Неравенства с фиксированной суммой

29

ПО страницам школьных учебников

В. Гутенмахер

Неравенства с фиксированной суммой

В начале учебного года мы выбрали для нашего раздела тему «Неравенства», так как она произвела всю школьную программу по алгебре (см. гл. II «Алгебры 7», гл. I «Алгебры 8» и гл. IX пособия «Алгебра и начала анализа 10»).

Отметим, что к решению неравенств с несколькими переменными свойствами многое важнее задачи из экономики и других приложений математики.

В статье на простейших задачах*) мы познакомимся с важными примами рассуждений, которые помогут вам научиться свободно обращаться с неравенствами.

*) Часть этих задач составляется одно из заданий ВЗМШ (см. с. 32).

Задачи про муку

В условиях первых задач речь идет о тройках чисел a, b, c, связанных соотношением a+b+c=1, в третьей части — о способе изображения таких треок на плоскости.

Задача 1. В трех пакетах находится 1 ке муки. Кроме того, известно, что в первом пакете муки не больше, чем во втором, а во втором — не больше, чем в третьем.

a) Может ли в третьем пакете находится 2/5 ке муки?

b) Может ли в третьем пакете находится 1/5 ке муки?

b) Сколько, самое меньше, может быть муки в третьем пакете?

г) Сколько, самое больше, может быть муки в третьем пакете?

a) Ответ. Может. Приведем пример. Распределим муку так: в первый и второй пакеты положим 3/10 ке муки, а в третьий — 2/5 кг. Тогда все условия выполнены: 3/10 + 3/10 + 2/5 = 1, причем в первом пакете муки не больше, чем во втором (3/10 ≤ 3/10), а во втором — не больше, чем в третьем (3/10 ≤ 2/5).

б) Ответ. Нет, не может. Доказем это. Допустим, что в третьем пакете 1/5 кг, тогда во втором — не больше 1/5 кг и в первом — тоже не больше 1/5 кг. Но тогда во всех трех пакетов не больше 3/5 ке муки,

30

что противоречит условия. Поэтому нашей допущение (что в третьем пакете $1/5$ кг) не верно.

в) Ответ. В третьем пакете, самоое меньше, $1/3$ кг. Докажем это. Покажем сначала, что в третьем пакете не меньше, чем $1/3$ кг. Допустим противное: пусть там меньше $1/3$ кг муки. Тогда и во втором, и в первом пакетах тоже меньше $1/3$ кг, но это означает, что во всех трех пакетах меньше 1 кг муки, что противоречит условия. Итак, в третьем пакете не меньше $1/3$ кг. Покажем теперь, что в третьем пакете может быть $1/3$ кг муки. Если насыпать в каждой пакет по $1/3$ кг, то сумма будет 1 кг и в первом пакете муки оказывается не больше, чем во втором, а во втором — не больше, чем в третьем.

г) Ответ. В третьем пакете, самоое больше, 1 кг. В самом деле, больше 1 кг не может быть по условиям, а 1 кг получится, когда в первых двух пакетах муки вообше нет.

Следующие две задачи того же типа, что и задача 1. Напишите их решения, взяв за образец нашей решения задачи 1.

Задача 2. Условие мо же, что в задаче 1. Нужно ответить на вопросы:

a) Может ли во втором пакете быть $2/5$ кг муки?

b) Может ли во втором пакете $3/5$ кг муки?

и доказать, что

b) Во втором пакете, самоое больше, $1/2$ кг муки.

г) Во втором пакете может быть 0 кг муки.

Задача 3. Условие мо же, что в задаче 1. Надо ответить на вопросы:

a) Может ли в первом пакете быть $13/37$ кг муки?

b) Может ли в первом пакете $12/37$ кг муки?

b) Сколько, самоое больше, муки в первом пакете?

г) Сколько, самоое меньше, муки в первом пакете?

Вместо муки — числа и углы

Обратимся снова к задаче 1. Ее можно сформировать и по-другому:

Задача 4. Про числа $a, b, c$ известно, что $a+b+c=1$ и $0 \leq a \leq b \leq c$.

a) Может ли с равнымся $2/5$?

b) Может ли с равнымся $1/5$?

b) Надите наименьшее значение $c$.

г) Надите наименьшее значение $c$.

Решение задачи 4 можно записать так:

a) $c$ может быть равно $2/5$. Например, $c=2/5, a=3/10, b=3/10$. тогда $3/10+3/10+2/5=1$ и $3/10 \leq 2/5$.

b) $c$ не может быть равно $1/5$. В самом деле, если $c=1/5$, то $b \leq 1/5, a \leq 1/5$, поэтому $a+b+c<1$, что невозможно. Итак $c \geq 1/3$. Покажем, что $c$ может равнять $1/3$. В самом деле, если положить $a=b=c=1/3$, все условия будут выполнены.

Задача 5. Переформулируйте аналогичным образом задачу 2 и приведите ее решение так же, как мы это сделали с задачей 1 (см. задачу 4).

Решите теперь следующие задачи, пожоже на задачи 4 и 5:

Задача 6. Про числа $a_1, a_2, a_3$ известно, что $a_1+a_2+a_3=1$ и $0 \leq a_1 \leq a_2 \leq a_3$.

a) Надите максимальное значение $2a_1+3a_2$.

b) Надите минимальное значение $2a_1+3a_2$.

Задача 7. a) Может ли наибольший по величины уол в треугольнике равняться $50^\circ$?

b) Может ли наибольший по величины уол в треугольнике равняться $88^\circ$?

Задача 8. Какое наименьшее значение может принадлежать наибольший уол в треугольнике?

Задача 9. В трех пакетах находимся 1 кг муки, причем известно, что в первом пакете в два раза меньше муки, чем во втором, а во втором — не больше, чем в третьем. Сколько, самоое больше, может находимся муки во втором пакете?

Задача 10. Плять прямы на плоскости расположены так, что никакие две из них не паралельны. Докажите, что среди их найдуmsя,

31

по крайней мере, две прямые, уелом между коморыми не меньше 36°.

Указание. Выберите произвольную точку на плоскости и проведите через нее прямые, параллельные данных.

Задача 11. Докажите, что в выпуклом прямоугольнике не может быть больше трех острых углов.

Задача 12. Процесла $a, b, c, d$ известно, что $a+b+c+d=4$ и $0 \leq a \leq b \leq c \leq d$.

a) Докажите, что $c \leq 2$.

b) Докажите, что наибольшее значение $b+c$ равно $8/3$.

b) Найдите наименьшее значение $a+d$.

Задача 13. Процесла $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ известно, что $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=1$ и $0 \leq a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq a_4 \leq a_5$.

a) Докажите, что $a_3 \leq 1/3$.

b) Найдите наибольшее значение $a_2+a_3+a_4$.

b) Найдите наименьшее значение $a_1+a_5$.

Задачи
про правильный треугольник

Задача 14. Дан равносторонний треугольник. Найдите множество точек внутри него:

a) уделенных от стороны $AB$ не больше, чем от стороны $BC$;

b) уделенных от стороны $BC$ не больше, чем от стороны $AC$;

b) удовлетворяющих одновременную условия a) и b).

Ответ на вопрос a) показан цветом на рис. 1a), на вопрос b) — на рис. 1б).

Оказывается, задача 14b) тесно связана с задачей 1. Для того, чтобы перекнуть местку между этим задачими, решим следующее задачу:

Задача 15. Докажите, что сумма расстояний от любой точки внутри равностороннего треугольника $ABC$ до его сторона равна длине $h$ его высоты.

Решен и е. Возьмем произвольную точку $M$ внутри треугольника $ABC$ и опустим из нее перепределки ляры на стороны $AB, BC$ и $AC$. Пусть длины получшихся отрезков равны $h_1, h_2$ и $h_3$; это и есть расстояния от точки $M$ до сторона. Над доказать, что $h_1+h_2+h_3=h$. Соединим точку $M$ с вершинами $A, B$ и $C$. Очевидно, $S_{ABM}+S_{CBM}+S_{CMA}=S_{ABC}$, где $S_{ABM}, S_{CBM}, S_{CMA}, S_{ABC}$ — площади треугольников $ABM, CBM, CMA, ABC$ соответственно. Обозначим длину сторона треугольника $ABC$ через $a$ и перепишем это равенство так:

$$\frac{ah_1}{2}+\frac{ah_2}{2}+\frac{ah_3}{2}=\frac{ah}{2}.$$

Отсюда следует доказываем равенство: $h_1+h_2+h_3=h$.

Дополнитель к задаче 15. Утверждение этой задачи верно не только для внутренних точек треугольника, но и для точек, лежащих на его сторонах и в вершинах. (При этом мы считаем, что если точка лежит на стороне треугольника, то ее расстояние до этой стороны равно нулю.) Докажите это самостъятное.

Рис. 1

Возьмем равносторонний треугольник $ABC$ таким, чтобы его высота равна длине $h$ его высоты.

Мы предлагаем вам самим подумать над доказательством «обратного» утверждения: если заданы три числа $h_1, h_2, h_3$ таких, что $h_1 \geq 0, h_2 \geq 0, h_3 \geq 0, h_1+h_2+h_3=1$, то внутри или на границе треугольника $ABC$ можно найти точку $M$, расстояние от которой до $[AB]$ равно $h_1$, до $[BC] - h_2$, до $[AC] - h_3$. Конечно, достаточно потребовать, чтобы выполнялись лишь первые два условия, тогда расстояние от $M$ до третий стороны, согласно задаче 15, будет 1—$h_1-h_2=h_3$.

32

Итак, мы научились тройки положительных (точнее — неотрицательных) чисел ($h_1; h_2; h_3$), у которых $h_1+h_2+h_3=1$, изобразать геометрические. Будем так и говорить: «точка ($h_1; h_2; h_3$)» *).

Геометрическая иллюстрация первых задач

Тепер снова вернемся к первым задачам. Расмотрим, например, рис. 16) к задаче 14 (здесь и дальше мы попрежнему считаем, что высота треугольника $ABC$ равна 1). На нем выделены цветом те точки ($h_1; h_2; h_3$), для которых $h_1 \leqslant h_2$ и $h_2 \leqslant h_3$.

Покажем, что на многоге вопросы, которые мы ставили в первых задачах, очень легко ответить при помощи баритрических координат. Например, вернемся к задаче 4.

Тепер у нас другие обозначения: $a=h_1$, $b=h_2$, $c=h_3$, а условия записаются так: $0 \leqslant h_1 \leqslant h_2 \leqslant h_3$, $h_1+h_2+h_3=1$.

*) Числа $h_1, h_2, h_3$ математики называют баритрическими координатами точек правильного треугольника.

Задание Всегоизной заочной математической школи

Обязательные задачи: №№ 2, 3, 7 — 10, 12а), 17.

Дополнительные задачи: №№ 6, 11, 126), 12в), 136).

Об одной комбинаторной задаче
(Окончание. Начало см. на c. 19)

Далее было еще интереснее. В «Математическом просвещении» № 4 (М., ФМ, 1959) профессор А. Лопшиц, комментируя уже упомянутый сборник изображенных задач и желая достиить любительм математики информации и, разумеется, удовлетворение выбирает, конечно, на свой вкус, 27 задач из 400 уже выбранных. И снова обе эти задачи, независимо, попадают в список.

На самом же деле, как мы теперь убедились, обе эти задачи — две стороны одного и того же вопроса.

Из этой «истории» видно, что даже крупные математики не всегда понятно друг друга, так как, зачастую, говорят на разных языках. Это явление довольно широко распространяется в последнее время, когда поток информации prevышает человеке возможность ее качественной переработки.