Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

53

Viện Vật lý và Công nghệ Moscow

Dưới đây là các mẫu lựa chọn được công bố cho kỳ thi viết đầu vào môn toán và vật lý năm 1977.

Mathematica

Tùy chọn 1

1. Giải phương trình
   $$\sin 2x - \sin^2 x = 2\sin x - 4\cos x.$$
2. Giải bất đẳng thức
   $$\frac{5 - 4x}{3x^2 - x - 4} < 4.$$
3. Giải phương trình
   $$\lg^2(4 - x) + \lg(4 - x) \cdot \lg\left(x + \frac{1}{2}\right) = 2\lg^2\left(x + \frac{1}{2}\right).$$
4. Đường đi qua điểm A và B. Chúng tôi đi cùng lúc và cùng chiều: từ A - người đi xe máy (theo hướng B), từ B - người đi xe đạp. Motoriklst đến chỗ người đi xe đạp cách B một km. Nếu người đi xe máy và người đi xe đạp đồng thời xuất phát từ A đến B thì tại thời điểm người đi xe máy đến B thì người đi xe đạp sẽ cách anh ta b km. Xác định khoảng cách giữa hai điểm A và B (vận tốc của người đi xe máy và người đi xe đạp không đổi).
5. Cạnh đáy ABCD của SABCD nguyên thủy đúng có chiều dài a, cạnh bên có chiều dài 2a. Xét các đoạn có hai đầu nằm trên đường chéo BD của đáy và cạnh SC, song song với mặt phẳng SAD.

1. Một trong các đoạn thẳng này được vẽ qua điểm M của đường chéo BD sao cho DM : DB = 1 : 3. Tìm độ dài của nó.
2. Tìm độ dài ngắn nhất của tất cả các đoạn được xem xét.

6. Đồ thị của hàm số y = $\frac{1}{x}$ và y = $5 - \frac{3}{2}x$, xét ở phần tư thứ nhất của mặt phẳng tọa độ (x > 0, y > 0), cắt nhau tại các điểm A và B. Cạnh huyền của tam giác vuông cân song song với trục Ox, hai đỉnh của nó nằm trên đồ thị thứ nhất và cạnh huyền thứ ba trên đoạn AB. Tìm độ dài các cạnh của tam giác.

Tùy chọn 2

1. Giải phương trình
   $$2\log_2 \frac{x - 7}{x - 1} + \log_2 \frac{x - 1}{x + 1} = 1.$$
2. Giải phương trình
   $$\frac{1}{\sin x} + \frac{1}{\sin \left(x - \frac{3\pi}{2}\right)} = 4\sin \left(x + \frac{5\pi}{4}\right).$$
3. Cho tam giác vuông ABC, cạnh BC có độ dài a và tạo thành một góc α với cạnh huyền AC. Điểm D nằm trên cạnh BC và có tổng bình phương khoảng cách đến các đường thẳng AC, AB nhỏ nhất so với các điểm còn lại trên đoạn BC. Tìm độ dài đoạn BD.
4. Tìm bốn số có tính chất sau:
   a) tổng của số thứ nhất và số thứ tư là 14, tổng của số thứ hai và số thứ ba là 12;
   b) các số thứ nhất, thứ hai và thứ ba tạo thành cấp số nhân theo thứ tự đó;
   b) các số thứ hai, thứ ba và thứ tư tạo thành cấp số cộng theo thứ tự đó.
5. Cạnh đáy của hình tam giác đều ABCA₁B₁C₁ có độ dài a. Điểm D là trung điểm của cạnh AB, điểm E nằm trên cạnh A₁C₁. Đường thẳng DE lần lượt tạo thành các góc α và β với các mặt phẳng ABC và AA₁C₁С. Tìm thấy:
   1. chiều cao lăng kính;
   2. bán kính của quả cầu có tâm đoạn DE tiếp xúc với các mặt phẳng ABC và AA₁C₁С.
6. Tìm diện tích của hình được xác định trên mặt phẳng tọa độ của các dây thần kinh của hệ thống
   $$\begin{cases} \sqrt{3x^2 + 3y^2} \geq 2y + 1, \\ y + 4 \geq 2\sqrt{3} |x|. \end{cases}$$

Vật lý

Tùy chọn 1

1. Một lực $\vec{F}$ bắt đầu tác dụng lên một vật đang đứng yên có khối lượng m = 5 kg, độ lớn của lực này giảm dần theo thời gian theo quy luật tuyến tính đến 0, như trong Hình 1. Vật đạt được tốc độ bao nhiêu?
2. Nhà thủy sinh học đã dành thời gian t = 10 phút cho phần dưới nước của con tàu bị hư hại nghiêm trọng. Trong thời gian này, áp suất trong xi lanh aquaalgen, ban đầu bằng 150 atm, giảm 20%. Sau đó, nhà thủy sinh học

54

bắt đầu công việc sửa chữa và mức tiêu thụ không khí tăng 1,5 lần. Sau bao lâu sau khi lặn, người thợ lặn sẽ hoàn thành công việc của mình nếu áp suất không giảm xuống dưới 30 atm?

3. Một tụ điện phẳng không tích điện có điện dung $C_1$ đặt trong một điện trường đều bên ngoài có hằng số cường độ $\vec{E}_0$. Các đường sức của điện trường vuông góc với các bản tụ điện. Khoảng cách giữa các tấm $d$. Một tụ điện có công suất $C_2$, được tích điện đến hiệu điện thế $U_0$, được nối với tụ điện $C_1$ (Hình 2). Xác định điện tích trên tụ $C_1$ và $C_2$ sau khi nối. Bỏ qua độ lớn của điện trường ngoài tại vị trí của tụ điện $C_2$.

4. Để đọc văn bản, một người đeo kính có công suất quang học $D=-4$ diop. Khoảng cách bao nhiêu thì thuận tiện cho anh ta đặt một chiếc gương phẳng khi soi mặt (không đeo kính)?

Tùy chọn 2

1. Một khối có khối lượng $m$, kích thước như hình 3, đứng trên một mặt phẳng nghiêng với góc nghiêng $\alpha$. Một lực $\vec{F}$, song song với mặt phẳng nghiêng, bắt đầu tác dụng lên khối. Ở giá trị nào của lực này thì khối sẽ bị lật đổ? Biết vật sẽ không trượt khỏi mặt phẳng nghiêng.

2. Trong một bình hình trụ có diện tích mặt cắt ngang $S_1=200$ cm$^2$ và chiều cao $h_1=30$ cm, tìm thể tích $V=4$ lít nước. Một thanh có tiết diện $S_2=100$ cm$^2$, chiều cao bằng chiều cao của bình, được hạ xuống trong bình. Khối lượng của thanh phải nhỏ nhất là bao nhiêu để có thể chìm xuống đáy bình?

3. Công suất được giải phóng trong mạch như hình 4 là bao nhiêu? Điện áp xoay chiều $U=220$ V, điện trở $R_1=R_2=R_3=200$ Ohm được áp dụng cho các cực 1-2. Một diode lý tưởng $D$ được mắc song song với điện trở $R_1$. Theo một hướng của dòng điện, điện trở của nó vô cùng nhỏ và theo hướng khác thì điện trở của nó vô cùng lớn.

4. Sử dụng gương cầu, người ta thu được ảnh $B$ của một vật $A$ (Hình 5). Bằng cách xây dựng, xác định vị trí và tiêu điểm của gương. Gương này cong hay lồi?

Tùy chọn 3

1. Với tốc độ tối đa mà một phương tiện cơ giới có thể di chuyển trên một con đường cong có bán kính $R=80$ m nếu hệ số ma sát giữa lốp xe cơ giới và nhựa đường là $k=0,5$?

2. Một vệ tinh có tiết diện $S=1$ m$^2$ di chuyển với vận tốc thoát đầu tiên $v=7,8$ km/s trong quỹ đạo gần Trái đất. Áp suất khí quyển ở độ cao quỹ đạo (200 km) là $p=1,37.10^{-4}$ N/m$^2$, nhiệt độ $T=1226$ K. Xác định số lần va chạm của vệ tinh với các phân tử không khí trong 1 giây. Số Avogadro là $N_0=6.10^{23}$ mol$^{-1}$. Hằng số khí $R=8,3$ J/(mol K).