Mô hình khối đa diện

8

Yu. Matiyasevich

Người mẫu
khối đa diện

Trong bản dịch cuốn sách được xuất bản gần đây
M. Wenninger “Các mô hình khối đa diện” (M., “Mir”, 1974) cho biết cách bạn có thể tự tạo các mô hình khối đa diện đối xứng và hiển thị các bức ảnh của mô hình do tác giả chụp. Đây chắc chắn là những mẫu rất đẹp có thể trang trí góc toán học ở trường hoặc phòng của một nhà toán học trẻ. Tuy nhiên, đây là những gì tác giả viết về sự sáng tạo của họ: “Trung bình, mỗi mô hình khiến tôi mất khoảng một nghìn giờ; tôi dành thêm ba đến bốn giờ nữa để chuẩn bị nguyên liệu nguồn”.

Bài viết này nói về nhà thiết kế do kiến ​​trúc sư người Mỹ Fred Basseyti phát minh. Mất hai giờ để thực hiện, người đọc sẽ có cơ hội lắp ráp khối đa diện mong muốn trong vài phút. Tất nhiên, các mô hình thu được không chỉ đẹp, giống như kleeeen, mà còn dễ sản xuất, cũng như khả năng tháo rời mô hình và tái sử dụng các bộ phận của chúng, đã bù đắp cho nhược điểm này. Quá trình lắp ráp máy cắt chắc chắn sẽ mang lại

12

Có hai đa giác là hình ảnh phản chiếu của nhau. Cả hai đều có cùng tên và được coi là một đa giác khi nói về 13 khối Archimedean. Tương tự, hai biến thể gương có khung dode phẳng.

Hình ảnh thú vị nhất nảy sinh khi lắp ráp khối Archimedean cuối cùng - hình thoi. Ở đây, sau khi bao quanh rõ ràng mặt hình tam giác bằng các hình vuông, bạn có thể chọn giữa các khay tiếp tục - xem sơ đồ trong Hình 3. Hai tùy chọn đầu tiên có sự hoàn thiện rõ ràng, nhưng trong tùy chọn thứ ba, sau khi bao quanh rõ ràng hình tam giác thứ hai, sẽ nảy sinh năm cách gắn tam giác thứ ba - xem sơ đồ trong Hình 4.

Có bao nhiêu khối đa diện khác nhau? Bảy? Không, chỉ hai thôi. Các phương án a, b, c1, c3 và c4 dẫn đến cùng một khối đa diện như trong Hình 5, và các phương án c2 và c5 dẫn đến khối đa diện này và khối đa diện như trong Hình 6. Chính khối đa diện cuối cùng này được gọi là hình thoi, và chỉ có nó là một khối Archimedean.

Sự khác biệt giữa khối đa diện trong Hình 5 và 13 khối Archimedean khác là gì? Hãy nhớ lại rằng ở phần đầu của phần này chúng ta đã bỏ yêu cầu các mặt phải giống nhau nhưng chúng ta vẫn giữ yêu cầu các đỉnh phải giống nhau. Chúng ta có thể coi hai đỉnh là giống nhau nếu chúng có thể được kết hợp sao cho sự hội tụ của các mặt trong chúng trùng khớp với nhau (trong trường hợp này, được phép thay thế bằng phản xạ gương). Theo nghĩa của định nghĩa này, tất cả các đỉnh của khối đa diện trong Hình 5 đều giống nhau. Vậy thì tại sao định nghĩa đã cho về độ giống nhau của các đỉnh lại tệ đến vậy? Thực tế là định nghĩa này có tính chất cục bộ - nó nói về sự trùng hợp từng cặp của chỉ những mặt hội tụ tại các đỉnh bị phân tách. Vật thể Archimedean có một tính chất mạnh hơn: hai đỉnh bất kỳ có thể trùng nhau sao cho tất cả các mặt đều là đa diện.

Hình 5.

Hình 6.

các đường viền trùng khớp với nhau. Khối đa diện trong Hình 5 không có tính chất này. Người Hy Lạp cổ đại có cảm giác hài hòa rất phát triển và không có gì đáng ngạc nhiên khi khối đa diện này không được đưa vào khối hình khối Archimedean. Trong hai nghìn năm, nó đã “ở trong bóng tối” và được một số nhà toán học ở các nước khác nhau “phát minh” một cách độc lập ở miền trung nước ta. Trong tài liệu của chúng ta, khối đa diện này thường được gọi là khối Ashkinuse, được đặt theo tên của nhà toán học Liên Xô, người đầu tiên chú ý đến nó.

Làm thế nào bạn có thể biết liệu vẫn còn khối đa diện bán đều hay không? Sơ đồ phân phối

13

Mệnh đề ở đây về nguyên tắc cũng giống như trong trường hợp các khối Platonic. Ít nhất ba và không quá năm mặt phải hội tụ ở đỉnh (tại sao?), do đó, chỉ cần xét ba loại đỉnh: $x \cdot y \cdot z$, $w \cdot x \cdot y \cdot z$, $u \cdot w \cdot x \cdot y \cdot z$ (các mặt ở giữa $u, w, x, y, z$ có thể là các số giống nhau). Sự tương ứng dẫn đến ba bất đẳng thức tương tự như bất đẳng thức (1):

$$1 < \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z},$$

(2)

$$2 < \frac{2}{w} + \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z},$$

(3)

$$3 < \frac{2}{u} + \frac{2}{w} + \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z}.$$

(4)

Chúng ta phải tìm tất cả lời giải các bất đẳng thức này trong các số nguyên $u, w, x, y, z$ ít nhất là 3.

Hãy bắt đầu với bất đẳng thức cuối cùng. Cũng giống như trong trường hợp chất rắn Platonic, từ các bất đẳng thức $u \geq 3, w \geq 3, x \geq 3, y \geq 3$ và $z \geq 3$ và bất đẳng thức (4) dễ dàng suy ra rằng $u \leq 5, w \leq 5, x \leq 5, y \leq 5, z \leq 5$. Những gì còn lại (đối với độc giả) là sự tìm kiếm cuối cùng về các khả năng.

Bất đẳng thức (3) đúng với mọi $z$ nếu $w = x = y = 3$. Điều này đưa ra một chuỗi vô hạn các khối đa diện bán đều loại $3^3 \cdot z$, được gọi là phản lăng kính. Không có khối đa diện nửa mặt đều nào khác (có bốn mặt hội tụ tại một đỉnh) có thể có nhiều hơn một mặt góc giống nhau, hoặc hệ bất đẳng thức $w \geq 3, x \geq 3, y \geq 4, z \geq 12$ mâu thuẫn với (3). Do đó, dữ liệu có thể giả sử rằng $w \leq 11, x \leq 11, y \leq 11, z \leq 11$ và một lần nữa chúng ta chỉ còn lại một tìm kiếm hữu hạn.

Bất đẳng thức đầu tiên, có nhiều lời giải, gây ra nhiều rắc rối, trong đó có một số bất đẳng thức không tương ứng với bất kỳ đa giác bán chính quy nào. Ở đây, một điều kiện khác sẽ giúp chúng ta, đó là một điều kiện tương tự của bất đẳng thức tam giác: tổng các góc phẳng của hai mặt lớn hơn góc phẳng của tam giác. Điều này dẫn tới sự bất bình đẳng

$$\frac{2}{x} + \frac{2}{y} - \frac{2}{z} < 1$$

(5)

(không mất tính tổng quát, ta giả sử $x \leq y \leq z$ và không viết thêm hai bất đẳng thức tương tự). Cả hai bất đẳng thức (2) và (5) đều thỏa mãn với mọi $z$, nếu $x = 3, y = 6$ hoặc $x = y = 4$. Trong trường hợp sau, chúng ta thu được một chuỗi vô hạn các khối đa diện bán đều loại $4^2 \cdot z$, được gọi là lăng kính. Một polytope bán chính quy thuộc loại $3 \cdot 6 \cdot z$ chỉ tồn tại cho $z = 6$ (tại sao? nó được gọi là gì?). Đối với bất kỳ giá trị nào khác của $x$ và $y$, $2/x + 2/y < 1$, sau đó $z$ không thể có góc bằng lớn theo (2) hoặc $2/x + 2/y > 1$, và khi đó giới hạn trên $z$ được lấy từ (5). Trong mọi trường hợp, vấn đề lại liên quan đến việc tìm kiếm cuối cùng.

Người đọc kiên nhẫn, sau khi xem xét tất cả các trường hợp còn lại, sẽ đi đến kết luận rằng ngoại trừ 5 khối Platonic, 13 khối Archimedean, một khối Ashkinuse và một dãy vô hạn các lăng kính và phản lăng kính, không tồn tại khối đa diện nửa đều nào khác (thêm với định nghĩa địa phương về sự giống nhau của các đỉnh).

khối đa diện đều

Cuối cùng, chúng ta hãy loại bỏ cả hai điều kiện để các mặt giống nhau và các đỉnh giống nhau, nhưng chúng ta sẽ giữ lại yêu cầu rằng các mặt phải là đa giác đều và bản thân khối đa diện đó phải lồi. Bạn có thể thu thập được bao nhiêu khối đa diện nữa? Hóa ra số lượng khối đa diện mới là hữu hạn.

Bằng chứng của thực tế này được sử dụng bởi một định lý tương tự như định lý trong khóa học ở trường rằng tổng các góc ngoài của bất kỳ đa giác nào đều bằng 2π. Góc ngoài là góc bù của đa giác có giá trị giới hạn là π. Tương tự, chúng ta sẽ gọi độ cong tại một đỉnh của đa giác là hiệu giữa 2π (giá trị giới hạn) và tổng các góc phẳng của tất cả các mặt hội tụ tại đỉnh này. Ví dụ: độ cong của đỉnh loại $3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 6$ là π/6. Hóa ra là nếu chúng ta tổng hợp độ cong

14

Chà, trên tất cả các đỉnh của một khối đa diện lồi, thì bạn sẽ luôn nhận được 4π (điều này có thể được kiểm tra trên bất kỳ mô hình nào; có thể dễ dàng chứng minh nếu chúng ta áp dụng định lý Euler - xem “Quant”, 1974, Số 4, trang 29; Số 5, trang 32; Số 10, trang 17). Do đó, không thể có nhiều đỉnh thuộc loại 3·4·3·6 hơn 4π: π/6 = 24. Giới hạn về số đỉnh thuộc loại bất kỳ khác cũng thu được tương tự. Nói chung, số loại đỉnh là vô hạn, nhưng, khi xem xét tất cả các khả năng xác định số lượng khối đa diện bán đều, chúng tôi đã chứng minh rằng tất cả các đỉnh, ngoại trừ một số loại hữu hạn, đều thuộc một trong các chuỗi 4²·z, 3³·z hoặc 3·6·z. Telery vẫn phải chứng minh rằng với một z đủ lớn, một khối đa diện lồi đều có một đỉnh thuộc chuỗi thứ nhất là bắt buộc, một đỉnh thuộc chuỗi thứ hai là phản lăng kính, và một đỉnh từ chuỗi thứ ba không thể tồn tại.

Sau khi thu được kết quả định tính về tính hữu hạn của số khối đa diện đều, ngoài lăng kính và phản lăng kính, tôi muốn biết số lượng chính xác của chúng. bài toán này đã được giải quyết hoàn toàn bởi nhà toán học Leningrad V. A. Zalgaller. lời giải của cô ấy yêu cầu phải xem xét một số lượng lớn các lựa chọn và các thành viên của nhóm toán học gồm 239 trường ở Leningrad đã được đưa vào công việc này. Trong cuốn sách “Khối đa diện lồi có mặt đều” của V. A. Zalgaller (Leningrad, 1967), nhiều bổ đề đã được đưa ra và tên của chúng được viết bởi những học sinh lúc đó đã trở thành học sinh. Tác giả cuốn sách cảm ơn họ và chỉ ra rằng nếu không có sự tham gia tích cực của họ thì công việc của vedla đã có thể hoàn thành. Ngoài ra, một người tham gia tích cực khác vào nghiên cứu này là máy tính, nó đã “xem xét” nhiều trường hợp và “chứng minh” các bổ đề tương ứng (bản chất đóng góp của máy tính sẽ được thảo luận chi tiết hơn bên dưới).

Kết quả thu được của V.A. Zalgaller như sau: ngoài 5 thể cao nguyên, 13 thể Archimedean, sự nhận biết và phản lăng kính, còn có nhiều hơn đáng kể

chính xác 92 khối đa diện lồi có cạnh đều. Tôi tự hỏi có bao nhiêu người trong số họ đã thành công với “Quenta” của riêng mình? Tất cả chín mươi hai? Chúng ta hãy chỉ ra rằng để làm được điều này, chỉ cần có các mặt cùng loại cần thiết khi lắp ráp các khối Archimedean, tức là 3-, 4-, 5-, 6-, 8- và 10-giác.

Hoặc có thể một trong những độc giả sẽ lắp ráp 93 khối đa diện mới từ bộ công cụ xây dựng? Đừng ngạc nhiên, nói chung, điều này là có thể, bởi vì việc lắp ráp một khối đa diện từ các bộ phận của bộ công cụ xây dựng không đảm bảo “sự tồn tại về mặt toán học” của nó. Để hiểu sự khác biệt ở đây là gì, hãy xem xét một ví dụ về khối đa diện, sự phát triển của nó được thể hiện trong Hình 7 và cái nhìn tổng quát được thể hiện trong Hình 8. Việc lắp ráp khối đa diện này không gây ra bất kỳ khó khăn nào, nhưng chúng ta hãy theo dõi kỹ.

Với mục đích định nghĩa, hãy để độ dài các cạnh của tất cả các đa giác bằng một. Các mặt A, B và D tạo thành một góc tam diện cứng và do đó cố định vị trí tương đối trong không gian của các điểm 1-8. Bây giờ chúng tôi muốn thêm mặt C. Chúng tôi đã thực hiện được điều này hoặc các điểm 3 và 7 nằm đối xứng với các điểm 2 và 6 và do đó, khoảng cách giữa chúng là 1. Theo cách tương tự, có thể ghép riêng các mặt K, L, M, N thành một cấu trúc cứng nhắc. Vì cả hai bộ phận được lắp ráp đều giống hệt nhau nên khoảng cách giữa các điểm 1 và 8 bằng nhau và chúng ta có thể kết hợp các điểm này theo cặp (xem Hình 9). Cấu trúc thu được chỉ có một bậc tự do, cụ thể là hai phần cứng được lắp ráp có thể quay tương đối với nhau quanh một trục đi qua các điểm 1 và 8. Trên thực tế, từ phần đối xứng được lắp ráp, vị trí tương đối của các bộ phận này đã được cố định, chẳng hạn, theo yêu cầu các đoạn 4-5 và 11-12 song song. Vì vậy, tại thời điểm này, vị trí không gian của tất cả các điểm từ 1–14 điểm khác so với nhau đã được cố định. Nhưng chúng ta vẫn cần thêm các mặt E, F, G, H, I, J. Chúng ta có làm được điều này không? Từ đối xứng lắp ráp, rõ ràng khoảng cách giữa các điểm 2 và 13 bằng khoảng cách giữa các điểm

16

6 và 9, 3 và 14, 7 và 10; Hãy biểu thị khoảng cách này bằng $a$. Khả năng lắp ráp thực tế cho thấy với độ chính xác đủ cao $a \approx 1$, nhưng liệu có một đẳng thức chặt chẽ $a = 1$ cần và đủ cho sự tồn tại của khối đa diện đang xét? Trong những trường hợp như vậy, máy tính có thể giải cứu. Tất nhiên, nếu máy tính toán rằng $a = 1,00000000$, thì điều này hoàn toàn không có nghĩa là khối đa diện tồn tại hoặc máy thực hiện tất cả các phép tính với độ chính xác hạn chế và $a$ có thể khác với một, chẳng hạn như ở chữ số thứ mười hai. Tuy nhiên, nếu máy nhận thấy rằng, chẳng hạn như $a = 0,99998532$, và chúng ta tăng lên, thì có ít nhất sáu dấu của máy luôn đúng, thì điều này sẽ ngay lập tức chứng minh bổ đề rằng khối đa diện với sự phát triển như trong Hình 7 không tồn tại. Có vẻ như phần lớn độc giả «Kvant» vẫn chưa có máy tính và họ sẽ phải sử dụng nghệ thuật biến đổi lượng giác của mình ở đây.

Ví dụ được xem xét cho thấy rằng một hình phẳng, có tất cả các dấu hiệu bên ngoài của sự phát triển của khối đa diện, nói chung có thể không phải là sự phát triển của bất kỳ vật thể ba chiều nào. Để đưa ra ý nghĩa chính xác cho từ “dấu hiệu bên ngoài”, hãy giới thiệu khái niệm phôi. Cụ thể, chúng ta sẽ hiểu bằng một khoảng trống một hệ đa giác lồi tùy ý, không nhất thiết phải chính xác, có các đỉnh được gán số tự nhiên (sẽ là số của các đỉnh nếu một khối đa diện có thể được dán lại với nhau từ chỗ trống), sao cho nếu hai đỉnh lân cận của một đa giác được cho các số $i$ và $j$, thì có thêm chính xác một đa giác trong đó hai đỉnh lân cận cũng có các số $i$ và $j$, ngoài ra, cạnh nối các đỉnh $i$ và $j$ trong một đa giác có cùng độ dài như trong đa giác kia. Chúng ta đã đáp ứng các điều kiện đỉnh, được phôi dễ dàng xác minh, cần thiết cho sự tồn tại của một khối đa diện lồi:

I. Ít nhất ba mặt phải gặp nhau ở mỗi đỉnh,

II. Tổng các góc phẳng của các mặt gặp nhau tại mỗi đỉnh nhỏ hơn 2π.

III. Tổng độ cong của tất cả các đỉnh là 4π.

Rõ ràng, các điều kiện sau đây cũng phải được đáp ứng:

IV. Đối với hai mặt bất kỳ $A$ và $B$, cũng có một chuỗi các mặt $C_1, \dots, C_k$ mà các mặt $A$ và $C_1, C_1$ và $C_2, \dots, C_{k-1}$ và $C_k, C_k$ và $B$ có chung một cạnh.

Hóa ra bốn điều kiện được liệt kê ở trên là đủ - nếu phôi có các đặc tính I-IV, thì một số khối đa diện lồi có thể được dán lại với nhau từ nó.

Với công trình lấy kết quả hình học toàn cầu làm trọng tâm, A. D. Aleksandrov, hiện là viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô, đã được trao Giải thưởng Nhà nước Liên Xô năm 1942.

Bây giờ chúng ta quay lại Hình 7. Dễ dàng kiểm chứng rằng cả bốn điều kiện I-IV đều được thỏa mãn; do đó, một khối đa diện lồi có thể được dán từ chỗ trống này. Nhưng tại sao lúc đó chúng tôi lại gặp khó khăn và nghi ngờ? Thực tế là định lý Alexandrov không phát biểu rằng hệ đa giác ban đầu sẽ là hệ các mặt của khối đa diện. Các điều kiện I-IV chỉ đủ nếu chúng ta cho phép một số đa giác bị “vỡ” trong quá trình dán. Ví dụ, theo định lý của Aleksandrov, Hình 10 cho thấy một khối đa diện lồi. Thoạt nhìn, nó có hai mặt hình vuông và tám mặt hình tam giác, mặc dù trên thực tế, khi dán lại với nhau, kết quả sẽ là một khối lập phương chung. Trong trường hợp phôi từ Hình 7, chẳng hạn, các mặt ngũ giác có thể bị đứt dọc theo các đường chấm, do đó làm tăng giá trị $a$. Đôi khi, khi ghép một đa giác bất kỳ, góc gãy của các cạnh hiện tại gần bằng l nên mắt thường không nhận thấy được các vết nứt, người đọc phải nhớ chứng minh.

17

Chú ý
sinh viên
trung học!

Cửa hàng “Sách kỹ thuật” số 8 Matxcơva bán và gửi tiền mặt khi giao hàng (không cần đặt cọc) những cuốn sách sau:

Toán học
Golomb S.V. Polymno (“Hòa bình”), c. 46k.
Dorofeev G.V. và cộng sự.
Cẩm nang toán học dành cho ứng viên đại học (các câu hỏi chọn lọc của toán tiểu học) (“Hayka”), c. 1 chà. 04k.

Kantor I. L., Solodovnik A. S. Số siêu phức hợp (“Hayka”), c. 22k.
Leetwood J. Hỗn hợp toán học (“Hayka”), c. 37k.
Rudnik AE và cộng sự. Bộ sưu tập bài toán về toán tiểu học dành cho kỹ thuật “Hayka”), c. 55k.
VYGODSKY M. Ya. Cẩm nang toán học cao hơn (“Hayka”), c. 2 r. 60k.

Vật lý
Trigg J. Các thí nghiệm quan trọng trong vật lý hiện đại (“Thế giới”), ts. 41k.
Tuyển tập bài toán và các câu hỏi môn vật lý dành cho các cơ sở giáo dục chuyên trung cấp (“Hayka”), c. 70k.
Vật lý. Phần I. Vũ trụ (“Hayka”), c. 1 chà. 30k. Sách giáo khoa vật lý sơ cấp (do G. S. Landsberg biên tập). Tập 3. Dao động, sóng. Quang học. Cấu trúc của nguyên tử (“Hayka”), c. 1 chà. 13k. Shakhmaev N. M. Vật lý. Phần I. Vật lý phân tử. Điện (“trường Vycisaya”), c. 50k.

Shakhmaev N. M. Vật lý. Phần 2. Dao động và sóng. Quang học. Nguyên tử cấu trúc (“Trường trung học”), c. 53k. Bytko N. D. Vật lý. Phần 1 và 2. Cơ học, vật lý phân tử và nhiệt (“Trung học”), câu 51 k.
Bytko ND Vật lý. Phần 3 và 4. Điện, quang học và cấu trúc của nguyên tử (“Trung học”), c. 58k.

Gửi đơn đặt hàng (bằng bưu thiếp) đến địa chỉ: 103031, Moscow, Petrovka, 15. Cửa hàng số 8 “Sách kỹ thuật”.