Viện Bách khoa Leningrad được đặt theo tên. M. I. Kalinina

55

điều khiển chuyển động của tàu, toán ứng dụng và tính toán; Các kỹ sư công nghệ cũng được đào tạo cho các tổ chức công nghiệp và thiết kế. Sinh viên tốt nghiệp của khoa làm việc trong các nhà máy xây dựng, phòng thiết kế và viện nghiên cứu.

Các chuyên ngành của Khoa Năng lượng Hải quân là nhà máy điện tàu thủy, máy tạo hơi nước, tua bin hơi nước và khí, động cơ đốt trong, tự động hóa các quá trình nhiệt.

Khoa Kỹ thuật Dụng cụ đào tạo các kỹ sư cơ và điện trong việc thiết kế và sản xuất các thiết bị hàng hải để khám phá các đại dương trên thế giới, cũng như sử dụng và phát triển các thiết bị và hệ thống điều khiển tự động cho các loại tàu và thiết bị hàng hải.

Sinh viên tốt nghiệp Khoa Kỹ thuật và Kinh tế được công nhận là người dẫn đầu về kinh tế và hoạt động kinh tế của các doanh nghiệp trong ngành xây dựng; họ cũng tham gia nghiên cứu trong lĩnh vực kinh tế, tự động hóa quản lý và tổ chức sản xuất.

Viện có khoa buổi tối, khoa thư tín và khoa dự bị.

Toán học

Bài thi viết

Tùy chọn 1

1. Đặt phạm vi của biểu thức và sử dụng nó:

$$\left( \frac{a - \sqrt{a^2 - b^2}}{a + \sqrt{a^2 - b^2}} - \frac{a + \sqrt{a^2 - b^2}}{a - \sqrt{a^2 - b^2}} \right) : \frac{4 \sqrt{a^4 - a^2 b^2}}{(5b)^2}.$$

2. Giải phương trình

$$\frac{1}{\lg x} + 3 \lg x - \frac{5}{\sin x} = 0.$$

3. Giải phương trình

$$\lg \left( 64 \left( 2^{x^2} - 40x \right) \right) = 0.$$

4. Chứng tỏ rằng với mọi giá trị thực của $x$ thì hàm $y = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}$ không thể có giá trị lớn hơn 3/2 và nhỏ hơn 1/2.

5. Tìm tọa độ của điểm $M$ nằm trên trục $Ox$ và cách đều điểm $A$ (1; 2; 3) và $B$ (-3; 3; 2).

Tùy chọn 2

1. Đặt phạm vi của biểu thức và sử dụng nó:

$$\frac{3a^2 + 2ax - x^2}{(3x + a)(a + x)} - 2 + 10 \frac{ax - 3x^2}{a^2 - 9x^2}.$$

2. Giải phương trình

$$\left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)^3 + \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right)^3 = \frac{1}{4} \sin^2 2x.$$

3. Giải phương trình

$$3 \sqrt{\log_3 x} - \log_3 3x = 1.$$

4. Đặt phạm vi giá trị hàm hợp lệ

$$y = (2x + 8 - x^2)^{-\frac{1}{2}} + \log_{0,3}(x - 1).$$

5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = x^2 + 2x - 3$ tại các giao điểm của nó với trục hoành.

G. Dmitriev, N. Konteva, L. Ryabov

Viện Bách khoa Leningrad được đặt theo tên. M. I. Kalinina

Học viện Bách khoa Leningrad, được thành lập năm 1899, là một trong những trường đại học lớn nhất cả nước.

Phạm vi của các chuyên ngành được đào tạo rất rộng. Những người muốn nghiên cứu các vấn đề liên quan đến các hướng tiên tiến của vật lý hiện đại sẽ tham gia vào các khoa cơ lý, vật lý vô tuyến và cơ điện. Các kỹ sư toán học được đào tạo về chuyên ngành “toán học tính toán”. Đối với các ngành công nghiệp công cụ tạo thành nền tảng của nền kinh tế quốc dân, các chuyên ngành được chuẩn bị bởi các khoa năng lượng và cơ khí, cơ khí, thủy hóa và vật lý luyện kim. Để làm việc trong các cơ quan kế hoạch, trung tâm máy tính, phòng kế hoạch và sản xuất của doanh nghiệp, các chuyên ngành được đào tạo tại Khoa Kỹ thuật và Kinh tế. Gần đây, Khoa Điều khiển Tự động hóa được thành lập tại Học viện Bách khoa để đào tạo các chuyên ngành về hệ thống điều khiển tự động, kỹ thuật điều khiển học, máy tính điện tử và các thiết bị tự động hóa. Một chuyên ngành mới “robot và máy móc” được hình thành tại Khoa Cơ khí.

Tổng cộng, 18,5 nghìn sinh viên và khoảng 500 sinh viên tốt nghiệp đang theo học tại viện với 60 chuyên ngành.

56

Toán học

Bài thi viết

Tùy chọn 1
(Khoa cơ khí, cơ điện tử, năng lượng-nóng chảy máy, cơ-nấu chảy máy và vật lý-kim loại.)

1. Đơn giản hóa một biểu thức

$$\frac{1 - \left(\frac{a}{b}\right)^{-1}}{\sqrt[4]{ab} - \sqrt{b}} \cdot \left( \frac{3}{\sqrt[4]{a^2}} \cdot \sqrt{a^{-\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt{b} + \frac{a - \sqrt{ab}}{(b - a) \sqrt[4]{b^{-3}}} \right) - \frac{4}{\sqrt{b}}.$$

2. Giải phương trình

$$4 \log_2^2 \frac{x}{\sqrt[8]{2}} - 3 \log_2 2x = 8^{-\frac{4}{3}}.$$

3. Giải phương trình

$$\log \frac{1}{7} (x^2 - 5x + 4) > -1.$$

4. Một paramida hình tam giác được ghi trong một hình nón, ở đáy của nó là một hình tam giác cân. Góc giữa các cạnh bên của tam giác này phải là bao nhiêu để thể tích của paramid là miếng chêm lớn nhất, với điều kiện là thể tích của hình nón đã cho?

Tùy chọn 2
(Khoa Vật lý-Cơ khí, Khoa Kinh tế Kỹ thuật, Khoa Vật lý Phóng xạ và Khoa Điều khiển Tự động hóa.)

1. Giải bất đẳng thức

$$\log \frac{1}{7} (x^2 - 5x + 4) > -1.$$

2. Giải hệ phương trình

$$\begin{cases} \sqrt{\frac{x-y}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{x-y}} = \frac{10}{3}, \\ xy - 2x - 2y = 2. \end{cases}$$

3. Chiều cao của hình nón cũng chính là đường kính của quả bóng. Bán kính của quả cầu bằng $R$, góc ở đỉnh của tiết diện trục của hình nón bằng $\alpha$. Một khối lập phương được đặt trong một quả bóng sao cho bốn đỉnh của nó nằm trên bề mặt quả bóng bên ngoài hình nón, và bốn đỉnh còn lại nằm trên bề mặt bên của hình nón; các mặt phẳng đi qua bốn đỉnh này song song với mặt phẳng đáy của hình nón. Tìm cạnh của hình lập phương.

4. Chứng minh rằng bất đẳng thức sau đúng với các góc của tam giác cân $A, B, C$

$$\log^2 \frac{A}{2} \cdot \log^2 \frac{B}{2} \cdot \log^2 \frac{C}{2} \leq \frac{1}{27}.$$

Vật lý

Bài toán thi vấn đáp

1. Hai vật có thể chuyển động dọc theo hai đường thẳng song song. Thân đầu tiên di chuyển bằng gốc $|\vec{a}_1| = 0,1 \text{ m/c}^2$.

Tại thời điểm vật thể thứ nhất có tốc độ $|\vec{v}_1| = 1 \text{ m/c}$ xuất hiện cùng với vật thể thứ hai, vật thể thứ hai bắt đầu và chuyển động với gia tốc đều, đến vật thể thứ nhất thông qua $t = 20 \text{ с}$. Tìm độ trễ lớn nhất của vật thứ hai so với vật thứ nhất.

2. Một ống hình trụ có bán kính $R = 1 \text{ m}$ lăn dọc theo mặt phẳng nằm ngang sao cho tâm của nó di chuyển theo gốc $|\vec{a}| = 4,9 \text{ m/c}^2$. Bên trong ống có một vật nhỏ có hệ số ma sát trượt ở mặt trong của ống là $\mu = 0,5$. Vật ở độ cao bao nhiêu so với mặt phẳng nằm ngang trong quá trình chuyển động này? Bỏ qua chiều dày của thành ống.

3. Con lăn cuối cùng có khối lượng $m = 60 \text{ t}$ rời khỏi một đoàn tàu có khối lượng $M = 600 \text{ t}$ đang chuyển động với tốc độ không đổi dọc theo một đường thẳng nằm ngang. Ô tô này đi được bao xa thì dừng lại nếu tại thời điểm dừng nó chuyển động với vận tốc không đổi $|\vec{v}| = 40 \text{ km/ч}$. Công suất của đầu máy diesel dẫn động đoàn tàu valon là không đổi và bằng $N = 10 \text{ MBt}$.

4. Một vật có khối lượng $m_1 = 1 \text{ кг}$ được treo vào một sợi dây đàn hồi không trọng lượng thẳng đứng và được thả ra mà không cần một lực đẩy. Sau khi nảy sinh dao động tắt dần, tải dừng lại và hóa ra công $A_1 = 2 \text{ Дж}$ được thực hiện chống lại lực cản. Hỏi sẽ thực hiện bao nhiêu công chống lại các lực cản trong cùng một thí nghiệm nếu một vật có khối lượng $m_2 = 2 \text{ кг}$ bị treo?

5. Hai quả cầu nhỏ tích điện đồng thời được cố định trong chân không ở khoảng cách lớn hơn đáng kể so với kích thước thẳng của chúng. Nếu bạn thả quả bóng đầu tiên thì khi đạt đến khoảng cách $r$ giữa các quả bóng, tốc độ của nó sẽ bằng $|\vec{v}_1| = 3 \text{ m/c}$; nếu bạn thả cái thứ hai, thì trong cùng điều kiện, tốc độ của nó sẽ là $|\vec{v}_2| = 4 \text{ m/c}$. Tìm vận tốc của các quả bóng tại thời điểm chúng dịch chuyển ra xa nhau một khoảng $r$, nếu quả bóng được thả ra cùng lúc.

6. Một quả cầu nhỏ tích điện được treo trên một sợi dây không giãn, không trọng lượng; Lực căng của sợi chỉ là $|\vec{F}|$. Thay vào vị trí của quả bóng thứ nhất, một quả bóng thứ hai cùng loại được tích điện đồng thời và quả bóng thứ nhất lệch khỏi đỉnh vị trí ban đầu một góc nhỏ hơn 180°. Tìm lực căng chỉ mới.

7. Một quả cầu kim loại có bán kính $R_1 = 10 \text{ cm}$ được bao quanh bởi một chất điện môi ($\epsilon = 2$). Chất điện môi tạo thành một lớp hình cầu có bán kính $R_1 = 10 \text{ cm}$ và $R_2 = 20 \text{ cm}$. Tìm quả bóng tiềm năng nếu điện tích của nó là $q = 10^{-8} \text{ KJ}$.

8. Một phần của một ống hình trụ nằm trong từ trường đều, biến thiên theo định luật điều hòa với tần số $v = 1 \text{ MГц}$. Trục của ống trùng với hướng của từ trường. Bán kính ống