⋅10−4 к/м2\sigma = 1,73 \cdot 10^{-4} \text{ к/м}^2. Một quả bóng có khối lượng m=1m = 1 e treo trên một sợi dây không trọng lượng trong trường của mặt phẳng này. Điện tích của quả bóng là q=3q = 3 đơn vị. Phí SGSE. Sợi dây tạo thành góc bao nhiêu α\alpha với mặt phẳng? Hằng số điện ε0=8,85⋅10−12ф/м\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ф/м}.

  3. Trong từ trường đều có cảm ứng B=0,02 mлB = 0,02 \text{ mл} có một dây dẫn có chiều dài l=10 cml = 10 \text{ cm} nằm vuông góc với các đường cảm ứng từ. Dòng điện I=2 aI = 2 \text{ a} chạy qua dây dẫn có giá trị không đổi. Dưới tác dụng của lực từ, dây dẫn chuyển động được một quãng đường s=5 cms = 5 \text{ cm}. Tìm việc làm AA lực lượng hiện trường.

  4. Một điểm sáng nằm trên trục quang chính của gương cầu lồi có bán kính cong R=72 cmR = 72 \text{ cm}. Khoảng cách từ điểm tới gương d=150 cmd = 150 \text{ cm}. Tìm khoảng cách ff từ ảnh của điểm này đến gương. Xây dựng một hình ảnh.

V. Kolpkov, N. Rakhmanova

Học viện sư phạm quốc gia Moscow
họ. V. I. Lênin

Về Huân chương Lênin ở Mátxcơva và Huân chương Cờ đỏ của Học viện Sư phạm Nhà nước Lao động mang tên. V.I. Lênin được mô tả chi tiết ở «Kvant» số 7 năm 1973 và 1974.
Tại đây chúng tôi công bố các mẫu bài kiểm tra viết môn toán và bài kiểm tra vấn đáp bài toán môn vật lý năm 1975 tại Khoa Vật lý của Viện Sư phạm Quốc gia Mátxcơva. V. I. Lênin.

Matematika
Tùy chọn 1

  1. Trong một hình nón cụt, các đường chéo của tiết diện trục vuông góc với nhau và ma trận tạo một góc α\alpha với mặt phẳng đáy dưới và bằng 1. Xác định thể tích của hình nón cụt.
  2. Giải phương trình
    cos⁡2x−3cos⁡x=4cos⁡2x2.\cos 2x - 3 \cos x = 4 \cos^2 \frac{x}{2}.
  3. Giải hệ phương trình (a>0,b>0a > 0, b > 0)
    {log⁡ax+log⁡ay=2,log⁡bx−log⁡by=4.\begin{cases} \log_a x + \log_a y = 2, \\ \log_b x - \log_b y = 4. \end{cases}
  4. Giải bất đẳng thức
    0<x3−x<1.0 < \frac{x}{3 - x} < 1.
    Tùy chọn 2
  5. Ở đáy có một lăng trụ đều tứ giác thẳng. Đường chéo của lăng kính tạo thành một góc α\alpha với mặt bên thì chiều cao của lăng kính là hh. Tìm bề mặt bên của hình trụ.
  6. Giải phương trình
    ∣1+log⁡13x∣=3+∣2−log⁡13x∣.|1 + \log \frac{1}{3}x| = 3 + |2 - \log \frac{1}{3}x|.
  7. Tìm miền xác định của hàm
    y=(25)x2−3x−2,54+1log⁡3x−log⁡2x.y = \sqrt[4]{\left(\frac{2}{5}\right)^{x^2 - 3x} - 2,5} + \frac{1}{\sqrt{\log_3 x - \log_2 x}}.
  8. Giải phương trình
    sin⁡22x−4cos⁡4x=sin⁡4x.\sin^2 2x - 4 \cos^4 x = \sin 4x.
    Tùy chọn 2
  9. Đáy của lăng trụ đứng là một tam giác vuông có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng RR. Xác định diện tích của phần được tạo thành bởi các đường chéo của các mặt bên lớn nhất, nhỏ nhất và cạnh của đế, nếu các đường chéo nghiêng với đáy một góc α\alpha và 3α3\alpha.
  10. Giải hệ phương trình
    {xy+yx=7xy+1,xxy+yxy=78.\begin{cases} \sqrt{\frac{x}{y}} + \sqrt{\frac{y}{x}} = \frac{7}{\sqrt{xy}} + 1, \\ x \sqrt{xy} + y \sqrt{xy} = 78. \end{cases}
  11. Giải bất đẳng thức
    log⁡4(2x2+x+1)−log⁡2(2x−1)≤−tg74π.\log_4 (2x^2 + x + 1) - \log_2 (2x - 1) \leq -tg \frac{7}{4}\pi.
  12. Giải phương trình
    1+sin⁡2x=2cos⁡3x,\sqrt{1 + \sin 2x} = \sqrt{2} \cos 3x,
    nếu π<x<32π\pi < x < \frac{3}{2}\pi.