Первый закон термодинамики

42

Первый закон термодинамики

В термодинамике и молекулярной физике изучаются свойства макросоппических тел, то есть тел, состоящих из большого числа частиц (молекул, атомов и т. п.). Такие тела или их группы обычно называют термодинамическими системами.

Все макросоппические тела нарушуются механическая энергия системы чашце всего остаётся неизменной, поэтому для описания подобных явлений необходимо знать лишь внутреннюю энергию $U$ этой системы. В молекулярной физике под внутренней энергией понятно сумму кинетической энергии частиц, входящих в состав данного тела, и потенциальной энергии взаимодействия между этим частицами. Это означает, что внутренняя энергия может быть определена лишь с точностью до некоторой постоянной $U_0^*$). Но поскольку

*) Вобщеше говоря, внутренняя энергия тела включает в себя также и внутренние энергии частицы, входящих в состав данного тела. Это, например, кинетическая энергия электронов и потенциальная энергия взаимодействия электронов между собой и с ядрами атомов, энергия связи нуклонов в ядрах и др. Однако в явлениях, изучаемых в молекулярной физике, частицы, из которых состояят тела, остаются неизменными, следовательно, внутренняя энергия этих частицы постоянна. Это позволяет включить ее в вышеуказанную постоянную ку физической смысл имеет только изменение энергии (с ним связана совершенная работа), то конкретное значение этой постоянной несущественно.

Из определения внутренней энергии системы следует, что она определяется скоростями частиц и расстояниями между ними в данной момент времени и не зависит от значений этих величины в предыдущем моменты времени. Другими словами, внутренняя энергия системы зависит только от состояния, в котором она находится в данной момент времени, и не зависит от состояния, из которых она перешла в данное. (По этой причине внутреннюю энергию системы, так же как и другие физические величины, обладающие этим же свойствам, называют функцией состояния.) Это означает, что при переходе системы из какого-то состояния $1$, в котором внутренняя энергия принимала значение $U_1$, в другой состояние $2$, где внутренняя энергия равна $U_2$, изменение внутренней энергии $\Delta U = U_2 - U_1$ зависит только от самих состояния $1$ и $2$ и не зависит от способа системы из одного состояния в другой.

Как можно изменить внутреннюю энергию системы? Очевидно, для этого надо изменить ее состояние. Это можно сделать двумя, существенно отличующими друг от друга, способами. Один из них — совершение работы над системой, второй — теплобмен с окружающей средой.

Первый закон термодинамики, установленный на основании многочисленных оптовых, утверждает, что изменение внутренней энергии $\Delta U$ системы равно сумме совершаемой над системой работы $A'$ внешних сил и количества теплоты $Q$, переданного системе извлечения:

$$\Delta U = A' + Q.$$

Этот закон можно сформировать несколько иначе, если вместо работы $A'$ внешних сил говорить о работе $A$ самой системы. Поскольку $A' = -A$, то

$$\Delta U = -A + Q,$$ или $Q = \Delta U + A$ — полученное системой количественного теплоты равно сумме изменения ее внутренней энергии и работы, совершенной

43

шаемой системой над внешними телами. Первый закон термодинамики — это конкретаная формулировка закона сохранения энергии в применении к тепловым процесам.

В качестве примера конкретной термодинамической системы рассмотрим идеальный газ. Его состояние можно описать путем параметрами: $m, \mu, p, V, T$. Здесь $m$ — масса газа, $\mu$ — его молярная масса, $p$ — давление газа, $V$ — занимаемый объем и $T$ — температура газа. Все эти параметры связаны уравнением состояния идеального газа — уравнением Менделеева — Клапейрона

$$pV = \frac{m}{\mu}RT,$$

где $R$ — универсальная газовая постоянная.

Внутренняя энергия идеального газа (кинетическая энергия теплового движения его молекул) тоже может быть выражена через те же параметры. Так, для однозотного идеального газа

$$U = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu}RT = \frac{3}{2}pV.$$

Отсюда

$$U_2 - U_1 = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu}R(T_2 - T_1) = \frac{3}{2}(p_2V_2 - p_1V_1).$$

Напомним, что работу, совершаемую идеальным газом при любых процесах, удобнее всего определять графическими (рис. 1): она численно равна площади фигуры, ограниченной графиком соответствующего процесса на $pV$-диаграмме, осью $V$ и отрезками, соответствующими начальному и конечному давлением газа.

Такой метод определяния работы позволяет наглядно продемонстрировать очень важное свойство. Пусть газ переходит из состояния 1 в состояние 2. Этот переход можно осуществить разными способами, например, по пути $1a2$ или $1b2$ (рис. 2). Как видно из рисунка 2, площади под графиками $1a2$ и $1b2$ отличаются друг от друга. Это означает, что работа, совершаемая газом при переходе из одного состояния в другое, зависит не только от этих состояний, но и от способа перехода из начального состояния в конечное. (Другими словами, работа в термодинамике не является функцией состояния.)

Рассмотрим следующие конкреты задачи:

Задача 1. Газ переходим из состояния 1, характеризуемое параметрами $p_1 = 2 \cdot 10^5$ Pa и $V_1 = 0,1$ m$^3$, в состоянии 2, где его параметры равны соответствующим $p_2 = 10^5$ Pa и $V_2 = 0,4$ m$^3$, двумя различных способами (рис. 3). Найти работу газа в общих случаях.

44

В первом случае, когда газ переходит из состояния 1 в состояние 2 по пути 1 a 2, его работа численно равна площади под графиком 1 a 2:
$$A_{1a^2} = p_1(V_2 - V_1) = 6 \cdot 10^4 \text{ Дж}.$$
Аналогично во втором случае равна газа численно равна площади под графиком 1 b 2:
$$A_{1b^2} = p_2(V_2 - V_1) = 3 \cdot 10^4 \text{ Дж}.$$
Задача 2. 4 моля газа совершаем процесс, изображенный на рисунке 4. На каком участке равна газа максимальная?

Прежде всего нарисуем график данного процесса в координатах $p, V$ (рис. 5). Для этого из уравнения Менделеева — Клапейрона найдем объем газа в точках 1, 2, 3 и 4:
$$V_1 = 0,1 \text{ м}^3, V_2 = 2V_1 = 0,2 \text{ м}^3, V_3 = V_2 \text{ и } V_4 = 0,5 \text{ м}^3.$$
Из рисунка 5 сразу следует, что на участке 2—3 работы не совершается (процесс изхорическая):
$$A_{2-3} = 0.$$
На участке 3—4 (при изхорическом процесс) равна равна площади со-ответствующего прямого лыжника:
$$A_{3-4} = p_3(V_4 - V_3) = 1,5 \cdot 10^4 \text{ Дж}.$$
Оценим теперь работу при изотермическом процессе 1—2. Очевидно, что площадь под участком 1—2 изотермы меньше площади трапеции 1—2—$V_2 - V_1$. Эта последняя равна $1,5 \times 10^4 \text{ Дж}$, то есть равна площади прямого лыжника, соответствующего участку 3—4. Таким образом,
$$A_{1-2} < A_{3-4} \text{ и } A_{2-3} = 0.$$
Следовательно, равна газа максимальная на участке 3—4.

Задача 3. Газ, занимающий объем $V_1 = 2 \text{ м}^3$ при давлении $p_1 = 4 \cdot 10^5 \text{ Pa}$, совершает круговой процесс (цикл), состоящий из нескольких этапов. Сначала газ изхорически охлаждается до температуры, при котором его давление равно $p_2 = 10^5 \text{ Pa}$. Затем он изхорически охлаждается в начальное состояние максимального, что его давление изменяется с изменением объема по закону: $p = \alpha V$ ($\alpha$ — постоянная величины). Нарисовать график данного кругового процесса на $pV$-диаграмме и найти совершенную газом равному.

Как следует из условия задачи, состояние газа 1 и 3 изобразаются точками, лежащими на прямой $p = \alpha V$, проходящей через начало координат (рис. 6). Это означает, что $p_1 = \alpha V_1$ и $p_3 = \alpha V_3$.

С учетом того, что $p_3 = p_2$, получаем $V_3 = \frac{p_2V_1}{p_1} = 0,5 \text{ м}^3$.

Работа при круговом процессе численно равна площади фигуры, ограниченной графиком этого процесса, в данной случае — площади треугольника 1 2 3:

$$A = \frac{1}{2} (p_1 - p_2) (V_1 - V_3) = \frac{(p_1 - p_2)^2 V_1}{2p_1} = 2,25 \cdot 10^5 \text{ Дж}.$$

Теперь поговорим немного о тепломкости идеального газа. По определению уделяя тепломкость
$$c = \frac{Q}{m \Delta T},$$

45

где $Q$ — сообщенное газу количество теплоты, $m$ — масса газа и $\Delta T$ — изменение его температуры. Согласно первому закону термодинамики $Q = \Delta U + A$, тогда $c = \frac{\Delta U + A}{m \Delta T}$. Как уже говорилось, изменение внутренней энергии не зависит от способа изменения состояния газа (то есть от условий его нагрева), а работа — зависит. Следовательно, и удаляя теплоекость идеального газа зависит от условий, в которых происходит его нагрева. Например, если газ нагревается изохорическая, работа газа $A = 0$ и удаляя теплоекость газа при постоянном давлении

$$c_V = \frac{\Delta U}{m \Delta T}.$$

Если же газ нагревается изохорическая, $A = p \Delta V = \frac{m}{\mu} R \Delta T$, поэтому удаляя теплоекость идеального газа при постоянном давлении

$$c_p = \frac{\Delta U}{m \Delta T} + \frac{A}{m \Delta T} = c_V + \frac{R}{\mu} > c_V.$$

Это объясняется тем, что при изобарическом нагревании газа только часть полученного количества теплоты идет на увеличение внутренней энергии газа (на увеличение его температуры), часть же превращается в механическую работу. При изохорическом нагревании все количество теплоты расходуется на увеличение температуры газа. Следовательно, для увеличения температуры на один градус одной и той же массы газа при постоянном давлении требуется большее количество теплоты, чем при постоянном объете. Это и означает, что

$$c_p > c_V.$$

Для примера рассмотрим такую задачу:

Задача 4. Вычислить удаление тепломкости при постоянном объете и при постоянном давлении для аргона ($\mu = 40 \cdot 10^{-3}$ ккал/моль).

По определению

$$c_V = \frac{\Delta U}{m \Delta T} \text{ и } c_p = c_V + \frac{R}{\mu}.$$

Аргон — одноатомный газ, и для него

$$\Delta U = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu} R \Delta T.$$

Рис. 6.

Рис. 7.

Тогда

$$c_V = \frac{3}{2} \frac{R}{\mu} \approx 311 \text{ Дж/(кг·К)}$$

и

$$c_p = c_V + \frac{R}{\mu} = \frac{5}{2} \frac{R}{\mu} \approx 519 \text{ Дж/(кг·К).}$$

Разберем еще несколько задач:

Задача 5. Некоторые количества одноатомного газа занимаем объем $V_1 = 0,1 \text{ m}^3$ при давлении $p_1 = 2 \cdot 10^5 \text{ Pa}$. Если газ переходит из этого состояния в конечное состояние 2 сначала при изобарическом, а затем при изохорическом нагревании, то он совершаем работу $A_1 = 4 \cdot 10^4 \text{ Дж}$. Если же переход осуществляется неосредственно по прямой 1—2, то работа газа $A_2 = 5 \cdot 10^4 \text{ Дж}$. Найти давление и объем газа в конечном состоянии 2, а также количество теплоты, полученные газом в обихах случай.

Изображим указаные процессы на $pV$-диаграмме (рис. 7). Работа газа в первом процессе равна

$$A_1 = p_1(V_2 - V_1),$$

46

откуда
$$V_2 = V_1 + \frac{A_1}{p_1} = 0,3 \text{ м}^3.$$

Во втором случае газ совершает работу
$$A_2 = \frac{1}{2} (p_1 + p_2) (V_2 - V_1),$$

откуда
$$p_2 = \frac{2A_2}{V_2 - V_1} - p_1 = 3 \cdot 10^5 \text{ Pa}.$$

Изменение внутренней энергии одинаково для обих clучаев и равно для одноатомного газа
$$\Delta U = \frac{3}{2} (p_2 V_2 - p_1 V_1) = 1,05 \cdot 10^4 \text{ Дж}.$$

Тогда окончательно, согласно первому закону термодинамики,
$$Q_1 = A_1 + \Delta U = 5,05 \cdot 10^4 \text{ Дж}$$
и
$$Q_2 = A_2 + \Delta U = 6,05 \cdot 10^4 \text{ Дж}.$$

Задача 6. Наимену работу, коморую совершаемей массой $m = 0,2$ ккв. в процессе адвабатного расширения, если он при этом охладился от $T_1 = 300$К до $T_2 = 268$К. Молярная масса тела $\mu = 4 \times 10^{-3}$ ккал/mоль.

При адвабатном процессе ($Q=0$) работа газа равна изменению его внутренней энергии, взятому с обратным знаком:
$$A = -\Delta U.$$
Для гелия (гелий — одноатомный газ)
$$\Delta U = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu} R \Delta T = \frac{3}{2} \frac{m}{\mu} R (T_2 - T_1).$$

Отсюда
$$A = -\frac{3}{2} \frac{m}{\mu} R (T_2 - T_1) \approx 2 \cdot 10^4 \text{ Дж}.$$

У пряженяя

1. Газ был нагрет изобарически от $T_1=285$К до $T_2=360$К. Определить совершенную газом работу, если его начальное давление и объем равны соответствию $p_1 = 1,9 \cdot 10^5$ Па и $V_1 = 6 \text{ м}^3$.
2. Найти работу, совершенную одним молем и идеальным газа в круговом процессе, изобаренном на рисунке 8, если $p_2/p_1 = 2, T_1=280$К, $T_2=360$К.
3. В цилиндре находится азот массой $m=0,7$ кг при температуре $T=291$К. До какой температуры необходимо изобаренческую нагреть азот, чтобы работа расширения равная $A=4,15 \cdot 10^4$ Дж?
4. Какое количество теплоты поглощает $m=0,3$ кг гелия при нагревании от 293К до 373К при постоянном давлении? Каков прирост его внутренней энергии и какую работу он совершает?
5. Неон нагревается при постоянном давлении $p=1,6 \cdot 10^5$ Па так, что его объем увеличивается на $\Delta V=0,6 \text{ м}^3$. Определить изменение внутренней энергии неона, совершенную при расширении работу, а также полученное им количество теплоты.
6. До какой температуры нагрела массой $m=0,12$ кг, находящейся при температуре $T_1=295$К, в результате адвабатного скатания, если при этом была затрачена извлека работа $A'=4150$ Дж?
7. Баллон емкостью $V=1,5 \text{ м}^3$ содержит одноатомный газ при температуре $T_1=300$К и давление $p_1=1,8 \cdot 10^5$ Па. Каков будет температура и давление газа, если ему сообщить количество теплоты $Q=5,4 \cdot 10^4$ Дж?
8. Идеальный одноатомный газ, занимающий при давлении $p_1=10^5$ Па объем $V_1=2 \text{ м}^3$, расширяется таким образом, что график процесса расширения изобаряется на $pV$-диаграмме отрезком прямой. Найти объем и давление газа в конце расширения, если известно, что газ в этом процессе получил количество теплоты $Q=3,5 \cdot 10^5$ Дж и совершил работу $A=1,1 \cdot 10^5$ Дж.