Модели многогранников

8

Ю. Матиясевич

Модели
многогранников

В недавно изданом переводе книги
М. Веннинджера «Модели многогранников» (М., «Мир», 1974) рассказано, как можно самому сделать модели симметричных многогранников, и приведены фотографии модели, сделанных автором. Это, несомненно, очень красивые модели, способные украсить математический уголок в школе или комнату юного математика. Однако вот что пишет автор по поводу их создания: «В среднем каждая модель отнимала у меня около воссыми часов; еще три-четыре часа я тратил на подготовку исходного материала».

В этой статье рассказано о конструкторе, придуманном американским архитектором Фредом Бассейти. Потребив два-ти часа на его изготовление, читатели получат возможность собрать желаемый многогранник за несколько минут. Конечно, получающие модели не только красивы, как kleeены, однако проистота изготовления, а также возможность разборки модели и повторного использования их частией окупают этот недостаток. Процесс сборки、多огранников несомненно доставит

12

чаются два многограничка, являющиеся зеркальными отражениями друг друга. Они оба носят одно и то же название и считаются за один многограничик, когда говорят о 13 архимедовых телах. Точно так же два зеркальных варианта имеет плосконой додекадр.

Самая интересная картина возникает при сборке последнего архимедова тела — ромбокубооктадра. Здесь после однозначного окружения треугольной грани квадратными возникнет возможность выбора между треями продолжениями — см. схему на рисунке 3. Первые два варианта имеют однозначное завершение, а вот в третьем, после однозначного окружения второго треугольника, возникают пять способов присоединения третьсяго треугольника — см. схему на рисунке 4.

Сколько же получается разных многограничков? Семь? Нет, всего лишь два. Вариantsы a, b, c1, c3 и c4 приводят к одному и тому же многограничку, показанному на рисунке 5, а варианты c2 и c5 — к этому многограничку и к многограничку, изображенную на рисунке 6. Именно этот последний многограничок называется ромбокубооктадром, и только он является архимедовым телом.

Чем же многограничок с рисунка 5 «хужке» остальных 13 архимедовых тел? Вспомним, что в начале этого раздела мы отказались от требования одинаковости граней, но сохранили требование одинаковости вершин. Можно считать, что две вершины одинаковы, если их можно совместить так, что схождение в них грани попарно совпадает друг с другом (при этом разрешается замена на зеркальные отражения). В смысле этого определения все вершины многограничка с рисунка 5 одинаковы. Чем же тогда «плюхо» приведенное определение одинаковости вершин? Дело в том, что это определение имеет локальный характер — в нем говорится о попарном совпадении только тех граней, которые сходятся в расстативаемых вершинах. Архимедовый же тела обладают более сильным свойством: любые две вершины можно совпадить так, что все грани много-

Рис. 5.

Рис. 6.

граничка попарно совпадут друг с другом. Многограничок с рисунка 5 этим свойством не обладает. Древние греки обладают высокоразвитым чувством гармонини и не удивительно, что этот многограничок не попал в число архимедовых тел. В течение двух тысяч лет он «находился в тени» и был «изобретен» в середине нашей стороны независимо несколькими математками в разных странах. В нашей литературе этот многограничок часто называют телом Ашкинузе по имени советского математика, который первым образом на него внимание.

Как узнать, нет ли еще полуправильных многограничков? Схема рас-

13

сужdenный здесь в принципие такое же, как и в случае платоновых тел. В верхине должно сходиться не менее трех и не более пятей граней (почему?), следовательно, достаточно рассмотреть три типа вершин: $x \cdot y \cdot z$, $w \cdot x \cdot y \cdot z$, $u \cdot w \cdot x \cdot y \cdot z$ (средние $u, w, x, y, z$ могут быть и одинаковые числа). Соответствие получается три неравенства, аналогичные неравенству (1):

$$1 < \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z},$$

(2)

$$2 < \frac{2}{w} + \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z},$$

(3)

$$3 < \frac{2}{u} + \frac{2}{w} + \frac{2}{x} + \frac{2}{y} + \frac{2}{z}.$$

(4)

Мы должны найти все решения этих неравенств в целых числах $u, w, x, y, z$, которые не меньше 3.

Начнем с последнего неравенства. Так же, как и в случае платоновых тел, из неравенств $u \geq 3, w \geq 3, x \geq 3, y \geq 3$ и $z \geq 3$ и неравенства (4) легко вывести, что $u \leq 5, w \leq 5, x \leq 5, y \leq 5, z \leq 5$. Дальше остается (на долю читателей) конечный перебор возможностей.

Неравенство (3) выполено при любом $z$, если $w = x = y = 3$. Это дает бесконечную серию полуправильных многограничков типа $3^3 \cdot z$, называемых антипризмами. Никакой другой полуправильный многограничок (с четырьмя гранами, сходящимся в одной вершине) не может иметь более чем одинаковую угловую грань, либо система неравенств $w \geq 3, x \geq 3, y \geq 4, z \geq 12$ противоречит (3). Таким образом, данные могут считать, что $w \leq 11, x \leq 11, y \leq 11, z \leq 11$, и опять остается конечный перебор.

Большое хлопот вызывает первое неравенство, имеющее много решений, в том числе и таких, которые не соответствуют никаким полуправильному многограничку. Здесь нам помогет еще одно условие, являющееся аналогом неравенства треугольника: сумма плоских углов двух граней больше плоского угла треугольника. Это приводит к неравенству

$$\frac{2}{x} + \frac{2}{y} - \frac{2}{z} < 1$$

(5)

(не ограничивая общности, мы считаем, что $x \leq y \leq z$, и не выписываем еще два аналогичных неравенства). Оба неравенства (2) и (5) выполенны при любом $z$, если $x = 3, y = 6$ или $x = y = 4$. В последнем случае мы получаем бесконечную серию полуправильных многограничков типа $4^2 \cdot z$, называемых призмами. Полуправильный многограничок типа $3 \cdot 6 \cdot z$ существует только при $z = 6$ (почему? как он называется?). При любых других значениях $x$ и $y$ либо $2/x + 2/y < 1$, и тогда $z$ не может быть скольго углового большим согласно (2), либо $2/x + 2/y > 1$, и тогда ограничение $z$ сверху получается из (5). В любом случае дело опять сводится к конечному перебору.

Терпельный читатель, рассмотрев все оставшиеся на его долю случая, придет к выводу, что кроме 5 платоновых тел, 13 архимедовых тел, тела Ашкинузе и бесконечных серий призм и антипризм никаких других полуправильных многограничков не существует (далее при локальном определении одинаковости вершин).

Правильногоные многогранички

Откинем, наконец, и условия одинаковости граней, и условия одинаковости вершин, но сохраним требование, чтобы грани были правильными многоугольниками, а сам многогранич был выпуклым. Сколько же еще многограничков удался при этом собрать? Оказывается, что каличество новых многограничков конечно.

Доказательство этого факта используется аналогизной из школьного курса теоремы о том, что сумма внешних углов любого многоугольника равна 2π. Внешний угол — это дополнительное угла многоугольника до предельного значения, равного π. Аналогично будем назвать кривизной в вершине многограничка разница между 2π (предельное значение) и суммой плоских углов всех граней, сходящихся в этой вершине. Например, кривизна вершины типа $3 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 6$ равна π/6. Оказывется, что если просуммировать кривиз

14

ну по всем вершинам выпуклого многогранника, то всегда получится 4π (это можно проверить на любой модели; доказательство легко получается, если применить теорему Эйлера — см. «Кваант», 1974, № 4, с. 29; № 5, с. 32; № 10, с. 17). Следовательно, вершин типа 3·4·3·6 может быть не больше, чем 4π : π/6 = 24. Аналогично получается ограничение количества вершин любого другого типа. Число типов вершин, вообще говоря, бесконечно, но, перебирая все возможности при определении количества полуправильных многогранников, мы установили, что все вершины, за исключением конечного числа типов, попадают в одну из серий 4²·z, 3³·z или 3·6·z. Телерь осталось показать, что при достаточно большом z правильной выпуклой многогранник с вершиной из первой серии обязательной является признай, из второй серии — антипризмой, а из третьей — не может существовать.

После получения качественного результата о конечности числа правильного многограничных многогранников, отличных от признам и антипризм, хотелось бы узнать и их точное количество. Эта задача была полностью решена ленинградским математиком В. А. Залгаллером. Ее решение потребовала рассмотрения огромного числа вариантов, и к этой работе были приведены члены математического кружка 239 шкoles Ленинграда. В книге В. А. Залгаллера «Выпуклые многогранники с правильными граями» (Ленинград, 1967) приведено много лемм и названия их авторы — школьники, ставшие к тому времени студентами. Автор книги приносит им благодарность и указывает, что без их активного участия работа ведл бы была бы завершена. Кроме того, еще один активным участником этого исследования была ЭВМ, которая «расмотрела» много слуаев и «доказала» соответствующие леммы (подробнее о характере вклада ЭВМ рассказано ниже).

Результат, полученный В. А. Залгаллером, состоит в следующем: кроме 5 платовых тел, 13 архимедовых, признам и антипризм существенно еще

ровно 92 выпуклых многогранника с правильными граями. Интересно, сколько из них удался собственным «Кваента»? Все девяносто два? Укажем, что для этого достаточно граней тех же типов, что были необходимы при сборке архимедовых тел, т. е. 3-, 4-, 5-, 6-, 8- и 10-угольных.

А может быть, кто-либо из читателей соберет из конструктора 93 новых многогранника? Не удивляйтесь, такое, вообще говоря, возможно, ведь сборка многогранника из деталей конструктора еще не гарантирует его «математического существования». Чтобы понять, в чем тут разница, рассмотрим пример многогранника, развертка которого приведена на рисунке 7, а общий вид — на рисунке 8. Сборка этого многогранника не вызывает никаких трудностей, но давайте проследим за ней визмательно.

Пусть для определения длина сторон всех многоугольников равна единице. Грани A, B и D образуют жесткий трехгранный угол и тем самым фиксируют пространственное взаиморасположение точки 1—8. Телерь мы хотим добавить грань C. Нам удался это сделать, либо точки 3 и 7 расположены симметрично точкам 2 и 6 и, следовательно, расстояние между ними равно 1. Точно так же можно будет отдельно собрать в жесткую конструцию грани K, L, M, N. Поскольку обе собранные части одинаковы, то в них расстояния между точки 1 и 8 равны, и мы можем попарно совместить эти точки (см. рисунок 9). Получившаяся конструкция имеет всего одну степень свободы, а именно, две собранные жесткие части могут врашаться друг относительно друга вокруг оси, проходящей через точки 1 и 8. На самом деле из собранной симметричной взаимное положение этих частей уже фиксировано, например, требованием параллельности отрезков 4—5 и 11—12. Итак, уже к этому моменту пространственное расположение всех точки 1—14 других относительно друга фиксировано. Но нам еще надо добавить грани E, F, G, H, I, J. Сможем ли мы это сделать? Из собранной симметричной видно, что расстояние между точки 2 и 13 равно расстоянию между точки

16

6 и 9, 3 и 14, 7 и 10; обозначим это расстояние через $a$. Возможность практической сборки показывает, что с достаточно большой точностью $a \approx 1$, но имеет ли место строгое равенство $a = 1$, необходимое и достаточно для существования расматриваемого многограничника? В подобных случаях и может прийти на помощь ЭВМ. Конечно, если машина вычислит, что $a = 1,00000000$, то это еще вовсе не означает, что многограничник существует, либо все вычисления машина производит с ограниченной точностью и $a$ может отличаться от единицы, скажем, в двенадцатом знаке. Однако, если бы машина нашла, что, например, $a = 0,99998532$, а мы увеличены, что по крайней мере шесть знаков у машины всегда верны, то это немедленно доказывало бы лемму от том, что многограничка с разверткой, приведенной на рисунке 7, не существует. Читатель «Кванта», в большинстве своем, по-видимому, не имеет пока доступа к ЭВМ, и им придется здесь использовать свое искусство тригонометрических преобразований.

Рассмотренный пример показывает, что плоская фигура, обладающая всеми внешними признаками развертки многограничника, может, вообще говоря, и не быть разверткой никакого трехмерного тела. Чтобы придать точный смысл словам «внешние признаки», введем понятие заготовки. А именно, будем понимать под заготовкой произвольную систему выпуклых многоугольников, не обязательно правильно, у которых вершина присвоены натуральные числа (которые будут номерами вершин, если из заготовки удассся с склеить многограничик), так, что если две соседние вершины какого-либо многоугольника получили номера $i$ и $j$, то найдется ещеровно один многоугольник, в котором две соседние вершины также имеют номера $i$ и $j$, кроме того, ребро, соединящее вершины $i$ и $j$ в одном многоугольнике, имеет ту же длину, что и в другом многоугольнике. Мы уже встречались с темя условиями, легко проверяемыми по заготовке, которые необходимо для существования выпуклого многограничка:

I. В каждой вершине должно сходиться не менее трех граней,

II. Сумма плоских углов граней, сходящихся в каждой вершине, меньше 2π.

III. Сумма кривизн всех вершин равна 4π.

Очевидно, что должно быть выполнено еще и следующие условия:

IV. Для любых двух граней $A$ и $B$ существует последовательность граней $C_1, \dots, C_k$ также, что грани $A$ и $C_1, C_1$ и $C_2, \dots, C_{k-1}$ и $C_k, C_k$ и $B$ имеют по общемуребру.

Оказывается, что перечисленные четыре условия являются и достаточно — если заготовка обладает свойствами I—IV, то из нее можно склеить неокоторый выпуклый многограничник.

За работу, в которой этот глобкий геометрический результат является центральным, А. Д. Александров, ныне академик АН СССР, был удостоен в 1942 году Государственной премии СССР.

Вернемся теперь к рисунку 7. Нетрудно проверить, что все четыре условия I—IV выполнены; следовательно, из этой заготовки можно склеить выпуклый многограничник. Но почему же тогда у нас встретились трудности и сомнения? Дело в том, то теорема Александрова не утверждает, что исходная система многоугольников и будет системой граней многограничника. Условия I—IV достаточно лишь в том случае, если мы при склеке разрешим неокоторым многоугольником «переламываться». Например, согласно теореме Александрова на рисунке 10 изображена заготовка какого-то выпуклого многограничка. На первый взгляд, он имеет две квадратные и восемь треугольных граней, хотя на самом деле при склеке получится общимовенный куб. В случае заготовки с рисунка 7 пятугольные грани могут быть, например, переломиться по пунктирным линиям, увеличивая тем самым значение $a$. Иногда при сборке какого-либо многоугольника углы переламыния граней настоящего близки к л, что переломы не заметны на глаз, и читатели должны раз не забывать доказать

17

Вниманию
учащихся
старших классов!

Магазин № 8 «Техническая книга» Московги имеет в продаже и высылает наложенным платежом (без задатка) следующее книги:

Математика
Голомб С. В. Полимно («Мир»), ц. 46 к.
Дорофеев Г. В. и др.
Пособие по математике для поступающих вузы (избранные вопросы элементарной математики) («Нayka»), ц. 1 р. 04 к.

Кантор И. Л., Солодовник А. С. Гиперкомплексные числа («Нayka»), ц. 22 к.
Лиитвуд Дж. Математическая смесь («Нayka»), ц. 37 к.
Рудник А. Е. и др. Сборник задач по элементарной математике для технических «Нayka»), ц. 55 к.
ВЫГОДСКИЙ М. Я. Справачник по высшей математике («Нayka»), ц. 2 р. 60 к.

Физика
Тригг Дж. Решающие эксперименты в современной физике («Мир»), ц. 41 к.
Сборник задач и вопросов по физике для средних специальных учебных заведений («Нayka»), ц. 70 к.
Физика. Часть I. Вселенная («Нayka»), ц. 1 р. 30 к. Элементарный учебник физики (под ред. Г. С. Ландсберга). Том 3. Колебания, волны. Оптика. Строение atoma («Нayka»), ц. 1 р. 13 к. Шахмаев Н. М. Физика. Часть I. Молекулярная физика. Электричество («Выcisая школа»), ц. 50 к.

Шахмаев Н. М. Физика. Часть 2. Колебания и волны. Оптика. Строение atoma («Выcisая школа»), ц. 53 к. Бытько Н. Д. Физика. Часть 1 и 2. Механика, молекулярная физика и теплота («Выcisая школа»), ц. 51 к.
Бытько Н. Д. Физика. Часть 3 и 4. Электричество, оптика и строение atoma («Выcisая школа»), ц. 58 к.

Заказы (открытками) направляйте по адресу: 103031, Москва, Петровка, 15. Магазин № 8 «Техническая книга».