Bài toán M481—M485; F493—F497

28

Nhiệm vụ

M481—M485; F493—F497

M481. Trong dãy số tự nhiên $a_1, a_2, a_3, \dots$, mỗi số hạng $a_{k+1}$ bằng tổng bình phương các chữ số trong ký hiệu thập phân của số $a_k(k \ge 1)$. Chứng minh rằng với mọi $a_1$ số 1 hoặc số 89 đều xuất hiện theo dãy này.

V. Panfilov

M482. Tiết diện của một tứ diện đều là một tứ giác. Chứng minh rằng chu vi của tứ giác này lớn hơn 2$a$ nhưng nhỏ hơn 3$a$; trong đó $a$ là độ dài của cạnh tứ diện.

V. Proizvolov, A. Savin

M483. a) Chứng minh rằng tỉ số giữa bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông với tổng bình phương độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các góc nhọn không vượt quá 1/5.

6. Tìm giá trị lớn nhất mà tỉ số này có thể nhận được.

Y. Temralev

M484. Để làm gì thì $n$ có một $n$-giác lồi có thể cắt thành nhiều đa giác đều (không nhất thiết phải giống hệt nhau)?

S. N. Mironov

M485*. a) Chứng minh rằng số $e$ nằm giữa các số $a_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ và $b_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1}$ với mọi số tự nhiên $n$.

6. Chứng minh rằng dãy $c_n = \left(1 + \frac{1}{4n}\right)\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ tăng đơn điệu và dãy $d_n = \left(1 + \frac{1}{2n}\right)\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$ giảm đơn điệu.

c) Chia đoạn $[a_n; b_n]$ thành bốn đoạn có độ dài bằng nhau. Cái nào trong số chúng chứa số $e$?

d) Chia đoạn $[a_n; b_n]$ thành tám phần bằng nhau. Cái nào chứa $e$?

e) Và nếu đoạn $[a_n; b_n]$ được chia thành $2^k$ phần bằng nhau (trong bài toán này, thật thú vị khi thu được đáp số cho $n$ đủ lớn, chẳng hạn như cho $n > 2^k$)?

29

(Nhớ lại $e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 2,718...$, xem SGK “Đại số và Nguyên lý Giải tích 10”, trang 106, 113.)

T. Martynenko, R. Ushakov

F493. Mặt Trăng có ảnh hưởng gì đến quỹ đạo Trái Đất quay quanh Mặt Trời?

F494. Trong mạch hiển thị ở Hình 1, $R_2 = 90 \text{ Om}$, $R_3 = 300 \text{ Om}$, $R_4 = 60 \text{ Om}$ và $L_2 = 900 \text{ F}$. Ý nghĩa của $R_1$ và $L_1$ là gì nếu không có dòng điện chạy qua điện kế $G$ bất kể nguồn điện một chiều hay xoay chiều được nối với các cực $a$ và $b$?

Vận động viên Olympic XXIV của Cộng hòa Nhân dân Ba Lan (1975)

F495. Ba chất lỏng không thể trộn lẫn với mật độ $\rho_1$, $\rho_2$ và $\rho_3$ đổ đầy một ống hình trụ mỏng kín, tạo thành một vòng có mặt phẳng thẳng đứng (Hình 2). Một chất lỏng có mật độ $\rho_1$ lấp đầy một cung tròn có góc $\alpha_1$ và một chất lỏng có mật độ $\rho_2$ lấp đầy một cung có góc $\alpha_2$. Góc $\alpha$ tạo thành bao nhiêu khi bán kính thẳng đứng của vòng vẽ tới ranh giới của các chất lỏng này? Hiệu quả bề ngoài có thể được khẳng định.

F496*. Một chùm ion dương hơi phân kỳ có góc raster nhỏ $\alpha$ được đưa vào tụ điện hình trụ tại điểm $A$ (Hình 3). Tất cả chúng trong chùm tia đều có năng lượng như nhau. Những vật có vectơ vận tốc tại điểm $A$ vuông góc với $AO$ sẽ chuyển động dọc theo một đường tròn bán kính $|AO|=r_0$, đồng tâm với các bản tụ điện. Chứng minh rằng chùm tia sẽ hội tụ tại một điểm $B$ sao cho $\widehat{AOB} = \pi \sqrt{2}$. Xác định độ rộng chùm tia tối đa.

F497. Một đĩa có bán kính $r$ quay với tốc độ góc $\omega$ được ném với tốc độ $v$ một góc $\alpha$ so với phương ngang. Mặt phẳng của đĩa vẫn thẳng đứng trong quá trình chuyển động của nó. Tìm bán kính cong quỹ đạo của điểm cao nhất của đĩa tại thời điểm đĩa đạt độ cao lớn nhất.