Задачи М481—М485; Ф493—Ф497

28

Задчи

M481—M485; Ф493—Ф497

М481. В последовательности натуральных чисел $a_1, a_2, a_3, \dots$ каждый член $a_{k+1}$ равен сумме квадратов цифр в десятичной записи числа $a_k(k \ge 1)$. Докажите, что при любом $a_1$ в этой последовательности встречается число 1 или число 89.

В. Панфилов

М482. Сечение правильного тетраэдра — четырехугольник. Докажите, что перimeter этого четырехугольника больше 2$a$, но меньше 3$a$; где $a$ — длина ребра tetraэдра.

В. Произволов, А. Савин

М483. a) Докажите, что отношение радиуса вписанной окружности прямоугольного треугольника к сумме квадратов длин медиан, проведенных из острых углов, не превышает 1/5.

6. Найдите наиболее значение, которое может принимать это отношение.

Я. Темралев

М484. При каких $n$ существует выпуклый $n$-угольник, который можно разрезать на несколько правильных многоугольников (не обязательно одинаковых)?

С. Н. Миронов

М485*. a) Докажите, что число $e$ заключено между числами $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ и $b_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$ при любом натуральном $n$.

6. Докажите, что последовательность $c_n = \left(1 + \frac{1}{4n}\right)\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ монotonно возрастает, а последовательность $d_n = \left(1 + \frac{1}{2n}\right)\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ монotonно убывает.

в) Разделим отрезок $[a_n; b_n]$ на четыре равных по длине отрезка. В каком из них лежит число $e$?

г) Разделим отрезок $[a_n; b_n]$ на восемь равных частей. В какой из них лежит $e$?

д) А если отрезок $[a_n; b_n]$ разделить на $2^k$ равных частей (в этой задаче интересно получить ответ для достаточно больших $n$, например, для $n > 2^k$)?

29

(Напомним, что $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 2,718...$, — см. учебник «Алгебра и начала анализа 10», pp. 106, 113.)

Т. Мартыненко, Р. Ушаков

Ф493. Какое влияние оказывает Луна на траекторию движения Земли вокруг Солнца?

Ф494. В схеме, изображенной на рисунке 1, $R_2 = 90 \text{ Om}$, $R_3 = 300 \text{ Om}$, $R_4 = 60 \text{ Om}$ и $L_2 = 900 \text{ F}$. Каковы значения $R_1$ и $L_1$, если через галванометр $G$ ток не идет независяimo от того, подключен к клемам $a$ и $b$ источник постояного или переменного тока?

XXIV Олимпца ПНР (1975 г.)

Ф495. Три несмешивающие жидкости с плотностью $\rho_1$, $\rho_2$ и $\rho_3$ заполняют замкнутую тонкую цилиндрическую трубку, образующую колюцо, плоскость которого вертикальная (рис. 2). Жидкость с плотностью $\rho_1$ заполняетдугу колюца с углом $\alpha_1$, а жидкость с плотностью $\rho_2$ —дугу с углом $\alpha_2$. Какой угол $\alpha$ образует с вертикально радиус колюца, проведенный к границе этих жидкости? Поверхностными эффективами претенбреть.

Ф496*. В цилиндрический конденсатор в точке $A$ впускается слегка расходящая пучок положительныхонов с малым углом растора $\alpha$ (рис. 3). Все они в пучке имеют одинаковую энергию. Те онны, у которых вектор скорости в точке $A$ направлен перpendикулярно $AO$, движется по окружности радиуса $|AO|=r_0$, концентрической с обкладками конденсатора. Доказать, что пучок оннов будет фокусироваться в точке $B$ такой, что $\widehat{AOB} = \pi \sqrt{2}$. Определить максимальный ширину пучка.

Ф497. Диск радиуса $r$, врашающая с угловой скоростью $\omega$, бросают со скоростью $v$ под углом $\alpha$ к горизонту. Плоскость диска во время его движения остается вертикальной. Найти радиус кривизны траектории самой верхней точки диска в тот момент, когда диск достигнет максимальной высоты своего подьема.