Доказать можно? — Доказать нельзя!

38

Е. Семенов
ДОКАЗАТЬ МОЖНО?

• ДОКАЗАТЬ НЕЛЬЗЯ!

— Пап, а, пап! А белка кушает кедровые орешки?
— Да, доченька.
— А кедр — это такая травка?
— Ну что ты, Танюша! Кедр — это дерево!
— Если бы моя белка была не кукульной, а настоящей, я взяла бы ее в лес, и если эта белка на какое-нибудь дерево запрыгнула, — значит, это кедр.
(Из разговора маленькой Танюши)

Трудно сказать, с какого возраста мы начинаем заниматься доказательствами. Может, с того времени, когда начинаем случайить и попытать сказать, когда свои куклы превращаем в героев условиях сказок, перемешивая детскую фантацию «со взрослой былью». Примером может служить только что приведенный разговор. Вы, наверное, заметили, что в разговоре маленькой Тани содержится (может быть, первоое в ее жизни) доказательство. Смотрите, она считает, что:

1. белка кушает кедровые ореши;
2. кедр — это дерево;
3. белка влеза на данное дерево.

На этом основании Таня делает выбор, что данное дерево — кедр. Правда, Танин вывод ошибочен. Чтобы этот выбор был верен, нужно еще одно условие:

4. если дерево — не кедр, то белка на макое дерево не полезет (инначе: из всех деревьев белка влазает молоко на кедр).

Посмотрим, однако, на Танино доказательство с другой стороны. В ее распоряжении были три перечисленных условий. Можно ли на их основе, не пользоваться никакими другими условиями, доказать полученный выбор? — Конечно, нет! А опровергнуть? — Тожде нет! Может оказаться, что дерево, на котором влазла белка, — кедр, и тогда вывод верен, но с таким же успехом белка может власть на берегу, и тогда вывод неверен. Математик сказал бы, что Танин заключение неависимо от ее трех условий.

И все-tаки… и в более старшем возрасте мы тоже иногда допускаем аналогичные ошибки. Сомневаетесь? Тогда послушайте историю, которая

39

произошла с нашим слабым шестиклассником Степой Мошкиным и его друзьями при изучении им геометрии.

1. Степа и его друзья ищут доказательство

—Третье свойство расстояний подозрительно! Почему оно дает без доказательства? Каждый его можно доказать с помощью perвых двух свойств расстояний! — глубокомысленно произнес Степа.

На другой день этим занимались все друзья Степы, увлеченные его идеей. Их усилия не были направлены: вскоре были найдены сразу несколько доказательств.

Прежде всего напомним читателем свойства расстояний. Их, как вы помните, три.

1. Расстояние от точки A до точки B положительно, если они различны, и равно нулю, если они совпадают:

$$|AB| > 0, \text{ если } A \neq B, \text{ и } |AB| = 0, \text{ если } A = B.$$

2. Расстояние от точки A до точки B равно расстоянию от точки B до точки A:

$$|AB| = |BA|.$$

3. Для любых трех точки A, B, C расстояние от A до C не больше (меньше или равно) суммы расстояний от A до B и от B до C:

$$|AC| \leq |AB| + |BC|.$$

А теперь познакомиться с одним из доказательств Степы и его друзей.

Надо доказать, что для любых трех точки A, B, C выполняется такое неравенство:

$$|AC| \leq |AB| + |BC|.$$

Допустим, что это не мак. Пусть

$$|AC| > |AB| + |BC|.$$

() Так как A, B, C — любые три точки, мо пусить, например, точка B совпадает с C, точка A отлича от B: B = C, A ≠ B. Поскольку в этом случае |BC| = 0 (no свойству 1), то из () получаем, что |AC| > |AB|. С другой стороны, поскольку точки B и C совпадают, |AC| = |AB|. Пришли к противоречению: |AC| > |AB| и |AC| = |AB|. Следовательно, допущение, что |AC| > |AB| + |BC|, неверно. Остаемся, естественно, что |AC| ≤ |AB| + |BC|, то есть свойство 3 выполняется!

Степа Мошкин и его друзья ликовали. Доказательство третьего свойства расстояний найдено! Причем это доказательство использует только первое свойство! Отсюда — новая идея: а нельзя ли доказать и второе свойство расстояний с помощью perвого? «Математическое общество» Степы Мошкин с удовлетворенной принялись за работу. Незввестно, когда и чем бы это все кончилось, если бы не Петр Иванович.

2. Доказательства не существует!

На очередном уроке по геометрии Степа и его друзья познакомили с найdenными доказательствами Петра Ивановича. Тот внимательно выслушал их и сказал.

— Знаете, в каждом из ваших доказательств содержится ошибка. Но самое главное не в этом. Я мог дать такой ответ, не знакомя с вашими доказательствами. С помощью perвых двух свойств расстояний третье свойство вы не доказете!

— Как! — воскликнул Степа. — Это было не может! А если бы до-

40

казательство было сделано другими?… Ну, например, десятиклассики?… Или каким-нибудь ученым, академиком?!

— Никакой ученый, друзья, этим занимается не станет, потому что он наперед знает о невозможности такого документаства. И десятиклассик не будет делать таких попыток, если он достаточно хорошо знать математику.

Все укоризенно посмотрели на Степу. Надо же было ему вовлечь их в это безнадежное дело. Столько времени затрачен! И вот такой печальный конец. Не могли договораться обратиться сразу к Петру Ивановичу!

— Да вы не расстраивайтесь! — сказал Петр Иванович. — Вы не одноки в своей «неудание». Аксиму параälельности Евклида документали в течение 2 тысяч лет много известные и талантливые математики мира. Далее Николай Иванович Лобачевский сначала пытался это сделать. И лишь в прошломве было установлено, что доказать эту аксиomy на основе других аксиом Евклида невозможно. А теперь сравните несколько дней ваших трудов с трудом продолжительного в 2 тысяч лет! Вы видите, насколько скромны ваши услуги по сравнению с усилиями многих математиков, отдавших на доказательство аксиомы параälельности всего своего жизни?

3. Доказать невозможно? — Почему?

— Но как, каким образом можно узнать, что доказательство невозможно? — заговорили сразу все ученики класса, даже те, кто не искал документа третьего свойства расстояния.

— Прежде всего, — начал Петр Иванович, — не считайте, что расстояние — это обязательное нечто, полученное с помощью масштабной линейки. Ведь в аксиомах расстояний об этом ничего не сказано! И почему бы не считать, что расстояние можно изменять, скажем, в градусах, с помощью транспорта? Разве аксиомы расстояния запрещают это делать? Да и вы передко измените расстояние в минутах — от дома до школьы 10 минут. Так вот, сейчас мы построим такую модель, в которой свойства 1 и 2 расстояний будут выполнться, а свойство 3 выполнться не будет.

Представьте себе такую фантастическую ситуацию. Город (плоскость) заселен крайне ленивыми существами. Они не ходят на работу, в кино, в гости, друг к другу, они лишь звонить друг друга по телефону. Причем из точки А в точку B и из B в А можно дозвониться за 3 минуты. В любую другую точку из A и B можно дозвониться за 1 минуту. Из любой точки, отличной от A и B, в любую другую точку можно дозвониться тоже за 1 минуту. А из любой точки в нее саму можно «дозвониться» за нульво времени.

Для таких лентяев расстоянием от одной точки до другой является время, за которой можно дозвониться из первой точки во вторую.

Проверьте выполнение расстояния в этом фантастическом городе. Видите? Первое и второе выполнения, а третье — нет. Например, $|AB| > |AC| + |CB|$, так как $|AB| = 3$, $|AC| + |CB| = 1+1=2$.

41

— Ну вот, а теперь можно сделать и вывод, — сказал учитель. — Что значит «доказать третье свойство расстояний с помощью perвых двух свойств»?

— Это значит доказать, что если свойства 1 и 2 выполняются, то и свойство 3 будет выполнаться, — ответил Степа сразу за всех.

— А в рассмотрении модели свойства 1 и 2 выполняется, а свойство 3 не выполняется. Значит, доказать свойство 3 с помощью свойств 1 и 2 невозможно! Свойство 3 неависимо от свойств 1 и 2.

4. Новая модель

Вам, наверное, не терпится узнать, доказали ли Степа и его друзья воое свойство расстояний с помощью первого? И существует ли такое доказательство?

После получения «урока» «математическое общество» Степы Мошкин стало действовать осмотрительнее. Его члены поняли, что занятие математкой ознакомает не только понок доказательства, но и выяснение: а существует ли они? Сначала ребята решили попытаться построить модель, в которой первоое свойство расстояний выполилось бы, а второе — нет. Удача ознакомала бы, что доказательства второго свойства на основе первого не существует. И им повезло. Вот какую «телефонную» модель они построили: $|AB| = 2, |BA| = 1, |AC| = |CA| = |BC| = |CB| = 1$. Очевидно, что первоое свойство расстояний для всех точек в такой модели выполняется. Однако для точки

$A$ и $B$ второе свойство не выполняется: $|AB| \neq |BA|$. Следовательно, второе свойство расстояний неависимо от первого свойства.

5. Эпилог

Вот так закончился еще одна история, проискедшая с шестиклассником Степой Мошкиным. Вы думаете, после нее он угоомился? Ошибается! Степа приготовил для вас задания!

Ураженняя

1. Найдите ошибку в «доказательстве» третьего свойства расстояний.
2. Выясните, выполняется ли третье свойство расстояний в модели, построенной Степой и его друзьями.
3. Возьмите две различные точки $A$ и $B$. Будем считать, что $|AB| = 1, |BA| = 3$. Расстояние между любыми другими несовпадющими точками считайте равным 1, между совпадениями — 0. Доказите с помощью этой модели неависимо второго и третьего свойства расстояний от первого.
4. Доказите путем построения соответствующей модели, что второе свойство расстояний неависимо от третьего свойства.
5. Изображите трехугольник $ABC$ такой, что $\hat{C} = 100^\circ, \hat{A} = 30^\circ, \hat{B} = 50^\circ$. За расстояние между двумя вершинами треугольника прием выполнению угла при третьей вершине: $|AB| = 100, |AC| = 50, |BC| = 30$. Расстояние между любыми другими различными точками будет считать равным 1, расстояние между совпадениями точками будет считать равным 0. Обосновите с помощью этой модели неависимо доказательства третьего свойства с помощью perвых двух свойств расстояний.