Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина

55

равленяя движением судов, прикладной и вычислительной математики; готовятся также инженеры-технологии для промышленности и проектных организаций. Выпускники факультета работают на��остроительных заводах, в конструкторских бюро и научно-исследовательских институтах.

Специальности факультета корабельной энергетики — судовые силовые установки, парогенераторы, паровые и газовые турбины, двигатели внутреннего сгорания, автоматизация теплотехнических процессов.

Приборостроительный факультет готовит инженеров-механиков и инженеров-электромехаников по проектированию и производству морских устройств для освоения мирового океана, а также по использованию и разработке прибора и автоматических систем управления для различных типов судов и морских устройств.

Выпускники инженерно-экономического факультета признаны руководить экономикой и хозяйственной деятельности предприятий��остроительной промышленности, они участвуют также в исследовании в области экономики, автоматизация управления и организации производства.

При институте имеются вечерний факультет, заочный факультет и подготовительное отделение.

Математика

Писменный экзамен

Вариант 1

1. Установите область определения выражения и употребите его:

$$\left( \frac{a - \sqrt{a^2 - b^2}}{a + \sqrt{a^2 - b^2}} - \frac{a + \sqrt{a^2 - b^2}}{a - \sqrt{a^2 - b^2}} \right) : \frac{4 \sqrt{a^4 - a^2 b^2}}{(5b)^2}.$$

2. Решите уравнение

$$\frac{1}{\lg x} + 3 \lg x - \frac{5}{\sin x} = 0.$$

3. Решите уравнение

$$\lg \left( 64 \left( 2^{x^2} - 40x \right) \right) = 0.$$

4. Показите, что при любых действительных значениях $x$ функция $y = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 + 1}$ не может иметь значений, больше их 3/2 и меньше 1/2.

5. Найдите координаты точки $M$, лежащей на оси $Ox$ и одинаково удаленной от точки $A$ (1; 2; 3) и $B$ (-3; 3; 2).

Вариант 2

1. Установите область определения выражения и употребите его:

$$\frac{3a^2 + 2ax - x^2}{(3x + a)(a + x)} - 2 + 10 \frac{ax - 3x^2}{a^2 - 9x^2}.$$

2. Решите уравнение

$$\left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right)^3 + \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right)^3 = \frac{1}{4} \sin^2 2x.$$

3. Решите уравнение

$$3 \sqrt{\log_3 x} - \log_3 3x = 1.$$

4. Установите область допустимых значений функции

$$y = (2x + 8 - x^2)^{-\frac{1}{2}} + \log_{0,3}(x - 1).$$

5. Составьте уравнение касательных к кривой $y = x^2 + 2x - 3$ в точках ее пересечения с осью абсцисс.

Г. Дмитриев, Н. Контева, Л. Рябов

Ленинградский политехнический институт им. М. И. Калинина

Ленинградский политехнический институт, основанный в 1899 г., — один из крупнейших вузов страны.

Широк диапазон специализностей, по которым ведется обучение. Те, кто желает работать над проблемами, связанными с передовыми направлениями современной физики, участвует на физico-механическом, радиофизическом и электромеханическом факультетах. По специальности «вычислительная математика» ведется подготовка инженеров-математиков. Для инструionalных отраслей, составляющих основу народного хозяйства страны, готовят специальности энергоманистическим, механико-машиностроительным, гидрохимическим и физico-металурстическим факультеты. Для работы в планирующих органах, в вычислительных центрах, в планово-производственных отделах предприятий готовят специальности на инженерно-экономическом факультете. Недавно в политехническом институте был образован факультет автоматизация управления для подготовки специальностей по автоматизированным системам управления, технической кибернетике, электронно-вучислительным машином и приборам автоматики. Новая специальization «роботи и машипуляторы» образована на механико-машиностроительныхом факультете.

Всего в институте по 60 специальностями обучаются 18,5 тыс. студентов и около 500 аспирантов.

56

Математика

Писменный экзамен

Вариант 1
(Гидромеханический, электрон механический, энергомашистромельный, механико-машистромельный и физico-mеталлический факультемы.)

1. Упростить выражение

$$\frac{1 - \left(\frac{a}{b}\right)^{-1}}{\sqrt[4]{ab} - \sqrt{b}} \cdot \left( \frac{3}{\sqrt[4]{a^2}} \cdot \sqrt{a^{-\frac{1}{3}}} \cdot \sqrt{b} + \frac{a - \sqrt{ab}}{(b - a) \sqrt[4]{b^{-3}}} \right) - \frac{4}{\sqrt{b}}.$$

2. Решить уравнение

$$4 \log_2^2 \frac{x}{\sqrt[8]{2}} - 3 \log_2 2x = 8^{-\frac{4}{3}}.$$

3. Решить уравнение

$$\log \frac{1}{7} (x^2 - 5x + 4) > -1.$$

4. В конус вписана треугольная парамida, в основании которого лежит равнобедренный треугольник. Каким должен быть угол между боковыми сторонами этого треугольника, чтобы объем парамиды был наиболее шимм, при условии, что объем конуса задан?

Вариант 2
(Физико-механический, инженерно-экономический, радиофизический факультемы и факультем автоматизации управления.)

1. Решить неравенство

$$\log \frac{1}{7} (x^2 - 5x + 4) > -1.$$

2. Решить систему уравнений

$$\begin{cases} \sqrt{\frac{x-y}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{x-y}} = \frac{10}{3}, \\ xy - 2x - 2y = 2. \end{cases}$$

3. Высота конуса является одновременно диаметром шара. Радиус шара равен $R$, угол при вершине осевого сечения конуса равен $\alpha$. В шар помещен куб так, что четыре его вершины лежат на поверхности шара вне конуса, а остальные четыре — на боковой поверхности конуса; плоскости, проходящие через эти четырёх вершин, параллельны плоскости основания конуса. Найти ребро куба.

4. Доказать, что для углов равнобедренного треугольника $A, B, C$ справедливо неравенство

$$\log^2 \frac{A}{2} \cdot \log^2 \frac{B}{2} \cdot \log^2 \frac{C}{2} \leq \frac{1}{27}.$$

Физика

Задачи устного экзамена

1. Два тела могут движаться по двум параллельным прямым. Первое тело движется с укорением $|\vec{a}_1| = 0,1 \text{ m/c}^2$.

В тот момент, когда первое тело, имея скорость $|\vec{v}_1| = 1 \text{ m/c}$, появляется со вторым, стартует второе тело и, движясь равноускоренно, договорет первое тело через $t = 20 \text{ с}$. Найти величины максимального отставания второго тела от первого.

2. Цилиндрическая трубка радиусом $R = 1 \text{ m}$ катится по горизонтальной поверхности так, что ее центр перемещается с укорением $|\vec{a}| = 4,9 \text{ m/c}^2$. Внутри трубки находится маленькое тело, коэффициент трения скольжения которого о внутреннюю поверхность трубки равен $\mu = 0,5$. На какой высоте от горизонтальной поверхности при этом движении находится тело? Толщиной стенок трубки пребрежь.

3. От поезда массой $M = 600 \text{ t}$, индущего с постоянной скоростью по прямолинейной горизонтальной дороге, отрывается последний валон массой $m = 60 \text{ t}$. Какой путь до остановки проходит этот валон, если в момент его остановки поедет движется с постоянной скоростью $|\vec{v}| = 40 \text{ km/ч}$. Мощность тепловоза, ведущего состав валонов, постоянна и равна $N = 10 \text{ MBt}$.

4. К вертикальной упругой невесомой нити подвесили груз массой $m_1 = 1 \text{ кг}$ и без толчка отпустили. После возникших затухающих колбаний груз остановился, и оказалось, что против сил сопротивления была совершена работа $A_1 = 2 \text{ Дж}$. Какая работа будет совершена против сил сопротивления в таком же опите, если подвесить груз массой $m_2 = 2 \text{ кг}$?

5. Два маленьких одновременно заряженных шарика закреплены в вакууме на расстоянии, значительно превышает их линейные размеры. Если отпустить первый шарик, то при достижении расстояния $r$ между шариками его скорость будет равна $|\vec{v}_1| = 3 \text{ m/c}$; если отпустить второй, то при тех же условиях его скорость будет $|\vec{v}_2| = 4 \text{ m/c}$. Найти скорости шариков в тот момент, когда они разойдутся на расстояние $r$, если она шарика отпустить одновременно.

6. Маленький заряженный шарик подвешен на нерастижной невесомой нити; сила натяжения нити равна $|\vec{F}|$. На месте первоого шарика помещают одновременно заряженный второй такой же шарик, и первой отклоняется от вершина начального положения на угол, меньше 180°. Найти новое натяжение нити.

7. Уедининный металлический шар радиусом $R_1 = 10 \text{ cm}$ окружен диэлектриком ($\epsilon = 2$). Диэлектрик образует сферический слой с радиусами $R_1 = 10 \text{ cm}$ и $R_2 = 20 \text{ cm}$. Найти потенциаль шар, если его заряд $q = 10^{-8} \text{ KJ}$.

8. В однородном магнитном поле, меняющемся по гармоничскому закону с частотой $v = 1 \text{ MГц}$, находится отрезок цилиндрической трубцы. Ось трубцы совпадает с направлением поля. Радиус трубцы