Bài toán M476—M480; F488—F492

34

Bài toán

M476—M480; F488—F492

M476. a) Chứng minh rằng nếu các đỉnh của hình lồi $n$-giác nằm trong các nút của tờ giấy ca-rô và không có nút nào khác trên các cạnh của nó thì $n \leq 4$.

6. Hãy chia không gian thành ba họ mặt phẳng song song thành các hình lập phương giống hệt nhau. Phần trên của cốc được gọi là nút. Chứng minh rằng nếu tất cả $n$ đỉnh của một khối đa diện lồi đều nằm tại các nút và không có nút nào khác trên các cạnh, mặt hoặc bên trong khối đa diện đó thì $n \leq 8$.

S. Mironov

M477*. Cho một đa thức $P(x)$ với các hệ số nguyên sao cho với mỗi số tự nhiên $x$ thì bất đẳng thức $P(x) > x$ đúng. Hãy xác định chuỗi $\{b_n\}$ như sau: $b_1 = 1$, $b_{k+1} = P(b_k)$ cho $k \geq 1$. Người ta biết rằng với mọi số tự nhiên $d$ đều có một thành viên của dãy $\{b_n\}$ chia hết cho $d$. Chứng minh rằng $P(x) = x+1$.

M478. Trong giải bóng chuyền, mỗi đội thi đấu một trận.

a) Chứng minh rằng nếu trong hai đội bất kỳ có một đội thứ ba thắng hai đội này thì số đội ít nhất là bảy.

6. Xây dựng một ví dụ về một giải đấu bảy đội như vậy.

b)* Chứng minh rằng nếu trong ba đội bất kỳ có một đội thứ ba thắng ba đội này thì số đội ít nhất là 15.

M479. Có a) sáu, 6) 1000 số tự nhiên riêng biệt sao cho với hai $a$ và $b$ bất kỳ trong số chúng, tổng $a + b$ chia hết cho hiệu $a - b$?

Bài toán M477—M479 do S. Konyaenin đề xuất

M480.* Chuỗi $c_n$ được xây dựng theo quy tắc sau: $c_1 = 2$, $c_{n+1} = [3c_n/2]$ cho $n \geq 1$*. Chứng minh rằng

a) Dãy số này có vô số số chẵn và vô số số lẻ;

6. chuỗi $e_n = (-1)^{c_n}$ không tuần hoàn;

b) tồn tại một số $\gamma$ sao cho $c_n = \left[ \frac{3}{2} \right)^n \gamma$.

*) Ở đây $[x]$ là phần nguyên của $x$.

35

F488. Một khung dây hình chữ nhật có kích thước các cạnh $a = 0,020$ m và $b = 0,030$ m được ngâm trong nước xà phòng, do đó tạo thành màng xà phòng trên đó. Khi quan sát dưới ánh sáng phản xạ, góc tới là $\alpha = 30^\circ$, màng có màu xanh lục ($\lambda = 5 \cdot 10^{-7}$ m).

1. Có thể xác định khối lượng của màng này bằng cân có độ chính xác đến 0,1 mg không? Mật độ của dung dịch xà phòng là $\rho = 10^3$ kg/m$^3$, chiết suất của màng là $n = 1,33$.

2. Màng mỏng nhất thỏa mãn điều kiện bài toán sẽ có màu gì nếu ánh sáng chiếu tới nó và sau đó phản xạ vuông góc với phim?

Gợi ý. Hãy tính rằng khi ánh sáng phản xạ từ môi trường đậm đặc hơn, pha của sóng thay đổi đột ngột l.

Olympic Vật lý quốc tế X

F489. Các electron được gia tốc trong súng điện tử bằng điện trường, đi qua một khe có hướng $U = 10^3$ V. Sau khi bay ra khỏi súng tại điểm $T$, các electron sau đó chuyển động dọc theo một đường thẳng $TT'$ (Hình 1). Tại điểm $M$ cách điểm $T$ $a = 5,0$ cm có một mục tiêu và đường thẳng $TM$ tạo thành một góc $\alpha = 60^\circ$ với đường thẳng $TT'$.

1. Cảm ứng $\vec{B}$ của từ trường đều vuông góc với mặt phẳng vẽ phải bằng bao nhiêu để các electron phát ra từ súng bắn trúng mục tiêu?

2. Cảm ứng $\vec{B}_1$ của từ trường đều song song với đường thẳng $MT$ phải bằng bao nhiêu để các electron chạm vào mục tiêu?

Giả sử rằng $|\vec{B}|$ và $|\vec{B}_1|$ không vượt quá 0,030 T.

Olympic Vật lý quốc tế X

F490. Khi dòng neutron đi qua tấm cadmium dày 1 mm, lượng phần trong chùm tia giảm đi 15% và tốc độ của chúng không thay đổi. Bao nhiêu phần dòng neutron đi qua tấm cadimi dày 10 mm?

F491. Một tấm dẫn điện mỏng lớn có diện tích $S$ và độ dày $d$ được đặt trong một điện trường đều $\vec{E}$, vuông góc với tấm. Bao nhiêu nhiệt sẽ được giải phóng trong tấm nếu tắt từ trường?

P. Zubkov

F492. Hai hình trụ tròn có đường kính $D$ và $d$ nằm trên một mặt phẳng gồ ghề (Hình 2). Một sợi dây được quấn quanh một hình trụ lớn, vào đầu của nó tác dụng một lực nằm ngang $\vec{F}$. Xác định hệ số ma sát $\mu$, giống nhau đối với tất cả các bề mặt tiếp xúc, có thể kéo một hình trụ lớn qua một thanh xà phòng. Giá trị tuyệt đối của lực $\vec{F}$ phải là bao nhiêu để điều này có thể xảy ra?

V. Kerzhentsev