Bi-a và bề mặt

Hình này cho thấy, phản chiếu từ các bức tường, một quả bóng bi-a chuyển động theo một tam giác đều cạnh nhau với góc đỉnh là π/6. Không, không, đó không phải là lỗi đánh máy. Thực tế là với cách mô tả thông thường về quỹ đạo trên một hình tam giác, số lượng đường gấp khúc và điểm tự giao là rất lớn, hình ảnh trở nên vô cùng khó hiểu. Một bức tranh rõ ràng hơn (và đẹp hơn!) sẽ xuất hiện nếu chúng ta tách một hình 12 giác bằng nhau từ 12 bản sao của tam giác, sau đó xác định các cạnh đối diện của nó. Sau đó, bạn sẽ có một bề mặt khép kín với các khay “tay cầm” và quỹ đạo bay xung quanh nó. Bạn có thể đọc lý do và cách thức thực hiện điều này trong bài viết “Bi-da và bề mặt” trên trang. 2.

1

Được mô tả vào năm 1970
QUANTUM
9
1979

khoa học đại chúng
vật lý-toán học
tạp chí
Viện Hàn lâm Khoa học Liên Xô
và Viện Hàn lâm Khoa học Sư phạm Liên Xô

Nhà xuất bản “Khoa học”
Tòa soạn chính
văn học vật lý và toán học

TRONG PHÒNG:

2 A. Zemlyakov. Bi-a và bề mặt
10 A. Mikhailov. Buổi trưa là khi nào?
15 M. Dazaev. Sự biến mất của vành đai Sao Thổ
Phòng thí nghiệm «Kvant»
17 V. Mayer. Mô hình lốc xoáy
vòng tròn toán học
19 A. Áo sơ mi. Về một tổ hợp bài toán
Vấn đề «Kvant»
21 Premin «Kvant»
22 Bài toán M581 — M585; F593 — F597
24 Lời giải bài toán M528, M529; F538 — F541
Qua những trang sách giáo khoa
29 V. Gutenacher. Bất đẳng thức tổng cố định
«Kvant» cho học sinh nhỏ
33 Bài toán
34 N. Mikhailov. Dung tích
Xưởng của người nộp đơn
38 J. Sukonic, P. Gorshtein. Hình học lời giải Hình học bài toán
Nghệ thuật lập trình
44 Giới thiệu phần mới
47 A. Ershov, G. Zvenitsorodsky. Tại sao bạn cần biết lập trình?
52 G. Zvenitsorodsky. Trường học lập trình thư tín, bài 1 và 2
Thông tin
58 Trường thể chất thư tín
Đánh giá, thư mục
60 I. Klumova, M. Smolyansky. Sách mới
62 I. Slobodetsky. Bộ truyện khoa học đại chúng mới của nhà xuất bản Nauka - Thư viện «Kvant»
63 I. Petrkov. Một bộ sưu tập tuyệt vời các nguồn toán học hạng nhất
64 Đáp số, gợi ý, lời giải
Trộn (tr. 9, 14, 16, 36, 43, 59)

© Tòa soạn chính Văn học Vật lý và Toán học
Nhà xuất bản “Khoa học”, «Kvant», 1979

2

A. Zemlyakov

Bi-a và bề mặt

Phản chiếu từ các bức tường, một quả bóng chính xác di chuyển dọc theo bàn bi-a đa giác. Trong những điều kiện nào thì chuyển động của nó sẽ tuần hoàn? Với một chuyển động không tuần hoàn cho trước, có khu vực nào mà quả bóng sẽ không bao giờ chạm vào không?

Để trả lời những câu hỏi được đặt ra đơn giản nhưng khó này, bài viết này xét chuyển động không có phản xạ trên một bề mặt cùng với chuyển động có phản xạ trên một mặt phẳng. Hóa ra là bạn có thể chuyển từ trò bida theo hình đa giác sang chuyển động trên bề mặt bằng cách dán các hình đa giác.

Ở đầu bài viết, sự chuyển đổi này xuất hiện trong ví dụ về một ông trùm bi-a. Sau nhu cầu nói đến việc dán bề mặt, trường hợp chung sẽ được xem xét. Đặc biệt, bài toán 16 và 17 trong bài “Toán học Bida” («Kvant», 1976, số 5) đã được giải.

1. Bi-a ở dạng cuộn dây hình chữ nhật và hình xuyến

Chúng ta quan tâm đến câu hỏi sau: quỹ đạo của một quả bi-a chuyển động trong hình chữ nhật P có thể là gì? Chúng ta coi quả bóng là một điểm và quan tâm đến quỹ đạo vô hạn - không bao giờ rơi vào các đỉnh của hình chữ nhật (Hình 1). Do có nhiều phản xạ từ các bức tường của bàn bi-a, việc nghiên cứu quỹ đạo của quả bóng trở nên phức tạp hơn rất nhiều. Tuy nhiên, mỗi quỹ đạo bi-a có thể được “làm thẳng” với sự trợ giúp của các phản xạ liên tiếp của các đoạn của nó so với cạnh của hình chữ nhật - như trong Hình 2. Nếu ngay từ đầu, với sự trợ giúp của các phản xạ, “xếp” toàn bộ mặt phẳng của hình chữ nhật, đồng dạng P, thì với phản xạ ngược, các kỹ thuật trên mặt phẳng sẽ cho các quỹ đạo bi-a trong hình chữ nhật P. Hóa ra là không cần phải xem xét một tập hợp vô hạn các hình chữ nhật phản xạ - bạn có thể thực hiện bằng bốn, tạo thành một hình chữ nhật “lớn” P’ (Hình 3), nếu chúng ta giả sử rằng quả bóng, một mặt của nó, “uốn cong lại” theo điểm của cạnh đối diện (C→C’, E→E’, …, K→K’, L→L’, …, S→S’) và di chuyển theo cùng một hướng cho đến khi cú đánh tiếp theo vào một trong các cạnh của nó. Thật vậy, bằng cách cộng (với sự trợ giúp của tính đối xứng) hình chữ nhật P từ P’, chúng ta thu được các quỹ đạo bi-a trong P từ các quỹ đạo liên hợp trong P’ của hiện tại.

Vì vậy, chúng tôi đã có thể loại bỏ sự phản xạ của quỹ đạo, nhưng nó bắt đầu có những “bước nhảy”. Để loại bỏ chúng, hãy cuộn hình chữ nhật P’ thành hình trụ và kẹp các cạnh XY và X’Y’; trong trường hợp này, các điểm L và L’, N và N’, …, I và I’ (Hình 3) sẽ dính vào nhau và quỹ đạo sẽ quấn quanh hình trụ một cách trơn tru (Hình 4). Tuy nhiên, vẫn còn

3

2. Quỹ đạo bida trong hình chữ nhật

Hình xuyến cũng có thể thu được bằng cách quay đường tròn Γ quanh trục ZZ’ không cắt nó và nằm trong mặt phẳng của đường tròn (Hình 6). Hơn nữa, mỗi điểm của đường tròn Γ sẽ tạo ra một đường tròn trên hình xuyến, mà chúng ta gọi là song song tora. Các vòng tròn nhận được từ Γ ở mỗi vòng quay cụ thể được gọi một cách tự nhiên là kinh tuyến tora (Hình 6). Cuối cùng, mảnh hình chữ nhật lớn P’, từ đó hình xuyến được lắp ráp, có thể được coi một cách thuận tiện là bản đồ của hình xuyến. Mặc dù quỹ đạo từ bước 1 được quấn dọc theo hình tora nhưng bạn có thể theo dõi nó, như trong điều hướng, trên bản đồ.

Cho quả bóng chuyển động với vận tốc đơn vị theo một góc α với cạnh “a” của hình chữ nhật P. Khi đó các thành phần tốc độ chuyển động dọc theo bản đồ tora P’ dọc theo các đường vĩ tuyến và kinh tuyến lần lượt bằng cos α và sin α. Điểm tương đồng trên bản đồ tora có

$$\varphi = 2\pi \frac{l_0}{2b} = 2\pi \frac{a}{b} \text{tg} \alpha$$

(ở đây 2b là chiều dài kinh tuyến tora trên bản đồ). Do đó, quỹ đạo trên hình xuyến sẽ bị đóng, tức là tuần hoàn, nếu một số nguyên phép quay nhất định qua góc φ sẽ dẫn đến

4

Hình 7.

miệng với bội số nguyên của 2π, tức là $n\varphi = 2\pi m$ hoặc $\frac{a}{b} \mathrm{tg} \alpha = \frac{m}{n}$ là số vô tuyến. Nếu số $(a/b) \mathrm{tg} \alpha$ là vô tỷ thì quỹ đạo trên hình xuyến sẽ mở - không tuần hoàn. Các điểm giao nhau của quỹ đạo với mỗi kinh tuyến cố định đều nằm trên đó всюду пломно, tức là sao cho chúng rơi vào bất kỳ vùng lân cận nào của bất kỳ điểm nào của nó*).

Do sự lựa chọn kinh tuyến là tùy ý, một quỹ đạo không tuần hoàn sẽ dày đặc ở khắp mọi nơi trên toàn bộ hình xuyến, quỹ đạo tương ứng sẽ dày đặc ở khắp mọi nơi trên bản đồ của hình xuyến $\Pi'$, và quỹ đạo bi-a sẽ dày đặc ở mọi nơi trong hình chữ nhật $\Pi$. Có thể nói đơn giản thế này: dù chúng ta tạo hai lỗ (bán kính $r > 0$) trên bàn bi-a hình chữ nhật như thế nào, một quả bi-a cực mạnh, phồng lên một góc tối đa $\alpha$ sang một bên $a$ thì con số $(a/b) \mathrm{tg} \alpha$ đó là vô tỷ, sớm muộn gì cũng sẽ xuất hiện trong lỗ.

Vì vậy, chúng tôi đã quy giản các bi-a trong hình chữ nhật thành “cuộn dây” của hình xuyến và thiết lập một thực tế quan trọng sau: bất kỳ quỹ đạo bi-a nào không rơi vào các đỉnh của hình chữ nhật đều tuần hoàn (trong trường hợp $(a/b) \mathrm{tg} \alpha \in Q$) hoặc dày đặc ở khắp mọi nơi trong hình chữ nhật (trong trường hợp $(a/b) \mathrm{tg} \alpha \notin Q$). Như vậy, bài toán 16 trong bài “Matematika của bida” đã được giải quyết. Không muốn làm mất đi sự hài lòng của người đọc, chúng tôi sẽ cung cấp bài toán 17 từ cùng một bài viết dưới dạng bài toán sau:

*) Xem định lý Jacobi trong bài “Matematika của bida”.

Bài toán 1. Tương tự, chứng minh rằng mọi quỹ đạo bi-a trong tam giác vuông cân không rơi vào các đỉnh là tuần hoàn hoặc dày đặc lấp đầy quỹ đạo tương ứng ở mọi nơi.

Bài 2. Chứng minh tương tự cho: a) tam giác đều, b) tam giác vuông có một góc 30°.

Nếu task 2 không thành công, hãy từ chối nó trước khi đọc đoạn văn. 3, 4.

3. Bề mặt và keo dán của chúng

Tất nhiên, sẽ rất thú vị khi xem điều gì xảy ra với bida ở các đa giác khác (trừ hình chữ nhật và hình tam giác từ bài toán 1, 2). Có thể khái quát việc xây dựng từ điểm 1 thành trường hợp tùy ý không? Tuy nhiên, trước tiên hãy xử lý các bề mặt và cách dán.

Trong § 47 của SGK “Hình học 10”, một mặt đa giác khép kín được định nghĩa là một tập hợp các điểm trong không gian, gồm các đa giác và thỏa mãn các điều kiện phi phương trình. Đặc tính chính của một bề mặt như vậy là mỗi điểm $M$ của nó có một lân cận có thể biến đổi liên tục thành một đường tròn tổng quát có tâm tại điểm $M$ (Hình 7). Khi nói đến vùng lân cận của điểm $M$, chúng tôi muốn nói đến tập hợp các điểm bề mặt cách $M$ không quá một khoảng cách $\varepsilon > 0$. Trong quá trình biến đổi liên tục của chúng ta, vùng lân cận có thể bị uốn cong, nén hoặc kéo dãn ở nhiều chỗ, nhưng không được phép “nhào” các điểm của nó lại với nhau và “xé” vùng lân cận. Nếu chúng ta tưởng tượng vùng lân cận của điểm $M$ được làm bằng cao su, thì có thể đạt được sự biến đổi cần thiết bằng cách đặt vùng lân cận dưới một máy ép và từ từ kéo giãn nó (sao cho không xảy ra nếp gấp hoặc vết rách), định vị nó.

Thuộc tính cơ bản này không chỉ có ở các bề mặt đa giác kín mà còn có ở các bề mặt cong - ví dụ như hình cầu hoặc hình xuyến. Nếu bạn cắt hai lỗ trên một hình cầu và bịt kín chúng theo cách thích hợp,

5

“tay cầm” uốn cong - bề mặt bên của hình trụ, bạn sẽ có một “quả cầu có tay cầm”, có thể biến thành hình xuyến (Hình 8). Bằng cách dán hai tay cầm vào quả cầu theo cách tương tự, chúng ta có được cái gọi là “bánh quy cây”, hay một quả cầu có hai tay cầm; Trong Hình 9 bề mặt này được trình bày trong năm khung nhìn.

Bạn có thể tạo một hình cầu $S_p$ với số tay cầm được dán bất kỳ số lượng nào $p \geq 0$. Dễ dàng thấy rằng mọi hình cầu có tay cầm đều có tính chất cơ bản.

Toàn bộ bề mặt của hình trụ cũng có tính chất này, nhưng mặt bên của nó thì không: các điểm $M$ trên đường tròn của các đáy có lân cận có dạng hình bán nguyệt cong; chúng không thể bị biến dạng nếu không bị đứt và dán thành một vòng tròn có tâm tại điểm $M$ (Hình 10). Hơn nữa, bề mặt của một hình nón kép và sự kết hợp của hai quả cầu giao nhau hoặc tiếp xúc không có tính chất cơ bản (Hình 11), nhưng sự kết hợp của hai quả cầu không giao nhau thì có.

Chúng tôi muốn loại trừ khỏi các bề mặt xem xét bao gồm một số phần riêng biệt. Do đó chúng ta yêu cầu hai điểm bất kỳ

các bề mặt có thể được kết nối bằng một đường liên tục chạy dọc theo bề mặt. Thuộc tính này được gọi là “kết nối bề mặt”.

Chúng ta không muốn xét các bề mặt mở rộng vô hạn—chẳng hạn như một mặt phẳng hoặc một bề mặt hình trụ vô hạn—hoặc các bề mặt như một hình tròn không có ranh giới. Do đó, chúng tôi sẽ áp đặt thêm một điều kiện nữa (hãy gọi nó là tính hữu hạn): chúng tôi sẽ yêu cầu bề mặt có thể được chia (“cắt”) thành một số hữu hạn “đa giác cong”, mỗi trong số đó, không bị đứt hoặc dán, sẽ được chuyển thành một đa giác lồi phẳng (có ranh giới). Ví dụ, một hình cầu dọc theo đường xích đạo và 4 kinh tuyến được cắt thành 8 hình tam giác cong, nhưng một mặt phẳng không thể chia thành một số hữu hạn các đa giác.

Vì vậy, hơn nữa chúng ta sẽ chỉ xem xét những bề mặt (tập hợp điểm trong không gian) có ba thuộc tính được liệt kê: tính chất cơ bản, tính chất hữu hạn và tính liên thông.

Hai bề mặt như vậy được coi là tương đương (tương đương về mặt toán học)

Hình 8.

Hình 9.

6

mi"), nếu có một ánh xạ nghịch đảo của một trong số chúng với cái kia, trong đó không có điểm đứt hoặc mối nối (nhưng cho phép kéo dài, lăn, uốn cong và làm thẳng). Ví dụ, bề mặt của một khối tứ diện tương đương với một hình cầu, hai bề mặt cuối cùng trong Hình 8 tương đương với một hình xuyến, cả năm bề mặt trong Hình 9 đều tương đương với nhau. Có thể chứng minh*) rằng bất kỳ bề mặt nào trong không gian (theo nghĩa của chúng ta) đều tương đương với một trong các mặt cầu có tay cầm p (tức là một hình cầu, một hình xuyến, một pháo đài hoặc một hình cầu có tay cầm p cho một số $p>2$).

Bài toán 3. Chứng minh rằng một mor, một crepedel và nói chung, một hình cầu có số tay cầm bất kỳ đều có tính chất hữu hạn, tức là bằng cách hiển thị phân vùng của chúng thành một số hữu hạn các đa giác crulley.

Bài toán 4. Đối với mỗi bề mặt được liệt kê dưới đây, hãy chỉ ra một hình cầu có số tay cầm tương đương với: a) bề mặt của một cái bát

*) Ví dụ, xem bài viết của V. A. Efremovich “Các khái niệm tôpô cơ bản” trong cuốn V của “Bách khoa toàn thư về toán học cơ bản” (M., “Nauka”, 1966) hoặc chương 3 trong cuốn sách của G. Ringel “Định lý về màu sắc của bản đồ” (M., “Mir”, 1977).

ki (Hình 12a); b) bề mặt nhẵn (Hình 126); c) bề mặt của khung cửa sổ (Hình 128)).

Bài toán 5*. Chứng tỏ rằng sâu bệnh và hình cầu không tương đương nhau.

Gợi ý. Tìm một tính chất được bảo toàn trong các phép biến đổi đang được xem xét và mặt nào trong số các bề mặt này có còn mặt kia thì không.

Một bề mặt có tính chất hữu hạn được cắt thành các đa giác và do đó có thể được dán lại với nhau từ các đa giác. Hóa ra bạn có thể làm được chỉ với một đa giác. Chúng ta đã thấy rằng có thể thu được hình xuyến bằng cách dán các cạnh đối diện của hình vuông lại với nhau (hoặc bằng cách dán trực tiếp). Vì vậy, từ bất kỳ 2n-giác nào, sau khi dán từng cặp các mặt đối diện của nó, sẽ thu được một bề mặt thuộc loại của chúng ta, tức là một hình cầu có một số tay cầm nhất định. Ví dụ, Hình 13 cho thấy cách khi dán các cạnh của ghế tựa, sẽ thu được một chiếc bánh crepedel.

Bài toán 6. Tìm số tay cầm p của bề mặt $S_p$, được dán theo cách trên từ một 2n-giác.

Về nguyên tắc, định luật dán các cạnh của hình 2n có thể được xác định tùy ý; nhưng điều này không phải lúc nào cũng dẫn đến bề mặt thuộc loại của chúng tôi.

7

Bài toán 7. Dán keo không vào Hình 14a, 6. (Trong trường hợp 14a, bạn sẽ có một bề mặt tự giao nhau - còn gọi là “chai Klein.”)

4. Bi-a và bề mặt

Trở lại với Billiards: chúng ta hãy thử khái quát hóa cách xây dựng từ điểm 1 cho trường hợp đa giác tùy ý. Chúng tôi sẽ chỉ ra điều gì có thể xảy ra trong trường hợp này bằng ví dụ về tam giác vuông $T=ABC$ có góc nhọn $\hat{A}=\pi/8$.

Để làm thẳng quỹ đạo Bi-a trong $T$, chúng ta lại sử dụng các phản xạ liên tiếp. Những phản xạ như vậy so với các cạnh phát ra từ đỉnh $A$, như trong Hình 15a, cho ra một hình bát giác đều gồm 16 hình tam giác $T_1=T$, $T_2$, $T_3$, …, $T_{16}$, các hình tam giác tắc nghẽn $T$. Lưu ý rằng không thể xếp toàn bộ mặt phẳng của một hình tam giác có tính xây dựng $T$ bằng cách sử dụng phản xạ. Bây giờ chúng ta sẽ thấy rằng điều này là không cần thiết - chúng ta có thể thực hiện được với 16 hình tam giác được chỉ định.

Để quỹ đạo [PM] đạt đến điểm $M$ ở cạnh hình bát giác $Q$. Phần tiếp theo của [PM] ngoài điểm $M$ trong trường hợp hiển thị trong Hình 15a phải được vẽ trong tam giác $T_5'$, đối xứng với $T_5$. Lưu ý rằng trong số các tam giác $T_i$ có một tam giác $T_{12}$, từ đó thu được $T_5'$ bằng cách dịch song song. Dễ dàng thấy rằng việc truyền này có thể được thực hiện dưới dạng tổ hợp tuần tự của các phép đối xứng:

$$T_{12} \rightarrow T_{11} \rightarrow T_{10} \rightarrow \dots \rightarrow T_6 \rightarrow T_5 \rightarrow T_5'.$$

Trong trường hợp này, tia vẽ qua điểm tương ứng $M'$ (sao cho $|A'M'|=|AM|$ - Hình 15a) trên cạnh của tam giác $T_{12}$ song song với tia [PM], với thành phần được chỉ định của ánh xạ tới phần tiếp theo của tia [PM] ngoài điểm $M$. Do đó, chúng ta có thể giả sử quả bóng vỡ từ điểm $M$ đến điểm $M'$ và tiếp tục

8

Hình 15.

nên di chuyển cùng hướng dọc theo tam giác $Q$: quỹ đạo liên hợp trong $Q$ sau khi phản xạ sẽ cho một quỹ đạo bi-a trong tam giác $T$. Lý do tương tự cũng được áp dụng trong tất cả các trường hợp khác, bất kể tam giác nào $T_i$ quỹ đạo sẽ rời đi, vượt ra ngoài ranh giới của tam giác $Q$. Do đó, như trên (trong đoạn 1), quỹ đạo bi-a trong tam giác $T$ tương ứng với quỹ đạo của một quả bóng chuyển động cùng hướng bên trong tam giác $Q$ và nhảy - khi chạm tới các cạnh $Q$ - tới các điểm cản tương ứng của các bên (điểm bắt đầu của một trong các quỹ đạo này được thể hiện trong Hình 156).

Để làm cho các quỹ đạo nối liên tục, bạn cần hợp nhất các điện trở của cạnh của osmutolnik $Q$. Như chúng ta đã thấy trong đoạn 3, điều này sẽ tạo ra một chiếc bánh crepe và quỹ đạo bi-a trong hình tam giác $T$ sẽ tương ứng với các đường cong bao quanh chiếc bánh crepe này!

Mặc dù không thể nhập chính xác tọa độ trên crepe, tuy nhiên, bằng cách sử dụng cấu trúc được mô tả, có thể chứng minh rằng bất kỳ quỹ đạo bi-a nào trong tam giác vuông có góc nhọn $\pi/8$ không rơi vào các đỉnh, dù là chu kì hay nước, đều lấp đầy tam giác. Chúng ta để lại bằng chứng cho phát biểu này dưới dạng trọng lượng của phần cứng bài toán (không có số).

Bài toán 8. Xây dựng một bề mặt tương ứng với bi-a: a) trong tam giác vuông có góc $\pi/12$, b) trong tam giác vuông có góc $\pi/5$, b) trong hình vuông có khoét một lỗ vuông (cạnh của lỗ song song với cạnh của hình vuông).

Hóa ra một quả bi-a trong bất kỳ đa giác nào, giá trị của tất cả các góc tương xứng với $\pi$, có đặc tính chuyển động trên các bề mặt tương ứng - một hình cầu có tay cầm (trong đó $p$ lớn hơn 1 trong mọi trường hợp, ngoại trừ hình chữ nhật và hình tam giác từ bài toán 1, ​​​2). Chúng tôi trình bày bằng chứng của thực tế này dưới dạng một chuỗi bài toán.

Bài toán 9*. a) Quả bi-a chuyển động một góc $\alpha$ so với cạnh cố định $a$ của đa giác $\Phi$ và bị phản xạ từ cạnh đó tạo thành một góc $\beta$ với $\alpha$, tiếp tục chuyển động theo một góc mới $\alpha'$ sang một bên $a$. Thể hiện $\alpha'$ theo $\alpha$ và $\beta$.

Bây giờ chúng ta hãy giả sử rằng độ lớn của tất cả các góc của đa giác $\Phi$ tương xứng với $\pi$ hoặc giống nhau là các cạnh $\Phi$ tạo thành các góc $\beta_i = \frac{m_i}{n_i} \pi$ với cạnh cố định $a$, trong đó $m_i$ và $n_i$ là số nguyên.

6. Chứng minh rằng nếu đoạn ban đầu của quỹ đạo bi-a trong đa giác $\Phi$ hướng một góc $\alpha$ với cạnh $a$, thì tất cả các đoạn tiếp theo của quỹ đạo này chỉ có thể hướng sang cạnh $a$ ở một số hữu hạn các góc $\alpha_1 =$