Bài toán M526—M530; F538—F542

38

Nhiệm vụ

M526—M530; F538—F542

M526. a) Chứng minh diện tích tứ giác lồi là
$$S = \frac{tg\varphi |a^2 - b^2 + c^2 - d^2|}{4},$$
trong đó $a, b, c$ và $d$ là độ dài các cạnh liên tiếp của tứ giác, $\varphi$ là kích thước của góc giữa các đường chéo của nó, $\varphi \neq 90^\circ$.

6. Có thể tìm diện tích $S$ khi biết $a, b, c$ và $d$, nếu $\varphi = 90^\circ$?

U. Alla

M527. Đặt $x_1, x_2, \dots, x_n$ là số thực, $0 \leqslant x_i \leqslant 1$. Chứng minh rằng số lượng
$$x_1 + x_2 + \dots + x_{n-1} + x_n = x_1x_2 \cdots x_nx_1$$
không vượt quá
a) 1 tại $n=3$;
b) 2 tại $n=4$;
b) $^* [n/2]$ với bất kỳ $n \geqslant 3$ nào.

V. Batyshev, học sinh lớp 10

M528. Có một quân cờ trên mỗi ô vuông của bàn cờ (Hình 1). Các chip phải được trình bày sao cho khoảng cách giữa mỗi cặp chip không giảm so với khoảng cách giữa chúng tại vị trí ban đầu. Làm thế nào điều này có thể được thực hiện? (Khoảng cách giữa các mảnh là khoảng cách giữa tâm của các ô mà chúng chiếm giữ.)

M. Bershadsky

M529. a) Đa giác $M'$ là ảnh của đa giác lồi $M$ có ​​hệ số $k = -1/2$. Chứng minh rằng có một bản dịch song song $T$ sao cho $T(M') \subset M$.

6. Với hệ số nào $k < 0$ thì phát biểu tương tự có đúng với đa giác lồi $M$ trong không gian không?

H. Nechevmaev

39

M530. Trên một tờ giấy ca rô hình chữ nhật, một số hình vuông được sơn màu đen. Sau đó là việc sơn lại đồng thời tất cả các ô của trang tính theo quy tắc sau: ô có số hàng xóm đen chẵn sẽ trở thành ô trắng, và ô có số hàng xóm đen lẻ sẽ trở thành đen. (Láng giềng là các ô có một mặt chung.)
a) Chứng minh rằng nếu tập $B$ ô đen không thay đổi trong quá trình sơn lại (Hình 2, a) thì $B$ có số ô chẵn.
b) Giả sử rằng trong quá trình đổi màu, tập hợp $B_1$ ô đen lại chuyển thành $B_2$, $B_2 \leftarrow B_3$, …, $B_{r-1} \leftarrow B_r$ và $B_r \leftarrow$ lại chuyển thành $B_1$. Chứng minh rằng tổng số ô đen trong các bộ $B_1$, $B_2$, …, $B_r$ là số chẵn.

R. Izmailov, học sinh lớp 10

F538. Một sợi dây nặng được treo ở các điểm $A$ và $B$ (Hình 3). Giá trị tuyệt đối của lực căng của dây tại điểm $C$ là 20 N. Tìm khối lượng của dây.

N. Slovodetsky

F539. Hình 4 cho thấy hai chu trình nhiệt động khép kín được thực hiện với khí đơn nguyên tử lý tưởng: $1 \rightarrow 2 \rightarrow 3 \rightarrow 4 \rightarrow 1$ và $1 \rightarrow 5 \rightarrow 6 \rightarrow 4 \rightarrow 1$. Chu trình nào có hiệu suất cao hơn? Bao nhiêu lần?

A. Zilberman

F540. Hai cuộn dây điện cảm $L_1$ và $L_2$ được mắc song song. Điểm tối đa trong cuộn dây sẽ là bao nhiêu nếu một tụ điện có điện dung $C$ (Hình 5), được tích điện trước đến điện áp $U$, được mắc song song với chúng?

O. Savigan

Hình 5.

Hình 6.

F541. Khe hở của bộ tạo tia lửa điện (Hình 6) được điều chỉnh theo điện áp $U$, và điện trở $R$ của điện trở sao cho xảy ra $n$ phóng điện mỗi giây. Xác định công suất trung bình do điện trở giải phóng nếu trong quá trình phóng điện tụ điện có thể phóng điện hoàn toàn.

P. Zubkov

F542. Tốc độ dòng khí từ một xi lanh qua một lỗ nhỏ sẽ thay đổi như thế nào nếu nhiệt độ của khí tăng 4 lần và áp suất tăng 8 lần?