Cycloid trên mặt phẳng và trên mặt cầu

13

Cyclops trên mặt phẳng và trên hình cầu

Đặc tính của họ cyclopidae đã được nhiều nhà khoa học xuất sắc nghiên cứu trong năm qua. Trong số đó có G. Galileo (1564-1642), người đã đặt cái tên Cyclopides (từ tiếng Hy Lạp khuhlos - “vòng tròn”).

Cyclops phẳng là quỹ đạo của một điểm cố định trên một đường tròn lăn (không trượt) dọc theo một đường thẳng cho trước. Nếu một vòng tròn di động lăn dọc theo một vòng tròn đứng yên, chạm vào nó từ bên ngoài thì điểm cố định của vòng tròn di động mô tả một ngoại xích đạo. Với $r=R$, epicyclopda được gọi là cardiopda («Kvant», 1977, số 12, trang 33), với $\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$ - nephrode («Kvant», 1977, số 9, trang 43).

Mọi thứ được mô tả ở đoạn trước đều xảy ra trên máy bay. Để đi vào không gian, đến các cyclop trên một hình cầu, chúng ta định nghĩa một cyclops phẳng theo một cách khác: hãy tưởng tượng rằng một mặt phẳng di động được đặt chồng lên một mặt phẳng cố định, trên đó vẽ một vòng tròn $\Sigma_1$, trên đó vẽ một vòng tròn $l$. Quả cầu $\Sigma_2$ được xoay sao cho vòng tròn $l$ lăn (không trượt) dọc theo vòng tròn $L$. Trong trường hợp này, quỹ đạo của một điểm cố định của đường tròn $l$ sẽ rơi vào hình cầu $\Sigma_1$ và hình cầu cyclops $y$. Hình 1 cho thấy một vòng của một thấu kính hình cầu. Nếu bán kính của hình tròn là $L$

Hình 1.

Hình 2.

và $l$ là vô tỉ, các điểm của thấu kính hình cầu lấp đầy một dải trên hình cầu.

Cố gắng xác định hình dạng của thấu kính cyclops hình cầu, nếu $\frac{r}{R}=\frac{1}{2}$.

Descartes là một trong những người đầu tiên chỉ ra cách người ta có thể xác định hướng của một tiếp tuyến với một thấu kính phẳng tại bất kỳ điểm nào. Hãy thay hình tròn chuyển động bằng hình vuông $ABCD$ có cùng chu vi và làm cho nó lăn dọc theo một đường thẳng cho trước, theo quỹ đạo của điểm $A$ (Hình 2). Trong trường hợp này, hình vuông sẽ lần lượt xoay quanh các đỉnh $D$, $C$, $B$, lần lượt chiếm các vị trí $D$, $C_1$ và $B_2$. Nếu tâm quay tại một thời điểm nhất định là tại điểm $C_1$, thì pháp tuyến (vuông góc với tiếp tuyến) tại điểm $C$ sẽ đi qua điểm $C_1$. Hãy thay hình vuông bằng hình ngũ giác, lục giác đều,… . . , $n$-gon có cùng chu vi. Hình ảnh sẽ giống nhau: pháp tuyến sẽ đi qua đỉnh, gần đó sẽ xảy ra chuyển động quay vào lúc này. Trong giới hạn ở $n \rightarrow \infty$ đa giác đều sẽ biến thành một đường tròn, quỹ đạo của điểm $A$ thành một đường tròn và điểm mà pháp tuyến phải đi qua tại một điểm cho trước của đường tròn sẽ trở thành điểm tiếp tuyến của đường tròn chuyển động (theo vị trí của nó) với đường tham chiếu. Có một pháp tuyến, không khó để chứng minh một tiếp tuyến.

Lý luận tương tự có thể được chứng minh cho epicyclopda và hypopyclopda, chỉ có “đa giác đều” đến từ các cung của một đường tròn cố định chứ không phải từ các đoạn thẳng. Và một lần nữa hóa ra là tiếp tuyến của ngoại tâm tại một điểm nhất định sẽ đi qua điểm tiếp xúc của vòng tròn di động theo vị trí.

Nhà toán học St. Petersburg J. Herman (1678-1733) đã chỉ ra rằng nhận định này cũng đúng đối với các thấu kính hình cầu.

V. Berezin