Московский институт электронного машиностроения

47

3. Основанием параметры служит правильный треугольник. Две боковые грани параметры перpendикулярны к плоскости основания, а треуголь граны образует с плоскостью основания угол α. Высота наибольшей грани параметры равна h. Найти ее боковую поверхность.

4. Исследовать функцию $y = 2x^3 + 3x^2 - 12x + 5$ на максимум и минимум.

5. Векторы $\overrightarrow{AB} = (3; -2; 2)$ и $\overrightarrow{BC} = (-1; 0; -2)$ являются смежными сторонами параллелограмма. Определить внешну угла между его диагоналими $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$.

Вариант 2

1. Доказать точекство
   $$\frac{2\sin 2\alpha + \sin 4\alpha}{2(\cos \alpha + \cos 3\alpha)} = \cos \alpha \cdot \mathrm{tg} 2\alpha.$$

2. Решить уравнение
   $$3^{1+x} - 2 \cdot 3^{1-x} = 7.$$

3. Угол между диагоналями основания прямогольного параллелепипеда равен α. Диагональ параллелепипеда равна l и составляет с плоскостью основания угол β. Найти объем параллелепипеда.

4. Найти
   $$\lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{2x^2 - x - 1}.$$

5. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $y = \left(\frac{1}{2}\right)^x, x - 2y + 2 = 0, x = 2$.

Физика

Задачи устного экзамена

1. В стеклянный цилиндр диаметром $D = 3$ см налито $V = 5$ литров масла при температуре $t = 20^\circ C$. Какова будет высота стольба масла при $t_1 = 30^\circ C$? Коэффициент линейного расширения стека $\beta = 9.10^{-6} K^{-1}$, коэффициент объемного расширения масла $\alpha = 10,18 \cdot 10^{-4} K^{-1}$.

2. В сообщащихся сосудах находится ртуть; диаметр одного сосуда в четыре раза больше диаметра другого. В узкий сосуд наливать воду; высота стольба воды $h = 80$ см. На сколько опустится уровень ртути в узком сосуде и на сколько он поднимается в шриком? Плотность воды $\rho_B = 1 \text{ г/cm}^3$, плотность ртути $\rho_{pT} = 13,6 \text{ г/cm}^3$.

3. Из баллона выпустили половину массы газа, при этом температура газа понизилась от $t_1 = 27^\circ C$ до $t_2 = -73^\circ C$. В сколько раз уменьшилось давление в баллоне?

4. В комнате, объем которого $V = 100 \text{ m}^3$, температура воздуха понизилась от $t_1 = 25^\circ C$ до $t_2 = 15^\circ C$. Сколько водяных паров при этом сконденсировалось, если абсолотная влажность насыщающих паров при 25°С равна $23 \text{ г/m}^3$, а при 15°С – $\rho_2 = 12,8 \text{ г/m}^3$. Относительная влажность воздуха была равна $r_1 = 90\%$.

Л. Милованава

Московский институт электронного машиностроения

Подробно об этом институте можно прочитать в «Кванте», 1978, № 6.

Matematika

Писменный экзамен
Вариант 1

1. Решить уравнение
   $$6 \sin^2 x + 5 \cos x - 7 = 0.$$

2. На координатной плоскости заданы точки $A(1; 0), B(0; 1)$ и $C(5; 5)$. Вычислить площадь треугольника $ABC$ и указывать все перемещения плоскости, при которых он переходит в себя.

3. Выписать три первых члена последовательности с общим членом
   $$x_n = A_n^3 + 2C_n^3.$$

Какие из следующих чисел являются членами этой последовательности: 546, 548, 1978$^{1978}$?

4. Найти инвервалы монотности и точки экстремума функции, заданной равенством
   $$f(x) = 2 \ln (x - 2) - x^2 + 4x + 1.$$
   Построить график этой функции.

5. Решить уравнение
   $$f(x) = -f(-|x|),$$
   где $f(x) = \ln \left(\sqrt{9 \mathrm{tg}^2 x + 1} - 3 \mathrm{tg} x\right)$.

Вариант 2

1. Решить уравнение
   $$\log_2 \left(\frac{\sqrt{14}}{4} + \cos x\right) + \log_2 \left(\frac{\sqrt{14}}{4} - \cos x\right) = -3.$$

2. Найти образ точки $A(2; 7)$ при повороте координатной плоскости вокруг точки $M(2; 3)$ на угол $-\frac{\pi}{2}$. Найти образ еще одной точки (по Ващему выбору). Найти образ точки $C(-4; 8)$ при этом повороте.

3. Проверить, какое из чисел больше: $C_{11}^6$ или $C_{11}^3 + C_{11}^4$, и найти все значения $n$, для которых $C_n^6 < C_n^3 + C_n^4$.

4. Найти наиболее и наиболее значения функций
   $$f(x) = e^{2x-1} + 2e^{1-2x} + 7x - 3$$
   на отрезке [0,14; 1].

5. Изовем число $a$ хоризимм, если для всякого $x$ выполняется неравенство
   $$\frac{2x^2 + 2x + 3}{x^2 + x + 1} \leq a.$$

48

a) Доказать, что число 4 является хорошим числом.
6) Найти все хорошее число.

Вариант 3

1. Решить уравнение
   $$2|x - 6| \cos x = x - 6.$$
2. Данные две вершины равностороннего треугольника $A(2; 0)$ и $B(0; 2)$. Найти его площадь и координаты треугольника $C$. Указать все перемещения плоскости, при которых треугольник $ABC$ отображается на себя.
3. Перечислить все возможные способы распределения обязаности между пятую туристами, если один из них должен собирать дрова, две — готовить ужин, а остальные — ставить палатки.
   Сколькими способами можно распределить обязаности среди 24 туристов, если требуется составить из них четыре группы, три из которых состоит из четырех человек?
4. Найти все первообразные для функции
   $$f(x) = (2x - 3) \cdot |x - 2|$$
   в промежутке ]—3; 1[ и в промежутке ]1; 3[.
5. Найти наиболее значение функции
   $$f(x) = 3x + 2 \text{ ctg } x (x \in ] 0; \frac{\pi}{2} ]).$$
   Выяснить, имеет ли решение неравенство $f(x) < 4,5$.

Физика
Задачи устного экзамена

1. Из точек, расположенных на поверхности Земли на расстоянии $s = 35,4$ м друг от друга, одновременно бросают два тела под углами $\alpha_1 = 60^\circ$ и $\alpha_2 = 30^\circ$ к горизонтальному таким образом, что горизонтальные составляющие скоростей тел направлены навстречу друг другу. Через сколько времени после начала движения тела столкнутся в воздухе? Скорость первого тела $v_1$ такое, что если бы не произшло столкновения, оно приземилось бы в той точке, из которой было брошено второе тело.
2. При тела одинаковой массой $m = 1$ кг лежат друг на друге, как показано на рисунке 1. Козффициент треня между телами 1 и 2 равен $k_1 = 0,1$, а между телами 2 и 3 — $k_2 = 0,2$. Козффициент треня между телом 3 и полом — $k_3 = 0,1$. Тело 2тянут с неокоторой горизонтальной силой $F$. При какой абсолютиной величины силы $F$ возникло такое движение этих трех тел, при котором тела 1 и 3 остаются в покое друг относительно друга? Определить ускорения $a_1$, $a_2$ и $a_3$ всех трех тел при этом движении.
3. Доска какой наиболее длинны для $L_{\text{max}}$ может быть забита между вертикальными стенками, расположенными на расстоянии $l = 2$ м друг от друга (рис. 2),
   если коэффициент треня между dockой и стенками $k = 0,2$? Доску рассматривает как недеформурующийся и весом ее пренебречь.
4. При удале о горизонтальной плиту тело потеряло $f = 0,11$ своей энергией. Неосредственно перед удалом тело имею скорость $\vec{v}_0 (|\vec{v}_0| = 4,9 \text{ m/c})$, направленную под углом $\alpha = 60^\circ$ к горизонту. На каком расстоянии s от места удала тело вторично столкнется с плитой? Трене при удале между плитой и телом отсутствует.
5. Тело совершает гармоничное колесание с частотой $v = 1 \text{ Гц}.$ Написать