Viện kỹ thuật điện Leningrad được đặt theo tên. V. I. Ulyanova (Lênin)

57

r=10 cm, độ dày thành h=0,5 mm. Tìm biên độ của cảm ứng từ trường tại đó bắt đầu biến dạng dẻo của ống. Áp suất tối đa tại đó bắt đầu biến dạng dẻo của ống là $p_M=10^7$ Pa. Điện trở riêng của vật liệu ống $\rho=3 \cdot 10^{-8}$ Ohm m.

9. Cho một vật $AB$ và ảnh của nó $A'B'$ trên mặt (xem hình). Tìm vị trí của thấu kính, giả sử nó mỏng. Cho biết vị trí các tiêu điểm chính của thấu kính.

10. Trong cuộc sống hàng ngày, một người thợ đồng hồ đeo kính có quang năng $D=-6$ ditr. Để làm việc với cơ chế đồng hồ, anh ấy tháo kính ra và đặt kính lúp lên mắt, điều này cho thấy rằng nó có khả năng phóng đại gót chân. Anh ta thực sự có được độ phóng đại bao nhiêu?
    IO. Maksimov, Yu. Molodkin. P. Sobolev

Viện kỹ thuật điện Leningrad
họ. V. I. Ulyanova (Lênin)

Matematika
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Một người cha muốn chia 180 quả táo cho 5 người con. Ông sẽ chia một nửa số táo cho các con trai của mình, chúng chia đều cho chúng và nửa còn lại ông sẽ chia đều cho các con trai của mình, chúng cũng chia đều. Kết quả là mỗi cô con gái nhận được nhiều hơn mỗi con trai 15 quả táo. Người cha có bao nhiêu con trai và con gái?

2. Giải phương trình
   $$\sin^2 2x + \sin^2 x = 1.$$

3. Giải phương trình
   $$\frac{x}{5} + \frac{x-10}{10} = 84.$$

4. Tìm giá trị lớn nhất và nhiều nhất của hàm $f(x)=3x^3-9x^2+2$ trong khoảng [-1; 1].

5. Cho $p$ cấp số khớp, mỗi cấp số có chứa $n$ phần tử. Các số hạng đầu tiên của chúng lần lượt bằng 1,2,3,…,$p$, và hiệu của chúng lần lượt là 1,3,5,…,2$p-1$. Tìm tổng số hạng của tất cả các tiến trình.

Tùy chọn 2

1. Người đi xe máy bị kẹt ở hàng rào trong 24 phút. Sau khi tăng tốc độ thêm 10 km/h, anh ta bù đắp cho sự chậm trễ trên đoạn đường 80 km. Xác định vận tốc của người đi xe máy trước thời điểm dừng xe.

2. Giải phương trình
   $$2 \cos^2 x + 5 \sin x - 4 = 0.$$

3. Giải phương trình
   $$\frac{\lg 8 - \lg (x-5)}{\lg \sqrt{x+7} - \lg 8} = -1.$$

4. Tìm cực đại và cực tiểu của hàm số
   $$f(x) = x \cdot e^{x-x^2}.$$

5. Giải phương trình
   $$2^{1-\log_2 x} + \log_2^2 x - \log_2^3 x + \dots = x.$$
   S. Malchikov

Học viện Bách khoa Saratov

Học viện Bách khoa Saratov hiện là trường đại học tạm thời ở vùng Volga. Lịch sử của nó bắt đầu từ năm 1930, khi Viện Đường cao tốc tự động được mở ở Saratov. Vào tháng 5 năm 1960, Học viện Đường cao tốc tự động Saratov được chuyển đổi thành trường bách khoa. Ngày nay tỷ lệ tốt nghiệp hàng năm là hơn 2.500 người.

Việc đào tạo 17 nghìn sinh viên của viện - những kỹ sư tương lai ở 28 chuyên ngành - được thực hiện bởi hơn 1000 giáo viên, trong đó có 25 giáo sư và gần 500 phó giáo sư và ứng viên khoa học.

Viện có sáu khoa giáo dục toàn thời gian: kỹ thuật tự động, xây dựng đường bộ, xây dựng, cơ khí, năng lượng và kỹ thuật điện tử và kỹ thuật dụng cụ. Ngoài ra, còn có các bộ phim ở các thành phố của vùng Saratov - Balakovo, Balashov, Volsk và Engels. Viện có một khoa dự bị và có các khóa dự bị với số lượng chương trình đào tạo khác nhau.

Tất cả sinh viên tại SPI được yêu cầu nắm vững công nghệ máy tính mới nhất, sử dụng thư viện khoa học và kỹ thuật xuất sắc và thực hiện nhiều công việc khác nhau. bài toán trong các phòng thí nghiệm được trang bị tốt.

Matematika
Bài thi viết
Tùy chọn 1

1. Hình phẳng gồm có hình chữ nhật và hình tam giác đều

59

Tự kiểm tra
lớp VIII. Alebra. 1 - A, 2 - D, 3 - B, 4 - C, 5 - C, 6 - B. Hình học. 7 - G, 8 - G, 9 - D, 10 - A.
lớp IX. Alebra và sự khởi đầu của phân tích. 1 - A, 2 - B, 3 - D, 4 - B, 5 - C, 6 - D. Hình học. 7 - D, 8 - B, 9 - C, 10 - D.
Lớp X. Alebra và sự khởi đầu của phân tích. 1 - B, 2 - V, 3 - V, 4 - B, 5 - D, 6 - V. Hình học. 7 - D, 8 - B, 9 - A, 10 - B.

Có thể kiểm tra đáp số?

1. Đúng đáp số:
   $$x = \frac{m}{M + m} L$$
2. Xem hình. 1.

Hình 1.

Những lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh đại học năm 1978

Viện đường tự trị Moscow
Toán học
Tùy chọn 1

1. $$\frac{2\sqrt{3}}{3}R$$
2. $$\ln 2 - \frac{5}{8} \cdot 3$$
3. $$x = \frac{\pi}{4}k(k \in \mathbb{Z})$$
4. $$-1; 3[U]3; +\infty$$
5. $$\left\{ \left( \frac{1}{2}; \frac{1}{2} \right) \right\}.$$
   Tùy chọn 2
6. Điểm 0 là điểm tối thiểu, các khoảng giảm dần là ] - ∞; 0] và ]1; +∞[, khoảng tăng dần — [0; 1[. 2. 310$\frac{2}{7}$π.
7. $$x = \pm \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2}k(k \in \mathbb{Z})$$
8. $$- \infty; - \frac{14}{3}[U]4; +\infty$$
9. $$\left\{ \frac{1}{16}, 1 \right\}.$$

Vật lý
Tùy chọn 1
2. $$\vec{a} = \frac{m_2 - \mu m_1}{m_1 + m_2} g = 0,98 \text{ m/c}^2$$
$$\vec{v} = \frac{m_1 m_2 (1 + \mu)}{m_1 + m_2} g = 8,8 \text{ H}.$$
3. $$T_2 = \frac{V_2}{V_1} T_1 = 586 \text{ K}.$$
4. $$r = \frac{P_1 I_2 - P_2 I_1}{I_1 I_2 (I_2 - I_1)} = 0,1 \text{ Ом};$$
$$\mathcal{E} = I_1 r + P_1 / I_1 = 2,2 \text{ В}.$$
5. Xem hình. 2.

Hình 2.

Tùy chọn 2
2. $$\vec{v}_1 = |\vec{v}| \sqrt{1 - m/M};$$
$$\vec{v}_2 = |\vec{v}| m/M.$$
3. $$A = p_1 (V_2 - V_1) + p_4 (V_4 - V_3) = 1,25 \cdot 10^5 \text{ Дж}.$$
4. $$A = \frac{q^2}{4\pi e_0} \left( \frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_1} \right) = 2 \cdot 10^{-2} \text{ Дж}.$$
5. $$n = \frac{1}{\sqrt{\sin^2 \beta_1 + \sin^2 \beta_2}} = 1,15.$$

Viện Kỹ thuật Xây dựng Moscow được đặt theo tên. V. V. Kuibysheva
Toán học
Tùy chọn 1

1. Số đầu tiên là 46, số thứ hai là 40.
2. ($\sqrt{5} + 1$) $a^2$. 3. $$\left\{ \frac{9}{16} \right\}.$$ 4. $$x = \pi + 2\pi k(k \in \mathbb{Z})$$.
3. $$-5; 0[.$$
   Tùy chọn 2
4. 40 kopecks, 60 kopecks, 80 kopecks, 1 chà.
5. 2: $$\frac{3}{4} \sqrt{3} : \frac{3}{2} \sqrt{3}.$$ 3. $$- \infty; - \frac{1}{3}[U]1; +\infty$$
6. $$x = \frac{\pi}{4} + \pi k(k \in \mathbb{Z})$$. 5. arctg 9; $$y = 9x - 23,25.$$

60

Vé 1
3. $42 \frac{2}{3}$. 4. $-\frac{3\sqrt{2}}{2} + 1; -\frac{1}{2}$.
Vé 2
3. ]2; 4[⊥] 4; 6[. 4. $\{5 + \log_3 7\}$.

Vật lý

1. $t \approx 8,75$s; $s_1 \approx 99$ m; $s_2 \approx 151$ m.
2. $\frac{V_1}{V} = \frac{\rho_2 - \frac{\rho |\vec{P}_1|}{|\vec{P}_1| - |\vec{P}_2|}}{\rho_2 - \rho_1} = 0,25 = 25\%$;
   $\frac{V_2}{V} = 0,75 = 75\%$; $V = \frac{|\vec{P}_1| - |\vec{P}_2|}{\rho g} = 400$ cm$^3$; ở đây $\rho = 1$ g/cm$^3$ là mật độ của nước.
3. $Q = m (g l \sin \alpha - |\vec{v}|^2/2) \approx 100$ J.
4. $q = \frac{(\rho_M - \rho) \pi e d^3 g}{6 |\vec{E}|} \approx 5,3 \cdot 10^{-8}$ KL, trong đó $\rho_M = 8,9 \cdot 10^3$ kg/m$^3$ là mật độ của đồng.
5. $H = nh = 1$ m.

Viện kỹ thuật hóa học Moscow
Tùy chọn 1

1. $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k (k \in \mathbb{Z})$. 2. $\left[ \frac{1}{100}; 10 \right]$.
2. $\frac{\sqrt{3}}{3} h^2 \cos \alpha (2 \sin \alpha + 1)$. 4. Tại điểm $-2$ có mức tối đa, tại điểm 1 có mức tối thiểu. 5. $\frac{3}{4}$ π.
   Tùy chọn 2
3. {1}. 3. $\frac{1}{4} l^3 \cdot \sin \alpha \cdot \cos \beta \cdot \sin 2\beta$. 4. $\frac{2}{3}$.
4. $3 \left(1 - \frac{1}{4 \ln 2}\right)$.

Vật lý

1. $h_1 = \frac{4V}{\pi D^2} \frac{(1 + \alpha t_1)(1 + 2\beta t_1)}{(1 + \alpha t)(1 + 2\beta t_1)} \approx \frac{4V}{\pi D^2} \frac{1 + (\alpha - 2\beta) t_1}{1 + (\alpha - 2\beta) t_1} \approx 714$ xem
2. $\Delta h_1 = \frac{\rho_B h}{\rho_{pT} \left(1 + d_1^2/d_2^2\right)} \approx 5,6$cm;
   $\Delta h_2 = \Delta h_1 \left(d_1/d_2\right)^2 \approx 0,3$ xem
3. $p_1/p_2 = 2T_1/T_2 = 3$.
4. $\Delta m = (\rho_1 r_1/100\% - \rho_2) V = 0,79$ kg.

Viện Toán Kỹ thuật Điện tử Moscow
Tùy chọn 1

1. $x_1 = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, x_2 = \pm \arccos \frac{1}{3} + 2\pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.
2. $S = \frac{9}{2}$. Hãy để chúng tôi chứng minh rằng $\triangle ABC$ chỉ biến thành chính nó dưới ánh xạ tokdev và dưới sự đối xứng trục $S_l$, trong đó $C \in l$ và $l \perp (AB)$. Đặt $A', B', C'$ là ảnh của các đỉnh tương ứng dưới độ dịch chuyển $\varphi$, lấy $\triangle ABC$ vào chính nó. Từ thực tế là trong $\triangle ABC$ khoảng cách $|AC| = |BC|$ chỉ đạt được giữa $A$ và $C$ và giữa $B$ và $C$, và từ thực tế là $|A'C'| = |AC|$ và $|B'C'| = |BC|$, suy ra rằng $[A'C'] = [AC]$ và $[B'C'] = [BC]$, hoặc $[A'C'] = [BC]$ và $[B'C'] = [AC]$. Trong trường hợp đầu tiên $C' \in [AC] \cap [BC]$; có nghĩa là $C' = C$; sau đó $A' = A$ và $B' = B$; vì độ dịch chuyển $\varphi$ có ba điểm cố định nên $\varphi$ là cùng một ánh xạ. Trong trường hợp thứ hai, $C' = C$, $A' = B$ và $B' = A$; có nghĩa là $\varphi = S_l$.
3. $x_1 = 30, x_2 = 84, x_3 = 180; 546$ là thành viên của dãy này, 548 và 1978$^{1978}$ thì không. Gợi ý. $x_n$ chia hết cho 6 cho bất kỳ $n$ nào. 4. Bật]2; 3[ $f$ trả về, trên ]3; $+\infty$ [ $f$ giết chết, $x = 3$ là điểm tối đa. 5. $x \geq 0$, ngoại trừ $x = \frac{\pi}{2} + \pi k (k \in \mathbb{Z})$ và $x = \pi l (l = -1, -2, -3, \dots)$.
   Tùy chọn 2
4. $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k (k \in \mathbb{Z})$. 2. $A' = (6; 3)$,
   $M' = M, C' = (7; 9)$. 3. $C_{11}^6 < C_{11}^3 + C_{11}^4$; bất đẳng thức $C_{n}^6 < C_{n}^3 + C_{n}^4$ đúng với $6 \leq n \leq 11$. Gợi ý. Chức năng
   $f(n) = \frac{120}{(n - 3)(n - 4)(n - 5)} + \frac{30}{(n - 4)(n - 5)}$

• giảm dần.

4. $\max [0, 14; 1]$ $f(x) = f(1) = e + \frac{2}{e} + 4$, $\min [0, 14; 1]$ $f(x) = f\left(\frac{1 - \ln 2}{2}\right) = \frac{10 - 7 \ln 2}{2}$. Lời giải. $f'(x) = 0$ với $e^{2x_0} - 1 = \frac{1}{2}$ hoặc $x_0 = \frac{1 - \ln 2}{2}$. Tại $x < x_0$ hàm $f$ giảm, ở $x > x_0$ nó trả về; tại $x = x_0$ nó có mức tối thiểu. Rõ ràng là $x_0 < 1$. Vì $x_0 > 0,14 \Leftrightarrow \ln 2 < 0,72 \Leftrightarrow e^{18} > 2^{25}$ và $e^{18} > (2,7)^{18} = [(2,7)^{18}]^6 = 19,683^6 > 19^6$ =

61

$$= (19^2)^3 = 361^3 > 360^3 = 2^9 \cdot 45^3 > 2^9 \cdot 45 \cdot 40^2 = 2^{15} \cdot 45 \cdot 25 = 2^{15} \cdot 1125 > 2^{15} \cdot 1024 = 2^{25}, \text{ получаем } x_0 > 0, 14. \text{ Значит, } \min f(x) = f(x_0). \text{ ИЗ } f(1) = e + \frac{2}{e} + 4 > 6 \text{ и } f(0, 14) = e^{-0, 72} + 2e^{0, 72} + 0, 98 - 3 < 1 + 2e + 1 - 3 = 2e - 1 < 5 \text{ следует } \max f(x) = f(1).$$

5. 6. $$\left[ \frac{10}{3}; + \infty \right]. \text{ Указание. } a - \text{xорошее} \Leftrightarrow a \geq \max \frac{2x^2 + 2x + 3}{x^2 + x + 1}.$$

Tùy chọn 3

1. $x_1 = 6, x_2 = \frac{\pi}{3} + 2\pi k (k = 1, 2, 3, \ldots), x_3 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi l (l = 2, 3, 4, \ldots), x_4 = \frac{2}{3} \pi + 2\pi m (m = 0, -1, -2, -3, \ldots), x_5 = -\frac{2}{3} \pi + 2\pi n (n = 1, 0, -1, -2, -3, \ldots).$

2. $S = 2\sqrt{3}. C = (1 + \sqrt{3}; 1 + \sqrt{3})$ hoặc $C = (1 - \sqrt{3}; 1 - \sqrt{3}).$ Khi đó, ánh xạ hiệu quả là ba đường đối xứng trục với các trục là đường cao của tam giác, hai phép quay quanh tâm của tam giác - một góc 60° và một góc -60°. Gợi ý. Khi mặt phẳng được di chuyển, trong đó $\triangle ABC$ được ánh xạ lên chính nó, các đỉnh của nó sẽ trở thành các đỉnh.

3. $C_{24}^4 \cdot C_{20}^4 \cdot C_{16}^4 = \frac{24!}{(4!)^3 \cdot 12!}$. 4. Nghịch đảo của hàm $f$ trên ]-3; 1[ có dạng $-\frac{2}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 6x + C$, trên ]1; 3[ – xem $F(x) = \left\{ \begin{array}{l} -\frac{2}{3}x^3 + \frac{7}{2}x^2 - 6x - \frac{10}{3} + A, \\ \text{ если } 1 < x < 2, \\ A, \text{ если } x = 2, \\ \frac{2}{3}x^3 - \frac{7}{2}x^2 + 6x - \frac{10}{3} + A, \\ \text{ если } 2 < x < 3. \end{array} \right.$

Gợi ý. $F$ liên tục tại $x = 2$.

5. $\min f(x) = f\left(\arcsin \sqrt{\frac{2}{3}} \right) = 3 \arcsin \sqrt{\frac{2}{3}} + \sqrt{2}.$ Có (ví dụ: $x = \frac{\pi}{3}$).

Vật lý

1. $t = \frac{\text{tg} \alpha_2}{\text{tg} \alpha_1 + \text{tg} \alpha_2} \sqrt{\frac{2s}{g}} \text{tg} \alpha_1 \approx 0, 88 \text{ с.}$

2. Có ba trường hợp có thể xảy ra. a) Mọi vật đều đứng yên: $|\vec{F}| \leq 3k_3 mg = 2, 94 \text{ H}; |\vec{a}_1| = |\vec{a}_2| = |\vec{a}_3| = 0$. b) Toàn bộ hệ thống thân cánh quạt: $3k_3 mg <$

$< |\vec{F}| \leq 2(k_1 + k_2) mg = 5, 88 \text{ H}; 0 < |\vec{a}_1| = |\vec{a}_2| = |\vec{a}_3| = \frac{|\vec{F}|}{3m} - k_3 g \leq 0, 98 \text{ м/c}^2.$

b) Tất cả các vật thể của chuyển động so với bề mặt Trái đất, và các vật thể 1 và 3 đều đứng yên so với nhau, và vật thể 2 của động cơ so với các vật thể này: $|\vec{F}| > 2(k_1 + k_2) mg = 5, 88 \text{ H}; |\vec{a}_1| = |\vec{a}_2| = k_1 g = 0, 98 \text{ м/c}^2; |\vec{a}_2| = \frac{|\vec{F}|}{m} - (k_1 + 2k_2) g > 0, 98 \text{ м/c}^2.$

3. $L_{\max} = l \sqrt{1 + k^2} \approx 2, 04 \text{ м.}$

4. $s = \frac{2|\vec{v}_0|^2 \cos \alpha}{g} \sqrt{\sin^2 \alpha - f} = 1, 96 \text{ м.}$

5. $x = x_M \cos (\omega t + \varphi_0) = \frac{2E}{F_M} \cos (2\pi vt + \varphi_0) = 4 \cos (2\pi t + \pi/6) \text{ см.}$

6. $h = \frac{Pt - Mc(t_\pi - t_0)}{\mu \lambda} \frac{RT_\pi}{pS} \approx 2, 5 \text{ м.}$

7. $q = CU = 2 \cdot 10^{-4} \text{ KJ.}$

8. $q = C \frac{R_1(\mathcal{E} + \mathcal{E}_2) + R_2(\mathcal{E} + \mathcal{E}_1)}{R_1 + R_2} = 6, 5 \cdot 10^{-5} \text{ KJ}; q_0 = C_0(\mathcal{E}_2 - \mathcal{E}_1) = 10^{-5} \text{ KJ.}$

9. $D = \frac{2F}{\sqrt{n^2 - 1}} \approx 50 \text{ см.}$

10. $\gamma = \frac{F_{06}}{F_{0K}} \gamma' = 7^\circ 45'.$

Viện Kinh tế-Tĩnh Moscow

Toán học

1. 20. 2. 35. 3. -1. 4. 18. 5. 4. 6. -3. 7. 60. 8. -13. 9. -12. 10. -7. 11. -1. 12. 45. 13. 3. 14. 2. Gợi ý. Xem bài toán Số 13 đến đoạn 81 của “Hình học 7”. 15. 14. 16. $1/4$.

Vật lý

1. $h = 57, 8 \text{ м.}$

2. $m_\pi = m_\mu \frac{l_\pi - l}{l} = 120. \text{ кг.}$

3. $N = 2mg \alpha |\vec{v}| = 25 \text{ кВт.}$

4. $n = \frac{lg(p_n/p)}{lg(V/V + V_0)} = 49.$

5. $|\vec{v}| = \sqrt{\frac{2}{\eta} (c(T_\pi - T) + \lambda)} = 3, 5 \cdot 10^2 \text{ м/c.}$

6. $q = 2l \sin \alpha/2 \times \sqrt{4\pi e_0 mg \sin \alpha/2} \approx 5, 2 \cdot 10^{-8} \text{ KJ.}$

7. $R_\pi = R_V (U/U_V - 1) = 3, 8 \text{ кОм.}$

62

8. $t = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} = 6$ phút.
9. $\mathcal{E} = B_y l |\vec{v}| = 0,45$ V.
10. $F = \frac{f}{\Gamma + 1} = 8$ xem

Huân chương Leningrad Cao hơn của Trường Quân đội Đường sắt và Truyền thông Quân sự Đỏ Leningrad được đặt theo tên. M. V. Frunze

Toán học
Tùy chọn 1

1. 0. 2. $x^8$. 3. $x = \pm \frac{\pi}{3} + \pi k (k \in \mathbb{Z})$.
2. $\frac{7}{25}$.
   Tùy chọn 2
3. $x^4 \sqrt{x}$, nếu $x > 3; -x^4 \sqrt{x}$, nếu $0 < x < 3$.
4. {4}. 3. $x_1 = -\frac{\pi}{4} + \pi k$, $x_2 = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi l (k, l \in \mathbb{Z})$. 4. $\frac{\pi}{2}, \frac{\pi \sqrt{3}}{2}$.
5. 7 ln 3.
   Vé 1.

Vật lý

1. Chiều cao $H$ của thang máy về số lượng bằng diện tích hình thang $OABC$ (Hình 3):
   $H = |\vec{v}| (t_1 + 2t_2 + t_3)/2 = 26$ m.

Hình 3.
2. $H = \frac{(h + gt^2/2)^2}{2gt^2} \approx 534$ m.
3. $|\vec{F}_{\pi}| = m (g + |\vec{a}|) = 756$ N.
4. $p = \rho gh + 4\sigma/d = 1,02 \cdot 10^5$ N/m$^2$.
5. $d = F (1 + H/h) = 12,55$ m.
6. $E_{CB} = c^2 (92 m_p + (235 - 92) m_n - m_\pi) \approx 18,5 \cdot 10^2$ MeV.

Viện Khí tượng Thủy văn Leningrad
Toán học
Tùy chọn 1
2. {2}. 3. $x_1 = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, x_2 = 2\pi l (k, l \in \mathbb{Z})$.

4. Với $b > 0$ và $b^2 = 3a^2$ hoặc $\frac{\sqrt{3}}{3} < \frac{a}{b} < 1$ hoặc $-1 < \frac{a}{b} < -\frac{\sqrt{3}}{3}$
   $$\begin{cases} x_1 = \frac{a^2 + b^2 + \sqrt{(3a^2 - b^2)(3b^2 - a^2)}}{4b}, \\ y_1 = \frac{a^2 + b^2 - \sqrt{(3a^2 - b^2)(3b^2 - a^2)}}{4b}, \\ x_2 = \frac{a^2 + b^2 - \sqrt{(3a^2 - b^2)(3b^2 - a^2)}}{4b}, \\ y_2 = \frac{a^2 + b^2 + \sqrt{(3a^2 - b^2)(3b^2 - a^2)}}{4b}. \end{cases}$$

Tùy chọn 2
2. Đối với $b \leqslant 0$ một lời giải: (0; 0). Đối với $b > 0$ và $a = b$ thậm chí có lời giải: (0; 0), (0; b), (b; 0), (b; b). Cho $b > 0$ và $a < b$ hoặc $a \geqslant 3b$ hai lời giải: (0; 0), (b; b). Đối với $b > 0$ và $b < a < 3b$ chẵn lời giải: (0; 0), (b; b) và
$$\begin{cases} x_1 = \frac{a + b + \sqrt{(3b - a)(3a - b)}}{4}, \\ y_1 = \frac{a + b - \sqrt{(3b - a)(3a - b)}}{4}, \\ x_2 = \frac{a + b - \sqrt{(3b - a)(3a - b)}}{4}, \\ y_2 = \frac{a + b + \sqrt{(3b - a)(3a - b)}}{4}. \end{cases}$$
3. $x_1 = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k, x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi l,$
$x_3 = 2\pi m (k, l, m \in \mathbb{Z})$. 4. $C_{11}^3 = 165$.

Vật lý

1. $|\vec{F}_{\pi}| = \frac{m}{l} \left( gh - \frac{|\vec{v}|^2}{2} \right) = 17,6$ N.
2. $\Delta t = \frac{gh - |\vec{v}|^2}{c} \approx 8$ K.
3. $R = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0 mv^2} \approx 5,2 \cdot 10^{-11}$ M;
   $|\vec{E}| = \frac{e}{4\pi\varepsilon_0 R^2} \approx 5,3 \cdot 10^{11}$ V/m.
4. $l_{\min} = \frac{2h}{\sqrt{n^2 - 1}} \approx 23$ M.

Viện Cơ học Chính xác Quang học Leningrad
Toán học
Tùy chọn 1

1. 1. 2. • 9. 3. $x_1 = \frac{\pi}{3} k,$

63

$$x_2 = (-1)^{l+1} \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{2} l (k, l \in \mathbb{Z}).$$
$$y = -x$$
và $y = x - 1$.
$$5. \frac{21}{2} x^6 y^3.$$
Tùy chọn 2

1. 0. 2. $x_1 = 2\pi k, x_2 = \frac{\pi}{2} + 2\pi l (k, l \in \mathbb{Z}).$
2. [1; 3]. 5. 6 + 6.
   Vật lý
3. $t = T/3.$
4. $q = 4\pi \varepsilon_0 \varphi \sqrt[3]{\frac{3V(r\rho_1 - \rho_2)}{4\pi\rho_B}} \approx 2,8 \times 10^{-13}$Cl.
5. $|\vec{E}_2|/|\vec{E}_1| = 1,8.$
6. $W_{\pi}/W_{\mathrm{K}} = -2.$
7. $|\vec{v}| = \frac{q}{\sqrt{\pi \varepsilon_0 R m}} \approx 10^8$ m/c.
8. $\frac{h}{t} = \frac{kU}{\rho \rho_H l}.$
9. $|SS'| = 2(h + d/n) = 2(h + \frac{3}{4} d).$
10. $F = \frac{d(a + b)}{a + b + 2d} = 15$ xem
11. $x = \frac{C \Delta \varphi}{en_0 V} \approx 0,1$ chụp x-quang.
12. $n = \frac{\lambda}{h} \sqrt{3kmT} \approx 8,2 \cdot 10^3$ft.

Viện điều phối Leningrad

Toán học
Tùy chọn 1

1. Vùng định nghĩa: $|a| > |b|$, $b \neq 0$; đối với $a > 0$ biểu thức bằng $-25$, đối với $a < 0$ nó bằng 25.
2. $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k (k \in \mathbb{Z})$.
3. {4,36}. 5. $M(-1; 0; 0)$.
   Tùy chọn 2
4. Vùng định nghĩa: $a \neq 3x$, $a \neq -3x$, $a \neq -x$; biểu thức bằng 1.
5. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k (k \in \mathbb{Z})$. 3. {3,81}. 4. ]1;
   4.[. 5. $y = -4x - 12$, $y = 4x - 4$.

Viện Bách khoa Leningrad được đặt theo tên. M. I. Kalinina

Toán học
Tùy chọn 1

1. $\sqrt[4]{a}$. 2. $\left\{\frac{1}{2} \sqrt{2}, \quad 2 \sqrt{2}\right\}$.
2. $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{2} k (k \in \mathbb{Z})$. 4. $\frac{\pi}{3}$.

Tùy chọn 2

1. $\frac{5 - \sqrt{37}}{2}; 1 [U]4; \frac{5 + \sqrt{37}}{2}$.
2. $\left\{(5; 4), \left(-\frac{1}{2}; -\frac{2}{5}\right)\right\}$.
3. $\frac{2 \sqrt{2} R \left(\mathrm{ctg} \frac{\alpha}{2} - \sqrt{2}\right)}{1 + \left(\mathrm{ctg} \frac{\alpha}{2} - \sqrt{2}\right)^2}$.
4. Uka-
   kiến thức Nếu $A - y$ là mục tiêu ở cơ sở và $x = \frac{A}{2}$, thì $\mathrm{tg} \frac{A}{2} \cdot \mathrm{tg} \frac{B}{2} \cdot \mathrm{tg} \frac{C}{2} = \frac{1}{2} \mathrm{tg} x (1 - \mathrm{tg}^2 x)$.

Vật lý

1. $\Delta s = s_1 - s_2 = |\vec{v}_1| t/4 = 5$ m.
2. $h = R \left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\mu g + |\vec{a}|}{g - \mu |\vec{a}|}\right)^2}}\right) = 0,4$ m.
3. $s = \frac{(M - m)^3 |\vec{v}|^3}{2NM^2} = 30$ m.
4. $A_2 = \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^2 A_1 = 8$ J.
5. $|\vec{v}_1| = \frac{|\vec{v}_1|^2}{\sqrt{|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2}} = 1,8$ m/s;
   $|\vec{v}_2| = \frac{|\vec{v}_2|^2}{\sqrt{|\vec{v}_1|^2 + |\vec{v}_2|^2}} = 3,2$ m/c.
6. $|\vec{F}'| = |\vec{F}|$ (chúng tôi khuyên bạn nên vẽ).
7. $\varphi = \frac{q}{4\pi \varepsilon_0 \varepsilon} \left(\frac{1}{R_1} + \frac{\varepsilon - 1}{R_2}\right) = 675$ B.
8. $B_M = \sqrt{\frac{2\rho p_M}{\pi rhv}} \approx 6,2 \cdot 10^{-2}$ T.
9. Xem hình. 4.

64

10. $$\Gamma' = \frac{\Gamma - 1}{1 - Dd_0} + 1 = 2, 6.$$

Viện kỹ thuật điện Leningrad
họ. V. I. Ulyanova (Leninna)

Toán học

Tùy chọn 1

1. 3 con trai, 2 con gái. 2. $x = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} k (k \in \mathbb{Z})$. 3. {20}. 4. $\max_{[-1; 1]} f(x) = f(0) = 2$, $\min_{[-1; 1]} f(x) = f(-1) = -10$.
2. $\frac{np}{2} (1 + np)$.

Tùy chọn 2

1. 40km/giờ. 2. $x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k (k \in \mathbb{Z})$. 3.{9}. 4. $x = -\frac{1}{2}$ điểm tối thiểu, $f\left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2} e^{-\frac{3}{4}}$;
   $x = 1$ điểm tối đa, $f(1) = 1$.
2. $$\sqrt{2^{V_5} - 1}$$

Học viện Bách khoa Saratov
Toán học

Tùy chọn 1

1. Độ dài cạnh của vận động viên trượt tuyết thẳng là $\frac{p}{6 - \sqrt{3}}$ và $\frac{p(3 - \sqrt{3})}{2(6 - \sqrt{3})}$; tam giác được xây dựng ở cạnh dài hơn. 2. $\frac{3}{4}$.

2. 10. 4. $x_1 = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, $x_2 = \frac{\pi}{2} l (k, l \in \mathbb{Z})$.
          Tùy chọn 2
3. 4. 2. $\frac{a^2}{4} \text{tg} \beta$. 3. $\max_{[-1; 1]} f(x) = f(1) = 4 \frac{1}{5}$, $\min_{[-1; 1]} f(x) = f(0) = 0$. 4. $x_1 = \frac{2\pi}{3} k$, $x_2 = -\frac{\pi}{2} + 2\pi l$, $x_3 = \frac{\pi}{4} + \pi m (k, l, m \in \mathbb{Z})$.

«Kvant» cho học sinh nhỏ
(cm. «Kvant» № 6)

1. Chúng ta hãy biểu thị độ dài của tam giác bằng $x$. Khi đó, theo bất đẳng thức tam giác, 6,31+0,82=7,13>x và 0,82+x>6,31, tức là $x > 6,31 - 0,82 = 5,49$. Vì vậy, $x = 6$ hoặc $x = 7$.

2. Đối với mỗi đa giác có đỉnh chỉ có các điểm trắng, chúng ta liên kết một đa giác với đỉnh có cùng các điểm trắng và một điểm đỏ.

Do đó, không có nhiều đa giác “trắng” hơn đa giác “đỏ”. Các hình tam giác màu đỏ sẽ vẫn dư thừa.

3. Người ta biết rằng tổng các chữ số của số sama chia cho 9 thì chia hết cho 9. Do đó, $A, B$ và $C$ đều chia hết cho 9. Vì tổng các chữ số của số có 1979 chữ số không vượt quá 9×1979=17811 nên số $A$ được viết không quá 1/5 chữ số. Do đó, tổng các chữ số của số $A$ không vượt quá $9 \times 5 = 45$ và $B$ không vượt quá 45 và tổng các chữ số của số $B$ không vượt quá $3 + 9 = 12$. Vì $C$ chia hết cho 9 và không vượt quá 12, $C = 0$ hoặc $C = 9$. Nếu $C = 0$ thì $B = A = a = 0$, điều này mâu thuẫn với điều kiện. Đáp số. $C = 9$.

4. Khoảng cách là tích của tất cả các số trên bàn cờ. Nó không thay đổi trong quá trình hoạt động vì nó được nhân với $(-1)^8 = 1$. Điều này có nghĩa là nó bằng các thuộc tính của giá trị $(-1)^{63} = -1$. Do đó, không thể lấy +1 trong tất cả các ô vì trong trường hợp này kết quả là 1.

5. Tôi xin trả lời - 12 quả trứng. Tuy nhiên, đáp số này không chính xác, vì 1 con gà đẻ 1 quả trứng trong 3 ngày, 4 quả trứng trong 12 ngày và 12 con gà trong 12 ngày - 4×12=48.

Số đã chuẩn bị:
A. Vilenkin, I. Klumova, T. Petrova,
A. Sosinsky, V. Tikhomirova,
Yu. Shikhanovich

Số do:
M. Dubach, G. Krasnikov, E. Nazarov,
I. Smirnova, V. Chernov

Chủ biên tập bởi L. Chernov

Biên tập nghệ thuật T. Makarova

Người hiệu đính T. Pankova, N. Rumyantseva

113035, Mátxcơva, M-35, B. Ordynka, 16/21,
«Kvant», điện thoại. 231-83-62
Giao cho bộ 3/V-79.
Đã ký con dấu 18/V1-79
Giấy 70×108^1/16. Vật lý. lò nướng L. 4
Lò nướng có điều kiện L. 5.6 Academic ed. L. 7.11 T-09893
Giá 30 kopecks. Đặt hàng 965. Phát hành 277.656 bản.

Nhà máy in Chekhov Soyuzpoligraphproma
Ủy ban Nhà nước Liên Xô
về xuất bản, in ấn và kinh doanh sách
Chekhov, khu vực Moscow

Hướng dẫn viên không quay trở lại