21
Не только игрушка
Наверное, как и большинство читателей «Кванта», вы уже перестали играть в детские игрушки. Все же мы вам предлагаем повозиться… с конструктором *). Игрушка, о которой идет речь, состоит из одинаковых гибких прямоугольных панелек; в двух противоположных углах каждой из них имеются отверстия, а в двух других — штырьки (рис. 1), что позволяет соединять панельки друг с другом. В руках любителя математики этот конструктор становится прекрасным средством для сборки модели поверхностей.
Задаим произвольные p и q (≥ 3) и начнем соединять детали, заботясь лишь о том, чтобы их корпические стороны ограничили q-угольники (эти q-угольники, хотя это несколько непrivibuous, мы будем называть вершинами), а длиные стороны образовывали p-угольники (p-угольники мы будем называть граними, а сами детали — ребрами). Полученные таким образом конструкции называем модиками.
Пример такого соединения с p=6, q=3 изобранен на рисунке 2. При значениях <p, q>, равных <6, 3>, <3, 6>, <4, 4> (рис. 2—4), мы получим заполнения плоскости правильными p-угольниками, при которых в каждой вершине сходится по q граней. Пока мы получили только плоские модики *). При
*) Этот конструктор выпускается в Белоруссии и Эстонии и поступает в магазина детских игрушек в крупных городах.
**) Эти модики являются правильными паркетами («Квант», 1979, № 2, с. 9).
Рис. 1.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 4.
других p и q модики выходит в пространство. Если собрать модики типов <5, 3>, <3, 4>, <3, 5>, <4, 3> и <3, 3>, то получается «раздутие» каркасные модели правильных многогранников: додекадра octahedra, икосадра (рис. 5), куба и (правильного) tetrahedра, (§ 54 «Геометрии 10»). Эти модики называются сферическими.
Возьемтелер <p, q>=<3, 7> (рисунок на четырёх странице обложки). При сборке мы увидим, что конструкция «не желает быть плоской», но и не округляется как сферическая модель: получшаяся поверхность искривляется так, что каждый ее участок принимает следообразную форму. При этом в принципе мы можем продолжать построение неогранничено (в отличие от сферического, но подобно плоскому слугуа); правда, рано или поздно конструкция изгибается настолько, что натыкается сама на себя, и дальнейшая сборка возможно только, если допустить самопересечение.
Поверхность П, часть которой мы смеедлировали, называется псевдосферой. Оказывается, если расстоянием между двумя точками A, B ∈ П называется между ними, измененное в одной этой поверхности, то на П будет выполнять аксиомы геометрии Лобачевского. Таким образом, можно сказать, что вседосфера есть модель плоскости Лобачевского. Модика <3, 7> — один из простейших паркетов на ней.
Еще одно замечательное свойство этой модели: ее можно застать скольить саму по себе, практическим не деформаруя ребер, при этом любую вершину можно перевести в любую другую вершину! Иначе говоря, наша модика допускает самосовмещения. Аналогичным свойством, очень удобным плоскостью и сферическим модики: их самосовмещения — это просто перемещения плоскости и, соответственно, повороты сферы. Например, тор на первой странице обложки этаим свойством не обладает.
В заключение предлагаем следующую задачу: доказите, что плоские модики характеризуют условия (p-2)(q-2)=4, а сферические — (p-2)(q-2)<4, и перечислите все модики этих типов.
В. Дубровский