Xung lực của cơ thể và hệ thống cơ thể

52

Xung cơ thể và hệ thống cơ thể

Khái niệm động lượng (chuyển động định lượng) lần đầu tiên được Newton đưa vào cơ học. Chúng ta hãy nhắc lại rằng xung lực của sức mạnh vật chất (phấn) được hiểu là một đại lượng vectơ $p$, bằng tích của khối lượng cơ thể và tốc độ của nó $*$:

$$p = mv.$$

Cùng với khái niệm xung lực cơ thể, khái niệm xung lực cũng được sử dụng. Xung lực không có một chỉ định đặc biệt. Trong trường hợp cụ thể khi lực tác dụng lên vật không đổi thì xung lực theo định nghĩa bằng tích của lực và thời gian tác dụng của nó: $\vec{F} \Delta t$. Nói chung, khi một lực thay đổi theo thời gian $(\vec{F} = \vec{F}(t))$, động lượng của lực được xác định là $\int_0^{\Delta t} \vec{F}(t) dt$.

Sử dụng khái niệm động lượng và xung lực của vật, định luật thứ nhất và thứ hai của Newton có thể được phát biểu như sau.

Định luật thứ nhất Newton: bản chất của hệ giới hạn, trong đó động lượng của một vật không đổi nếu các vật khác không tác dụng lên nó hoặc các vật tác dụng khác được bù lại.

Định luật II Newton: trong hệ quán tính điểm cắt thay đổi

*) Tuy nhiên, sự phát triển của vật lý học trong thế kỷ 20 cho thấy động lượng là một khái niệm “độc lập” và không phải lúc nào cũng có thể biểu diễn đơn giản như tích của khối lượng và vận tốc của một vật.

Ngược lại với dạng Galilê truyền thống của định luật thứ hai: $ma = F$, dạng “xung” của định luật này cho phép nó được áp dụng cho các bài toán liên quan đến chuyển động của một vật thể có khối lượng thay đổi (ví dụ: tên lửa) và với các chuyển động trong vùng tốc độ gần ánh sáng (khi khối lượng của vật thể phụ thuộc vào tốc độ của nó).

Chúng tôi nhấn mạnh rằng xung mà cơ thể thu được không chỉ phụ thuộc vào lực tác dụng lên cơ thể mà còn phụ thuộc vào thời gian tác dụng của nó. Điều này có thể được thực hiện trên máy, trong một thí nghiệm với một tờ giấy đã chọn từ dưới chai - chúng ta sẽ để nó đứng gần như bất động nếu chúng ta biến nó thành một con cá (Hình 1). Lực ma sát trượt tác dụng lên chai trong một khoảng thời gian rất ngắn, tức là một xung lực nhỏ gây ra một sự thay đổi nhỏ tương ứng về động lượng của chai.

Định luật thứ hai của Newton (ở dạng “xung”) cho phép xác định bằng cách thay đổi động lượng của một vật, xung của lực tác dụng lên một vật cho trước và giá trị trung bình của lực trong quá trình tác dụng của nó. Ví dụ: hãy xem xét điều này bài toán.

Bài toán 1. Một quả bóng có khối lượng 50 e đập vào bức tường thẳng đứng chính một góc 30° so với nó, có tốc độ 20 m/s tại thời điểm va chạm và bị phản xạ mạnh. Xác định lực trung bình tác dụng lên quả bóng trong thời gian

53

va chạm, nếu va chạm của quả bóng với tường kéo dài 0,02 s.

Khi quả bóng được đánh vào, có hai lực tác dụng lên nó: lực $F$ phản lực của tường (nó vuông góc với tường vì không có ma sát) và trọng lực. Chúng ta hãy bỏ qua xung lực hấp dẫn, giả sử rằng về giá trị tuyệt đối nó nhỏ hơn nhiều so với xung lực. $F$ (chúng tôi sẽ xác nhận giả định này sau). Khi đó, khi quả bóng va vào tường, hình chiếu động lượng của nó lên trục thẳng đứng là $Y$ sẽ không thay đổi mà theo trục ngang $X$ - Giá trị tuyệt đối không đổi nhưng đổi dấu ngược lại. Kết quả là, như có thể thấy trên Hình 2, động lượng của quả bóng sẽ thay đổi một lượng $\Delta p$, Và $|\Delta p| = 2m|\vec{v}| \sin \alpha$.

Do đó, một lực $F$ tác dụng lên quả bóng từ phía tường sao cho

$$|\vec{F}| = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{2m|\vec{v}| \sin \alpha}{\Delta t} = 50 \text{ H}.$$

Theo định luật thứ ba của Newton, quả bóng tác dụng lên tường với một lực tuyệt đối như nhau.

Bây giờ chúng ta so sánh giá trị tuyệt đối của các xung của các lực $F$ và $mg$:

$$|\vec{F}| \Delta t = 1 \text{ H} \cdot \text{c}, m|\vec{g}| \Delta t = 0,01 \text{ H} \cdot \text{c}.$$

Chúng ta thấy rằng $m|\vec{g}| \Delta t \ll |\vec{F}| \Delta t$, và xung hấp dẫn quả thực có thể bị bỏ qua.

Động lượng đáng chú ý ở chỗ dưới tác dụng của cùng một lực, nó thay đổi như nhau ở mọi vật, bất kể khối lượng của chúng, trừ khi

Hình 2.

thời gian của lực là như nhau. Hãy cùng xem bài toán sau đây.

Bài toán 2. Hai hạt có khối lượng $m$ và $2m$ chuyển động vuông góc với nhau với tốc độ tương ứng là $2v$ và $v$ (Hình 3). Hướng vận tốc của một hạt có khối lượng $2m$ cũng bắt đầu tác dụng lên các hạt tại thời điểm mà tốc độ của một hạt có khối lượng $m$ trở thành một đường chấm, như được biểu thị bằng đường chấm chấm: $a)$ trong Hình 3, $a$; $b)$ trong Hình 3, $b$.

Sự thay đổi xung lực của cả hai hạt là như nhau: chúng chịu tác dụng của những lực như nhau trong cùng một thời gian. Trong trường hợp $a)$ mô đun thay đổi động lượng của hạt thứ nhất bằng

$$|\Delta p| = 2m|\vec{v}| - (-2m|\vec{v}|) = 4m|\vec{v}|.$$

Vector $\Delta p$ được định hướng theo chiều ngang (Hình 4, $a$). Động lượng của hạt thứ hai cũng thay đổi. Do đó, mô hình động lượng của hạt thứ hai sẽ bằng

$$\sqrt{(4m|\vec{v}|)^2 + (2m|\vec{v}|)^2} = 2\sqrt{5}m|\vec{v}|,$$

mô-đun vận tốc là $\sqrt{5}|\vec{v}|$ và góc là $\alpha = \arctg \frac{4m|\vec{v}|}{2m|\vec{v}|} = \arctg 2.$

54

Tương tự, chúng ta thấy rằng trong trường hợp 6) mô hình biến thiên động lượng của hạt thứ nhất bằng $2\sqrt{5}m|\vec{v}|$ (Hình 4, 6). Mô đun động lượng của hạt thứ hai trở thành $2\sqrt{5}m|\vec{v}|$ (điều này không khó tìm thấy khi sử dụng định lý cosine), mô đun vận tốc của hạt này là $\sqrt{5}|\vec{v}|$ và góc là $\beta = \arcsin \frac{1}{\sqrt{5}}$ (theo định lý sin).

Khi chúng ta chuyển sang một hệ gồm các vật tương tác (hạt), hóa ra tổng động lượng của hệ - tổng hình học của động lượng của các vật tương tác - có đặc tính thay thế là được bảo toàn theo thời gian. Định luật bảo toàn động lượng này là hệ quả trực tiếp của định luật thứ hai và thứ ba của Newton. Trong SGK Vật lý 8, định luật này được rút ra từ trường hợp hai vật tương tác với nhau tạo thành một hệ kín (các vật này không tương tác với vật nào khác). Có thể dễ dàng khái quát hóa kết luận này cho một hệ kín bao gồm một số lượng vật thể $n$ tùy ý. Hãy thể hiện nó.

Theo định luật thứ hai của Newton, sự thay đổi động lượng của vật thứ $i$ của hệ trong một khoảng thời gian ngắn $\Delta t$ bằng tổng các xung của các lực tương tác của nó với tất cả các vật thể khác của hệ:

$$\Delta p_i = \sum_{k=1}^{n} \vec{F}_{ik} \Delta t.$$

Độ biến thiên tổng động lượng của hệ $\Delta p$ là tổng các độ biến thiên của các xung tạo nên hệ các vật: $\Delta p = \sum_{i=1}^{n} \Delta p_i$ và theo định luật thứ hai của Newton, bằng tổng các xung của tất cả các nội lực của hệ:

$$\Delta p = \sum_{i=1}^{n} \sum_{k=1}^{n} \vec{F}_{ik} \Delta t.$$

Theo định luật thứ ba của Newton, các lực tương tác giữa các vật thể của hệ giống hệt nhau về độ lớn tuyệt đối và ngược chiều nhau: $\vec{F}_{ik} = -\vec{F}_{ki}$. Do đó, tổng của tất cả các nội lực bằng 0, và do đó $\Delta p = \sum_{i=1}^{n} \Delta p_i = 0$.

Không phải nếu sự thay đổi của một đại lượng nhất định trong một khoảng thời gian ngắn tùy ý $\Delta t$ bằng 0, thì bản thân đại lượng này không đổi theo thời gian:

$$\vec{p} = \sum_{i=1}^{n} \vec{p}_i = \text{const.}$$

Do đó, bất kỳ sự thay đổi nào về động lượng của bất kỳ phần tử nào tạo nên một hệ thống khép kín đều được bù đắp bằng sự thay đổi ngược lại ở các phần khác của hệ thống. Nói cách khác, các xung của một hệ kín có thể được thỏa mãn, nhưng tổng của chúng không đổi theo thời gian.

Nếu hệ không đóng, nghĩa là không chỉ các lực bên trong mà cả các lực bên ngoài tác dụng lên các vật thể của hệ, thì khi suy luận theo cách tương tự, chúng ta sẽ đi đến kết luận rằng độ tăng tổng động lượng của hệ trong khoảng thời gian $\Delta t$ sẽ bằng tổng các xung của các lực bên ngoài trong cùng một khoảng thời gian:

$$\Delta p = \sum F_{\text{внешш}} \Delta t.$$

Xung lực của hệ có thể bị thay đổi bởi các ngoại lực.

Nếu $\sum F_{\text{внешш}} = 0$, thì hệ mở hoạt động giống như một hệ kín và định luật bảo toàn động lượng áp dụng cho nó.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét một số bài toán cụ thể.

Bài 3. Một dụng cụ có khối lượng $m$ trượt dọc theo mặt phẳng nghiêng chính tạo một góc $\alpha$ với đường chân trời. Tại thời điểm tốc độ của ordium bằng $v$, một phát súng sẽ được bắn, kết quả là ordium còn lại và viên đạn chạm tới đường chân trời sẽ bị xung lực $\vec{p}$ “mang đi” (Hình 5). Thời lượng của cảnh quay là $t$.

Giá trị trung bình $\vec{R}_{cp}$ của phản lực tác dụng lên phía mặt phẳng nghiêng trong thời gian t là bao nhiêu?

55

Hình 5.

Xung lực ban đầu của hệ thống đạn súng cơ thể bằng $mv$, xung cuối cùng bằng $p$. Hệ đang được xem xét không đóng: trong thời gian $\tau$, nó nhận được động lượng tăng thêm $p-mv$. Sự thay đổi động lượng của hệ là do tác dụng của hai ngoại lực: phản lực $\vec{R}_{cp}$ (vuông góc với mặt phẳng nghiêng) và lực hấp dẫn $mg$, viết

$$\vec{p}-mv=\vec{R}_{cp}\tau+mg\tau.$$

Hãy biểu diễn sự tương ứng này bằng đồ họa (Hình 6). Từ hình có thể thấy ngay rằng giá trị mong muốn $\vec{R}_{cp}$ được xác định theo công thức

$$|\vec{R}_{cp}| \tau=|\vec{p}| \sin \alpha+m|\vec{g}| \cos \alpha.$$

Động lượng là một đại lượng vectơ nên định luật bảo toàn động lượng có thể áp dụng cho từng hình chiếu của nó lên trục tọa độ. Nói cách khác, nếu $\vec{p}$ được giữ nguyên thì $p_x$, $p_y$ và $p_z$ được bảo toàn độc lập (nếu bài toán là ba chiều).

Trong trường hợp tổng các lực bên ngoài không bằng 0, nhưng hình chiếu của tổng này về một hướng nhất định bằng 0 thì hình chiếu của xung tổng cộng về cùng một hướng đó vẫn không thay đổi. Ví dụ, khi một hệ chuyển động trong một trường hấp dẫn, hình chiếu động lượng của nó lên bất kỳ hướng nằm ngang nào đều được bảo toàn.

Nhiệm vụ 4. Một viên đạn sét nằm ngang chạm vào một khối gỗ treo trên một sợi dây rất dài và mắc kẹt trong khối đó, khiến khối gỗ có tốc độ $|\vec{u}|=0,5$ m/s. Xác định vận tốc của viên đạn trước khi va chạm. Khối lượng của viên đạn là $m=15$ e, khối lượng của khối là $M=6$ ke.

Việc hãm một viên đạn trong một khối là một quá trình phức tạp, nhưng đối với lời giải bài toán thì không cần chi tiết. Vì không có ngoại lực tác dụng theo hướng vận tốc của viên đạn trước khi va chạm và vận tốc của vật sau khi viên đạn bị kẹt (hệ thống treo rất dài nên vận tốc của viên đạn nằm ngang) nên có thể áp dụng định luật bảo toàn động lượng:

$$mv=(m+M)u.$$

Do đó tốc độ của viên đạn

$$\vec{v}=\frac{(M+m)\vec{u}}{m}; |\vec{v}| \approx 200 \text{ m/c}.$$

Là kết quả của điều kiện - dưới điều kiện của lực hấp dẫn của Trái đất - không có hệ thống khép kín trừ khi Trái đất được bao gồm trong chúng. Tuy nhiên, nếu tương tác giữa các vật thể trong hệ mạnh hơn nhiều so với tương tác của chúng với Trái đất, thì định luật bảo toàn động lượng có thể được áp dụng với độ chính xác cao. Ví dụ: điều này có thể được thực hiện trong tất cả các quy trình ngắn hạn: vụ nổ, va chạm, v.v. (xem ví dụ bài toán 1).

Nhiệm vụ 5. Giai đoạn thứ ba của tên lửa bao gồm tên lửa mang có khối lượng $m_p=500$ke và đầu hình nón có khối lượng $m_k=10$ke. Một lò xo dốc được đặt giữa chúng. Khi được sử dụng trên Trái đất, lò xo truyền tốc độ $|\vec{v}_{отн}|=5,1$ m/s tới hình nón so với phương tiện phóng. Mỗi chiếc sẽ là một chiếc nón tốc độ $|\vec{v}_k|$ và một phương tiện phóng $|\vec{v}_p|$, nếu bộ phận của họ

56

Lenitsa sẽ xuất hiện trên quỹ đạo khi di chuyển với tốc độ $|\vec{v}| = 8000$ m/s?

Theo định luật bảo toàn động lượng
$$\left(m_p + m_k\right)\vec{v} = m_p\vec{v}_p + m_k\vec{v}_k.$$
Bên cạnh đó,
$$\vec{v}_k - \vec{v}_p = v_{0TH}.$$
Từ hai quan hệ này ta có được
$$\left|\vec{v}_k\right| = \left|\vec{v}\right| + \frac{m_p}{m_k + m_p} \left|\vec{v}_{0TH}\right| = 8005 \text{ м/с},$$
$$\left|\vec{v}_p\right| = \left|\vec{v}_k\right| - \left|\vec{v}_{0TH}\right| = 7999.9 \text{ м/с}.$$
bài toán này cũng có thể được giải quyết trong một hệ thống báo cáo di chuyển với tốc độ $v$ theo hướng bay. Chúng ta hãy lưu ý về vấn đề này rằng nếu động lượng được bảo toàn trong một hệ quy chiếu quán tính thì nó cũng được bảo toàn trong bất kỳ hệ quy chiếu quán tính nào khác.

Định luật bảo toàn động lượng làm cơ sở cho lực đẩy phản lực. Một luồng khí thoát ra từ tên lửa sẽ mang theo động lượng. Xung này phải được bù bằng sự thay đổi mô đun tương tự trong xung của phần còn lại của hệ thống tên lửa-khí.

Nhiệm vụ 6. Sản phẩm được phóng ra từ tên lửa có khối lượng $M$, được sắp xếp thành các phần có cùng khối lượng $m$ với tốc độ $u$ so với tên lửa. Bỏ qua tác dụng của trọng lực, chúng ta hãy xác định tốc độ của tên lửa mà nó đạt được sau khi phần thứ $n$ rời đi.

Gọi $\vec{v}_1$ là tốc độ của tên lửa so với Trái đất sau khi giải phóng phần khí thứ nhất. Theo định luật bảo toàn động lượng
$$\left(M - m\right)\vec{v}_1 + m\left(u + \vec{v}_1\right) = 0,$$
Trong đó $\vec{u} + \vec{v}_1$ là tốc độ của phần khí đầu tiên so với Trái đất tại thời điểm hệ thống tên lửa-khí tách ra, khi tên lửa đã đạt tốc độ $\vec{v}_1$. Từ đây
$$\vec{v}_1 = -\frac{m}{M}\vec{u}.$$
Bây giờ chúng ta hãy tìm tốc độ $\vec{v}_2$ của tên lửa sau khi phần thứ hai phóng đi. Trong hệ thống báo cáo, di chuyển với tốc độ $\vec{v}_1$, gói bất động trước khi phần thứ hai khởi hành và sau khi phát hành, nó đạt tốc độ $\vec{v}_2$. Sử dụng công thức trước đó và thay thế $M \rightarrow M - m$, $\vec{v}_1 - \vec{v}_2$ trong đó, chúng ta nhận được
$$\vec{v}_2' = -\frac{mu}{M - m}.$$
Khi đó $\vec{v}_2$ sẽ bằng
$$\vec{v}_2 = \vec{v}_2' + \vec{v}_1 = -mu \left(\frac{1}{M} + \frac{1}{M - m}\right).$$
Tiếp tục quá trình này hơn nữa, không khó để có được
$$\vec{v}_n = -mu \left(\frac{1}{M} + \frac{1}{M - m} + \dots + \frac{1}{M - (n - 1)m}\right).$$
Định luật bảo toàn động lượng có thể đưa ra một dạng khác, đơn giản hóa lời giải nhiều nhiệm vụ, nếu chúng ta đưa ra khái niệm khối tâm (tâm quán tính) của hệ. Tọa độ của khối tâm (điểm $c$), theo định nghĩa, liên quan đến khối lượng và tọa độ của các hạt tạo nên hệ, tuân theo hệ thức:

$$x_c = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + \dots + m_nx_n}{m_1 + m_2 + \dots + m_n} = \sum_{i=1}^{n} m_i x_i$$
$$y_c = \sum_{i=1}^{n} m_i y_i$$
$$z_c = \sum_{i=1}^{n} m_i z_i.$$

Cần lưu ý rằng khối tâm của hệ trong trường hấp dẫn đều trùng với trọng tâm.

Để làm rõ ý nghĩa vật lý của khối tâm, chúng ta hãy tính tốc độ $\vec{v}_c$ của nó, hay đúng hơn là hình chiếu của tốc độ này. Theo định nghĩa
$$v_{cx} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x_c}{\Delta t}.$$
Trong công thức này
$$\Delta x_c = \frac{\sum m_i \Delta x_i}{m} \frac{\Delta x_c}{\Delta t} = \frac{\sum m_i \frac{\Delta x_i}{\Delta t}}{m},$$

57

Hình 7.

bởi vì

$$v_{cx} = \frac{\sum m_i \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta x_i}{\Delta t}}{m} = \frac{\sum m_i v_{xi}}{m} = \frac{p_x}{m}.$$

Theo cách tương tự, chúng ta tìm thấy điều đó

$$v_{cy} = \frac{p_y}{m} \text{ и } v_{cz} = \frac{p_z}{m}.$$

Nó theo sau đó

$$\vec{v}_c = \frac{\vec{p}}{m}, \text{ или } \vec{p} = m\vec{v}_c$$

• tổng động lượng của hệ bằng tích của khối lượng của hệ và vận tốc khối tâm của nó.

Do đó, khối tâm (tâm quán tính) của hệ mang ý nghĩa của một điểm có tốc độ bằng tốc độ chuyển động của toàn bộ hệ. Nếu $\vec{v}_c = 0$, thì toàn bộ hệ sẽ kết thúc, mặc dù trong trường hợp này các vật thể của hệ so với tâm quán tính có thể chuyển động một cách tùy ý.

Sử dụng công thức $\vec{p} = m\vec{v}_c$, định luật bảo toàn động lượng có thể được phát biểu như sau: khối tâm của một hệ kín chuyển động mol đều và đều hoặc đứng yên. Nếu hệ thống không đóng thì có thể chỉ ra rằng

$$\vec{m}_c = \sum F_{\text{внеш}}$$

• Gia tốc của tâm quán tính bằng cách xác định

Hình 8.

chúng ta là kết quả của tất cả các lực bên ngoài tác dụng lên hệ thống.

Cũng hãy xem xét bài toán.

Bài 7. Ở cuối một tấm đồng nhất có chiều dài $l$ có hai mục tiêu có khối lượng là $m_1$ và $m_2$ (Hình 7). Quả đầu tiên trúng vào giữa sân ga. Mục tiêu thứ hai phải di chuyển dọc theo bệ bằng bao nhiêu x để vùng nông trở về vị trí ban đầu? Tìm điều kiện để bài toán có lời giải.

Hãy tìm tọa độ khối tâm của hệ tại thời điểm ban đầu và thời điểm cuối cùng rồi đánh đồng chúng (vì khối tâm vẫn giữ nguyên vị trí). Hơn nữa, ngoài gốc tọa độ của điểm mà khối lượng mục tiêu $m_1$ nằm ở thời điểm ban đầu. Sau đó

$$\frac{m_2 l + M l/2}{m_1 + m_2 + M} = \frac{m_1 l/2 + m_2 (l-x) + M l/2}{m_1 + m_2 + M}$$

(ở đây $M$ là khối lượng của bệ). Từ đây

$$x = \frac{m_1 l}{2m_2}.$$

Rõ ràng, nếu $m_1 > 2m_2$, thì $x > l$ - bài toán mất đi ý nghĩa.

Bài 8. Hai vật nặng có khối lượng $m_1$ và $m_2$ được treo trên một sợi dây ném qua một khối nghịch đảo (Hình 8). Tìm gia tốc khối tâm của hệ này nếu $m_1 > m_2$.

58

Hệ thống bao gồm các quả nặng, một sợi dây và một khối, không đóng. Từ bên ngoài, hệ chịu tác dụng của lực hấp dẫn của các tải trọng $m_1g$ và $m_2g$ và lực tác dụng lên khối từ phía treo, bằng lực căng gấp đôi của dây $T$ (xem Hình 8). Viết phương trình chuyển động của hệ theo hình chiếu lên trục tung $Y$ hướng xuống dưới:

$$\left(m_1 + m_2\right)a_c = \left(m_1 + m_2\right)\left|g\right| - 2\left|T\right|.$$

Lực $T$ có thể được tìm bằng cách viết phương trình chuyển động cho từng tải riêng biệt (hãy nhớ rằng $a_1 = -a_2 = a$):

$$m_1a = m_1\left|g\right| - \left|T\right|,$$
$$-m_2a = m_2\left|g\right| - \left|T\right|,$$

Ở đâu

$$a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\left|g\right|,$$
$$\left|T\right| = \frac{2m_1m_2}{m_1 + m_2}\left|g\right|.$$

Thay thế giá trị kết quả $\left|T\right|$ vào phương trình ban đầu, chúng ta thấy rằng

$$a_c = \left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right)^2\left|g\right|.$$

Bài toán có thể giải theo cách khác. Nó suy ra trực tiếp từ định nghĩa của khối tâm rằng

$$\vec{a}_c = \frac{m_1a_1 + m_2a_2}{m_1 + m_2}$$

(ở đây $\vec{a}_c$ là gia tốc của khối tâm, $a_1$ và $a_2$ lần lượt là gia tốc của tải trọng $m_1$ và $m_2$), hoặc trong phép chiếu.

Hình 9.

trục trên trục $Y$:

$$a_c = \frac{m_1a_1 + m_2a_2}{m_1 + m_2}.$$

Xem xét rằng

$$a_1 = -a_2 = a = \frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\left|g\right|,$$

chúng tôi nhận được

$$a_c = \left(\frac{m_1 - m_2}{m_1 + m_2}\right)^2\left|g\right|.$$

Tại sợi

1. Hai người đang đứng trên giày trượt cách nhau $l$. Một người ném một quả bóng có khối lượng $m$, người kia nhặt nó lên sau một khoảng thời gian $t$. Người ném quả bóng sẽ trượt với tốc độ bao nhiêu nếu khối lượng của người đó là $M$?

2. Cùng với một cái nêm có góc ở đế $\alpha$, có thể di chuyển trên một mặt bàn nằm ngang nhẵn, một chiếc bút lên dây và tự động chuyển động với hằng số tương đối $u$. Vận tốc của nêm là bao nhiêu và lực ép lên nêm là bao nhiêu? Trọng lượng nêm $M$, tự động $m$. Xe sẽ chuyển động khi nêm tích tụ.

3. Một vận động viên thể dục có khối lượng $M$, mang một vật có khối lượng $m$, nhảy một góc $\alpha$ về phía chân trời với tốc độ ban đầu $v_0$. Tại thời điểm họ đạt đến độ cao lớn nhất, anh ta ném vật nặng về phía sau với tốc độ nằm ngang $u$ so với mình. Khoảng cách nhảy tăng bao nhiêu sau khi ném tải?

4. Đạn được súng ném ra với vận tốc ban đầu $v_0$ nghiêng một góc $\alpha$ so với phương ngang. Tại điểm cao nhất của quỹ đạo parabol, viên đạn vỡ thành hai mảnh có khối lượng $m_1$ và $m_2$. Sau vụ nổ, một mảnh có khối lượng $m_1$ rơi thẳng đứng, có vận tốc ban đầu là $u$. Bắt đầu phương trình chuyển động của mảnh thứ hai.

5. Một chiếc thuyền có khối lượng $M$ đứng yên trên mặt hồ. Ở đuôi và mũi thuyền cách nhau $l$ có những ngư dân có khối lượng $m_1$ và $m_2$ ($m_1 > m_2$). Ngư dân đổi chỗ. Thuyền di chuyển bao nhiêu? Bỏ qua khả năng chống nước.

6. Trên mép của một chiếc bè có khối lượng $M$ đang đứng yên có $n$ bé trai, khối lượng của mỗi bé là $m$. Bắt đầu tốc độ của bè sau khi các em nhảy với cùng tốc độ theo phương ngang $u$ so với bè: a) đồng thời; b) theo từng dòng. Trong trường hợp nào vận tốc của bè sẽ lớn hơn? Bỏ qua khả năng chống nước.

7. Trên xe có hai thùng được nối với nhau bằng một ống có vòi. Một trong số chúng chứa đầy nước (Hình 9). Khi bạn mở vòi, nước chảy vào bể khác. Nêu tính chất chuyển động của xe.