Биллиарды и поверхности

На этом рисунке показано, как, отражаясь от стенок, билиардный шарик движется поравноедренному треугольнику с углом при вершине π/6. Нет, нет, это не опечатка. Дело в том, что при обичном изображении траектории на треугольнике, число изломов и самопересечений очень велико, картина получается крайне запутанная. Значительно более ясная (и красивая!) картина возниклает, если скленть из 12-ти экземпляров нашего треугольника равный 12-ти угольник, а затем отождествить его противоположные стороны. Тогда получается замкнутая поверхность с треями «ручками», а траектория плавано вокруг нее обвивается. Зачем и как это делается вы можете прочитать в статье «Билиарды и поверхности» на с. 2.

1

Описан в 1970 году
КВАНТ
9
1979

Научно-популярный
физiko-mатематический
журнал
Академи наук СССР
и Академи педагогических наук СССР

Издательство «Наука»
Главная редакция
физiko-mатематической литературы

В НОМЕРЕ:

2 А. Земляков. Биллиарды и поверхности
10 А. Михайлов. Когда наступает полдень?
15 М. Дазаев. Исчезновение колыца Сатурна
Лаборатория «Кванта»
17 В. Майер. Модели смерча
Математический кругхок
19 А. Ширцов. Об одной комбинаторной задаче
Задачик «Кванта»
21 Премин «Кванта»
22 Задачи М581 — М585; Ф593 — Ф597
24 Решения задач М528, М529; Ф538 — Ф541
По страницам школьных учебников
29 В. Гутенахер. Неравенства с фиксированной суммой
«Квант» для младших школьников
33 Задачи
34 Н. Михайлов. Емкссти
Практикум абитриента
38 Я. Суконик, П. Горштейн. Геометрические решения геометрических задач
Искусство программирования
44 Представляем новый раздел
47 А. Ершов, Г. Звеницородский. Зачем надо уметь программировать?
52 Г. Звеницородский. Зачная школа программирования, уроки 1 и 2
Информация
58 Заочная физическая школа
Рецензии, библиография
60 И. Клумова, М. Смолянский. Новые книги
62 И. Слободецкий. Новая научно-популярная серия издательства «Наука» — Библиотека «Квант»
63 И. Петраков. Прекрасное собрание perвоонсточников по математике
64 Ответы, указания, решения
Смесь (с. 9, 14, 16, 36, 43, 59)

© Главная редакция физiko-mатематической литературы
издательства «Наука», «Квант», 1979

2

А. Земляков

Биллиарды и поверхности

Отражаясь от стенок, точный шарик движется по биллиардному столу многоугольной формы. При каких условиях его движение будет периодически? Бывают ли, при данном неперiodическом движении, такие области, куда шарик не попадет нижогда?

Чтобы ответить на эти просто формулируемые, но трудные вопросы, в этой статье вместе движения с отражениями по плоскости рассматривается движение без отражений по поверхности. Оказывается, от биллиардва в многоугольнике к движению по поверхности можно перейти некоторой склейкой многоугольников.

В начале статьи этот переход появляется на примере при могу́льного биллиарда. После необходимости разговора о склейке поверхностей рассматривается общий случай. В частности, решаются задачи 16 и 17 из статьи «Математика биллиарда» («Квант», 1976, № 5).

1. Биллиард в прямогольнике и обмотки тора

На интересует следующий вопрос: какими могут быть траектории биллиардного шара, движущегося в прямогольнике П? Мы считаем шар точкой и интересемся бесконечными траекториями — нижогда не попадающим в верхины прямогольника (рис. 1). На лице многочисленных отражений от стенок биллиарда сильно затрудняет исследование траекторий шара. Однако каждую биллиардную траекторию можно «выпрямить» с помощью последовательных отражений ее отрезков относительно сторона прямого угольника — так, как показано на рисунке 2. Если с самого начала с помощью отражений «замостить» всю плоскость прямого угольника, конгруэнтными П, то, при обратных отражениях, приемые на плоскости дадут биллиардные траектории в прямогольнике П. Оказывается, нет нуждая рассматривать бесконечное множество отраженных прямогольников — можно обойтись четырьмя, образующими «большой» прямогольник П’ (рис. 3), если считать, что шарик, одной до его стороны, «перепригивает» в соответствии точку противоложей стороны (C→C’, E→E’, …, K→K’, L→L’, …, S→S’) и движется в прежнем направлении до следующего попадания на одну из его стороны. Действительно, складывая (с помощью симметрии) из П’ прямогольник П, мы получим из прягающих траекторий в П’ настоящего биллиардные траектории в П.

Таким образом, мы сумели избавиться от отражений траектории, однako у нее появились «прыжки». Чтобы избавиться от них, свернем прямогольник П’ в цилиндр и склим стороны XY и X’Y’; при этом точки L и L’, N и N’, …, I и I’ (рис. 3) склиются между собой, и траектория будет плавано обматываться вокруг цилиндра (рис. 4). Однако остаются

3

2. Биллиардные траектории в прямогольнике

Тор можно также получить вращением окружности Γ около не пересекающей ее оси ZZ’, лежащей в плоскости окружности (рис. 6). При этом каждая точка окружности Γ даст на торе окружность, которую назовем паралелю tora. Окружности, получающей из Γ при каждом конкретном повороте, естественно называть мериданami tora (рис. 6). Наконец, большой прямогольник П’, из которого был склен тор, удобно рассматривать как карту tora. Хотя траектория из п. 1 обмаывается вдоль torа, следует за ней можно, как и в навигащии, по карте.

Пусть шарик движется с единичной скоростью под углом α к стороне «a» прямогольника П. Тогда составляющие скорости движения по карте tora П’ вдоль паралелей и мериданов равны, соответственно, cos α и sin α. Паралели на карте tora имеют

$$\varphi = 2\pi \frac{l_0}{2b} = 2\pi \frac{a}{b} \text{tg} \alpha$$

(здесь 2b — длина мериданов tora на карте). Следовательно, траектория на торе будет замкнутой, т. е. перiodический, если неокторое целое число поворотов на угол φ даст пово-

4

Рис. 7.

рот на целое кратное 2π, то есть $n\varphi = 2\pi m$ или $\frac{a}{b} \mathrm{tg} \alpha = \frac{m}{n}$ — радиональное число. Если же число $(a/b) \mathrm{tg} \alpha$ irrationalно, то траектория на торе будет незамкнутой — неперiodичной. Точки пересечения траектории с каждой фиксированным meridianом расположены на нем всюду пломно, т. е. так, что они попадают в любую окрестность любой его точки*).

В силу произвольности выбора meridiana, неперiodическая траектория будет всюду плотной на всем торе, соответствующая траектория всюду плотна на карте тора $\Pi'$, а билиардная траектория всюду плотна в прямогольнике $\Pi$. Проще можно сказать так: две бы мы ни проделали дырочки (радуса $r > 0$) в прямогольном билиардном столе, мощный билиардный шарик, пученный под маким углом $\alpha$ к стороне $a$, что число $(a/b) \mathrm{tg} \alpha$ irrationalно, рано или поздно появится в эму дырочки.

Итак, мы свели билиард в прямогольнике к «обмоткам» тора и установили следующий важный факт: любая билиардная траектория, не попадающая в вершины прямогольника, либо перiodична (в случае $(a/b) \mathrm{tg} \alpha \in Q$), либо всюду плотна в прямогольнике (в случае $(a/b) \mathrm{tg} \alpha \notin Q$). Тем самым решена задача 16 из статьи «Matematika билиарда». Не желая лишать читателя удовлетвория, задачу 17 из той же статьи мы предложим в виде следующих задач:

*) См. теорему Якоби в статье «Matematika билиарда».

Задча 1. Аналогичным образом доказим докажите, что любая не попадающая в вершины билиардная траектория в равноведренном прямогольном треугольнике либо перiodична, либо всюду плотно заполлем соответствующей траекольник.

Задча 2. Докажите то же самое для: a) равностороннего треугольника, b) прямогольного треугольника с углом в 30°.

Если задча 2 не будет получаться, отклоните ее до прочтения пп. 3, 4.

3. Поверхности и их склейка

Конечно, интересно посмотреть, что получится для билиардов в других многоугольниках (отличных от прямогольника и треугольников из задач 1, 2). Нельзя ли обобщить конструкцию из п. 1 на произвольный случай? Прежде, однako, разберемся с поверхностями и склейками.

В § 47 учебника «Геометрия 10» замкнутая многоугольная поверхность определяется как множество точек в пространстве, составленное из многоугольников и удовлетворяющей неокторным условиям. Основное свойство такой поверхности заключается в том, что каждая ее точка $M$ обладает окрестностью, которая может быть непрерывно преобразована в общий круг с центром в точке $M$ (рис. 7). Под окрестностью точки $M$ понимается множество точек поверхности, удаленных от $M$ не более чем на неокторное расстояние $\varepsilon > 0$. При наших непрерывных преобразованиях окрестность можно изгибать, местами скжимать или растягивать, но запрещается «скленвать» между собой ее точки и «разрывать» окрестность. Если представить себе окрестность точки $M$ сделанной из резины, то нужно преобразование можно получить, если положить окрестность под пресс и, медленно растягивая (так, чтобы не получилось складок и разрывов), расположить ее.

Указанным основным свойством обладают не только замкнутые многоугольные, но и искривленные поверхности — например, сфера или тор. Если в сфере вырезать две дырки и заклеить их подходящим образом изо-

5

гнутой «ручкой» — боковой поверхностью цилиндра, то получится «сфера с ручкой», которая может быть преобразована в тор (рис. 8). Приклеив к сфере аналогичным образом две ручки, мы получим так называемый «крендель», или сферу с двумя ручками; на рисунке 9 эта поверхность представлена в пяты видах.

Можно построить сферу $S_p$ с любым числом приклеенных ручек $p \geq 0$. Легко видеть, что все сферы с ручками обладают основным свойством.

Полная поверхность цилиндра также обладает этим свойством, а его боковая поверхность — нет: точки $M$ на окружности оснований имеют окрестности в виде искривленного полукруга; их нельзя деформировать без разрывов и склеек в круг с центром в точке $M$ (рис. 10). Далее, поверхность двойного конуса и объединение двух пересекающихся или касающихся сфера не обладают основным свойством (рис. 11), а объединение двух непересекающихся сфера — обладает.

Мы хотим исключит из рассмотрения поверхности, состоящие из нескольких отдельных кусков. Потребуем поэтому, чтобы любые две точки

поверхности можно было соединить проходящей по поверхности непрерывной линей. Это свойство называется «связностью поверхности».

Мы не хотим рассматривать и бесконечно протяженные поверхности—такие как плоскость или бесконечная цилиндрическая поверхность—a также поверхности типа круга без границ. Поэтому наложим еще одно условие (назовем его конечностью): потребуем, чтобы поверхность можно было разбит (“разрезать”) на конечное число «криволинейных многоугольников», каждый из которых без разрывов и склеек преобразовается в плоский выпуклый многоугольник (с границами). Например, сфера по экватору и четырем meridianам разрезается на 8 криволинейных треугольников, а плоскость на конечное число многоугольников разбит нельзя.

Итак, далее мы рассматриаем только такие поверхности (множества точек пространства), которые обладают трех перечисленных свойствами: основным свойством, свойством конечности и связности.

Две такие поверхности считаются эквивалентными (математически эквивалентны-

Рис. 8.

Рис. 9.

6

ми»), если существует обратное отображение одной из них на другую, при котором нет ни разрывов, ни склеек (но допускается растяжения, скатия, изгибания и разгибания). Например, поверхность терраэдра эквивалентна сфере, две последние поверхности на рисунке 8 эквивалентны тору, все пять поверхностей на рисунке 9 эквивалентны между собой. Можно доказать*), что любая поверхность в пространстве (в нашем смысле) эквивалентнаровно одной из сфера с р ручками (т. е. либо сфере, либо тору, либо крепедело, либо сфере с р ручками для неокоторого $p>2$).

Задача 3. Показите, что мор, крепедель и, вообще, сфера с любым числом ручек обладают свойством конечности, т. е. указыва их разбиения на конечное число крюллейных многоугольников.

Задача 4. Для каждой из перечисленных ниже поверхностей указите, сфера с каким числом ручек она эквивалентна: а) поверхность чаши

*) См., например, статью В. А. Ефремовича «Основные топологические понятия» в книге V «Энциклопедии элементарной математики» (М., «Наука», 1966) или главу 3 в книге Г. Рингеля «Теорема о раскраске карта» (М., «Мир», 1977).

ки (рис. 12a); б) поверхность смула (рис. 126); с) поверхность оконного переплета (рис. 128)).

Задача 5*. Показите, что мор и сфера не эквивалентны.

Указание. Найдите такое свойство, которое сохраняет при рассматриваемых преобразованиях и которых одна из этих поверхностей обладает, а другая — нет.

Поверхность, обладающая свойством конечности, разрезается на многоугольники и поэтому может быть склеена из многоугольников. Оказывается, можно обойтись одним многоугольником. Мы уже видели, что тор может быть получен склейкой противоложих сторон квадрата (или прямого склейки). Так вот, из любого 2n-угольника после попарной склейки его противоложих сторон получается поверхность нашего типа, т. е. сфера с неокоторым числом ручек. Например, на рисунке 13 показано, как при склейке сторон восbmнуюника получается крепедель.

Задача 6. Найдите число ручек р поверхности $S_p$, склейной указанным выше образом из 2n-угольника.

В принципие закон склейки сторон 2n-угольника можно задавать произвольно; но при этом далеко не всегда получится поверхность нашего типа.

7

Задача 7. Проведите склейку no рисункам 14а, 6. (В случае 14а получится самопересекающая поверхность — так называемая «бутылка Клейна».)

4. Биллиарды и поверхности

Вернемся к Биллиардам: попытемся конструкцию из п. 1 обобщить на случай произвольного многоугольника. Что при этом может получиться, показем на примере прямоугольного треугольника $T=ABC$ с острым углом $\hat{A}=\pi/8$.

Для выпрямления Биллиардной траектории в $T$ опять воспользовемся последовательными отражениями. Такие отражения относительно сторон, исходящих из вершины $A$, дают, как показано на рисунке 15а, правильный восемичугольник, составленный из 16 треугольников $T_1=T$, $T_2$, $T_3$, …, $T_{16}$, конгрузных треугольников $T$. Заметим, что замостить всю плоскость треугольника, конструктивными $T$, с помощью отражений нельзя. Сейчас мы увидим, что это и не нужно, — можно обойтись 16 указанным треугольниками.

Пусть траектория [PM] доходит до точки $M$ на стороне восемичугольника $Q$. Продолжение [PM] за точку $M$ в случае, изобразенном на рисунке 15а, следовало бы рисовать в треугольнике $T_5'$, симметричном $T_5$. Заметим, что среди треугольников $T_i$ есть треугольник $T_{12}$, из которого $T_5'$ получается параллельным переносом. Легко видеть, что этот перенос можно выполнить как последовательную композицию симметрий:

$$T_{12} \rightarrow T_{11} \rightarrow T_{10} \rightarrow \dots \rightarrow T_6 \rightarrow T_5 \rightarrow T_5'.$$

При этом луч, проведенный через соответственную точку $M'$ (такую, что $|A'M'|=|AM|$ — рис. 15а) на стороне треугольника $T_{12}$ параллельно лучу [PM], при указанной композиции отображения на продолжение луча [PM] за точку $M$. Поэтому можно считать, что шарик перерывается из точки $M$ в точку $M'$ и про-

8

Рис. 15.

должает движение в прежнем направлении по восмнутольнику $Q$: прягающая траектория в $Q$ после отражечной даст биллардную траекторию в треугольнике $T$. Такое же рассужждение проходит и во всех других случаях, какой бы из треугольников $T_i$ ни собиралась покидать траектория, выходя за пределы восмнутольника $Q$. Таким образом, как и выше (в п. 1), биллардным траекторям в треугольнике $T$ отвечают траектории шарика, движущeroся в одном и том же направлении внутри восмнутольника $Q$ и перерыгивающего — при достижении его сторон $Q$ — в соответствииные точки противления сторон (начало одной из таких траекторий изобравено на рисунке 156).

Чтобы сделать прягающие траектории непрерывными, нужно склить противления стороны восмнутольника $Q$. Как мы видели в п. 3, при этом получится крепдель, а биллардным траекторям в треугольнике $T$ будет отвечать обматывающей этот крепдель кривые!

Хотя на крепделе и нельзя ввести хорошо координаты по образцу того, тем не менее с помощью описанной конструкции можно доказать, что любая биллардная траектория в прямугодном треугольнике с острым углом $\pi/8$, не попадающая в вершины, либо перiodица, либо всоду плоно заполняется треугольник. Доказательство этого утверждения мы оставляем в качестве веса трудной задачи (без номера).

Задача 8. Построение поверхности, отвечающей биллардам: а) в прямугодном треугольнике с углом $\pi/12$, б) в прямугодном треугольнике с углом $\pi/5$, б) в квадрате с вырезанной в нем квадратной дыркой (стороны дырки паралельны сторонам квадрата).

Оказывается, биллард в любом многоугольнике, величины всех углов которого созмерены с $\pi$, свойством к движении по соответствующим поверхностям — сфера с ручками (где $p$ больше 1 во всех случаях, кроме прямугодника и треугольников из задачи 1, 2). Мы изложим доказательство этого факта в виде серии задач.

Задача 9*. а) Биллардный шар движется под углом $\alpha$ к фиксированной стороне $a$ многоугольника $\Phi$ и, отразившись от стороны, образующей с $\alpha$ угол $\beta$, продолжает движение под новым углом $\alpha'$ к стороне $a$. Выразите $\alpha'$ через $\alpha$ и $\beta$.

Предположим теперь, что величины всех углов многоугольника $\Phi$ созмерены с $\pi$ или, что то же самое, что стороны $\Phi$ образуют с фиксированной стороне $a$ углы $\beta_i = \frac{m_i}{n_i} \pi$, где $m_i$ и $n_i$ — целые.

6. Докажите, что если начальный отрезок биллардной траектории в многоугольнике $\Phi$ направлен под углом $\alpha$ к стороне $a$, то все следующие отрезки этой траектории могут быть направлены к стороне $a$ только под конечным числом углов $\alpha_1 =$