Những con số siêu thực

Кириллов А. А., Клумова И. Н., Сосинский А. Б.

Kvant 1979, số 11 tr. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9 Thẻ S4UX

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

A. Kirillov, I. Klumova,
A. Sosinsky

Khái niệm số thực là một trong những khái niệm cơ bản trong toán học. Do đó, không có gì ngạc nhiên khi hiện nay có nhiều phương pháp được biết đến để xây dựng một lý thuyết chặt chẽ về số thực. Trong số đó nổi bật là phương pháp tiên đề đơn giản, tự nhiên. Nó bao gồm việc chúng tôi từ chối trả lời câu hỏi “số là gì?”, mà xác định tất cả các số cùng một lúc, mô tả chúng có những đặc tính gì. Tính chất của các công thức này ở dạng tiên đề. Hóa ra đối với định nghĩa tiên đề của số thực, 12 tiên đề cho trên p. 9.

Tất nhiên, không có gì đảm bảo rằng sẽ có ống kính đáp ứng được yêu cầu này. Vì vậy, ngoài các tiên đề, mong muốn có một mô hình - một tập hợp các đối tượng thỏa mãn các tiên đề này. Tuy nhiên, bạn biết rõ mô hình số thực này - đây là những phân số thập phân vô hạn.

Gần đây, nhà toán học người Anh John Conway đã cố gắng “xây dựng” một mô hình rất thú vị không chỉ chứa tất cả các số thực mà còn nhiều số khác - với các tính chất thú vị và khác thường. Những con số này - chúng ta sẽ gọi chúng là số K, và Conway gọi chúng là sorreal (siêu vật chất) - thỏa mãn 11 trong số 12 tiên đề đã đề cập.

Chúng tôi sẽ cho bạn biết điều gì đó về những con số này trong bài viết của chúng tôi. Thật không may, để xây dựng tất cả các số K, bạn cần có khái niệm về số hoán vị, khái niệm này không được dạy ở trường. Nhưng bạn có thể nhìn vào số học của họ ở cấp trường.

Mô tả số K

Trong Truyền số học, cùng với các số 0, 1, 2, …, 9 thông thường chỉ sử dụng hai dấu: ↑ - CR (lên - tiếng Anh) và ↓ - xuống (xuống - tiếng Anh). Bộ ký hiệu này là số K.

Bộ này có thể không chứa bất kỳ ký tự nào cả. Dưới đây chúng ta sẽ thấy rằng tập hợp này đóng vai trò số 0, vì vậy chúng ta

Chúng ta hãy ký hiệu trước nó bằng 0. Tập hợp có thể là hữu hạn bất kỳ, ví dụ: ↓; ↑↑↓; ↓↑↑↓↑↓; có thể là vô hạn bất kỳ: ↑↓↑↑↑↓ …, và thậm chí có thể “nhiều hơn vô hạn” (xem phần cuối). Chúng tôi sẽ chủ yếu hoạt động với các bộ hữu hạn.

Nếu các ký hiệu ↑ và ↓ được xem là biểu thị hướng chuyển động của chữ I, thì mỗi bộ “ir” và “add” có thể được hiểu là một “giao thức Ponska” tương ứng với một số K, với các “giao thức” khác nhau tương ứng với các số K khác nhau.

Hãy so sánh điều này với việc viết một số thực dưới dạng phân số thập phân vô hạn. Ở đây cũng vậy, số x mong muốn được xây dựng bằng các phép tính gần đúng liên tiếp. Nhưng với các phép tính gần đúng thập phân liên tiếp thông thường, chúng tôi chọn các số từ bên dưới chứ không phải bằng động cơ, như với số K (Hình 1). Ngoài ra, ký hiệu thập phân (trái ngược với ký hiệu của số K) không rõ ràng: 0,99999… giống như 1,0000…

Bây giờ chúng ta hãy giải thích cách so sánh số K theo độ lớn.

Quan hệ thứ tự

Để so sánh hai số K, bạn cần viết chúng bên dưới số kia và so sánh lần lượt các ký hiệu có trong ký hiệu của chúng (như khi thiết lập thứ tự chữ cái của các từ trong từ điển; thứ tự này của các nhà toán học được gọi là từ điển). Nếu ký hiệu không bằng nhau đầu tiên của số x là ký hiệu ↑ và ký hiệu đầu tiên của số y là ký hiệu ↓ thì x>y. Một trường hợp khác có thể xảy ra khi số x nhỏ hơn số y

*) Số K “nhiều hơn là ít” là gì và tại sao 0 là số K đơn giản nhất, chúng tôi sẽ giải thích ở phần tiếp theo.

Hình 1.

và tạo thành sự khởi đầu của nó. Sau đó, chúng ta viết x>y nếu ký tự “phụ” đầu tiên trong y y là ký tự ↓ và x<y nếu ký tự này là ↑*). Ví dụ: bất đẳng thức hợp lý là ↓<0<↑↑<↑<↑↑↓.

Nhìn về phía trước, giả sử rằng tất cả các số bắt đầu bằng ↑ sẽ dương (nghĩa là >0) trong K-arinetics và tất cả các số bắt đầu bằng ↓ sẽ là số âm.

Đối với số K, ngoài quan hệ thứ tự (>, =, <), còn có một quan hệ quan trọng hơn; Conway gọi mối quan hệ này là “rave” và biểu thị nó bằng ký hiệu ←. Chúng ta sẽ nói rằng số K a bằng số K b nếu a gặp 0 trên đường tới b (xem Hình 1). Nói cách khác, a ←b nếu a có thể thu được từ b bằng cách “cắt đuôi” - phần (từ phần cuối) của mũi tên ↑ và ↓. Ví dụ: ↑ bằng ↑ hoặc ↑ và 0 theo định nghĩa được coi là số sớm nhất.

Lưu ý rằng thuộc tính “lớn hơn” không giống với thuộc tính “lớn hơn”: ví dụ: số ↑ không bằng số ↑. Theo cách tương tự, thuộc tính “nhiều hơn” không trùng với thuộc tính “lớn hơn” hoặc “lớn hơn”: ví dụ: cả hai số ↑ và ↑ đều bằng số ↑, nhưng số thứ nhất lớn hơn ↑ và số thứ hai nhỏ hơn.

*) Đặc biệt, “tập trống” 0 là phần đầu của bất kỳ số K nào.

Bổ đề chính
Chúng ta có hai bộ số $K$ : $A$ và $B$ . Chúng ta sẽ nói rằng tập hợp $B$ nằm trong tập hợp $A$ nếu mọi số trong tập hợp $A$ đều nhỏ hơn mọi số trong tập hợp $B$ ; hãy biểu thị nó như thế này: $A < B$ . Giả sử rằng số $c$ có thể tách rời khỏi các bộ $A$ và $B$ nếu $a < c < b$ với bất kỳ $a \in A$ và $b \in B$ nào.

Bổ đề chính. Nếu $A < B$ thì có một số $K$ $c$ ngăn cách các bộ $A$ và $B$ . Số lượng tối đa trung bình là sớm nhất. (Trong phần tiếp theo, số sớm nhất ngăn cách các bộ $A$ và $B$ sẽ được ký hiệu như sau: $\{A:B\}$ .)

Chúng tôi gọi bổ đề này là bổ đề chính vì nó sẽ đóng vai trò chính trong việc xác định các quy tắc hành động trên tập hợp các số $K$ . Nó đúng với mọi tập hợp số $K$ -số $A$ và $B$ . Nhưng chúng ta sẽ chỉ chứng minh điều đó với giả định rằng $A$ và $B$ là tập hữu hạn của các số $K$ hữu hạn.

Chúng tôi sẽ tìm kiếm một phần tử tách các bộ $A$ và $B$ một cách tuần tự. Vì $0$ là số sớm nhất nên hãy bắt đầu từ đó.

Nếu $0$ tách các bộ $A$ và $B$ , thì mọi thứ đều được chứng minh. Nếu không, thì ở cả hai vế (theo nghĩa “nhiều hơn là ít hơn”) của $0$ nó sẽ tìm thấy các phần tử từ $A$ hoặc các phần tử từ $B$ . Đặt đây là các phần tử từ $A$ . Khi đó phần tử ngăn cách không được nhỏ hơn $0$ , tức là không được bắt đầu bằng $\downarrow$ ; điều đó có nghĩa là nó bắt đầu bằng $\uparrow$ . Số sớm nhất bắt đầu bằng $\uparrow$ là $\uparrow$ . Chúng tôi lý luận như trên: nếu $\uparrow$ tách $A$ và $B$ , thì mọi thứ đều được chứng minh. Nếu không, thì trên cả hai mặt của nó, nó sẽ tìm thấy các phần tử từ $A$ hoặc từ $B$ ; Bây giờ chúng ta giả sử rằng đây là các phần tử từ $B$ . Khi đó phần tử phân tách không được lớn hơn $\uparrow$ ; điều đó có nghĩa là nó bắt đầu bằng $\uparrow$ . Chúng tôi lấy $\uparrow$ và tiếp tục quy trình tương tự với nó, v.v. (Hình 2).

Chúng tôi cho bạn cơ hội để xác minh rằng quá trình này (trong trường hợp tập hợp hữu hạn $A$ và $B$ , bao gồm các số $K$ hữu hạn) không thể tiếp tục vô thời hạn và do đó, dẫn đến một số tách biệt $c$ .

Để chứng minh điều đó, chẳng hạn, bạn có thể tách số lớn nhất khỏi $B$ và số lớn nhất khỏi $A$ - do đó, việc chứng minh định lý được rút gọn thành trường hợp đặc biệt khi mỗi bộ $A$ và $B$ bao gồm một số.

Từ chính phương pháp xây dựng, rõ ràng $c$ bằng bất kỳ số chia nào.

Phương pháp chứng minh tương tự có thể được áp dụng trong trường hợp tổng quát, nhưng nói chung, nó dẫn đến một số $K$ phân tách vô hạn và một bằng chứng chặt chẽ rằng quá trình sẽ “kết thúc” (điều này có nghĩa là gì đối với các quá trình vô hạn vẫn được xác định!) cần thông tin từ lý thuyết về số siêu hạn.

định nghĩa của phép cộng
Conways xác định các phép toán trên số $K$ , được hướng dẫn theo nguyên tắc đều đặn và đơn giản. Nó nằm ở chỗ các hành động đúng không được xác định ngay lập tức cho tất cả các số mà dần dần: đầu tiên cho những số trước, sau đó cho những số “sau”; Tại

Trong trường hợp này, số sớm nhất có thể được chọn làm kết quả.

Ví dụ: bằng cách xác định tổng của hai số $K$ , chúng tôi giả định rằng đối với tất cả các số hạng trước đó, tổng đã được xác định. Sau đó, nửa sau của nguyên tắc được áp dụng. Để cho thấy nguyên tắc này “hoạt động” như thế nào, hãy tính một số tổng bằng cách sử dụng nó. Tất nhiên, cho đến khi chúng ta đưa ra nguyên tắc một công thức toán học rõ ràng, những phép tính này sẽ hơi lỏng lẻo.

Vì 0 là số sớm nhất nên trước tiên chúng ta hãy “tính” tổng 0+0. Vì chưa có kết quả nào nên đáp số có thể là bất kỳ số $K$ nào. Nhưng trong tất cả những gì có thể đáp số bạn nên chọn cái sớm nhất. Đây là 0. Vậy ta đã “chứng minh” được đẳng thức

$0+0=0.$ (1)

Bây giờ chúng ta hãy thử kiểm tra xem số thực 0 có các tính chất bằng 0 được chỉ định trong tiên đề C3 hay không (xem trang 9), tức là

$0+x=x$ (2)

với bất kỳ số $K$ nào $x$ .

Hãy để chúng tôi giới thiệu một số ký hiệu cho điều này. Đặt $x$ là một số $K$ . Chúng ta hãy xác định theo phương tiện $x$ (ký hiệu: $x$ ) tập hợp tất cả $K$ -số $y$ sớm hơn $x$ , tức là

$x = \{y | y \in x\}.$

Lát $x$ được chia thành phương tiện dưới $x$ và phương tiện trên $x$ (ký hiệu lần lượt là: $x$ và $x$ ). Phần giữa dưới $x$ là tập hợp của tất cả $y$ sớm hơn $x$ và nhỏ hơn $x$ :

$x = \{y | y \in x\}, y < x\},$

và môi trường phía trên là tập hợp tất cả $y$ sớm hơn $x$ , nhưng lớn hơn $x$ (xem Hình 2):

$\bar{x} = \{y | y \in x\}, y > x\}.$

Ví dụ: trung bình $\bar{x}$ bao gồm bốn số:

$\bar{x} = \{0, \uparrow, \downarrow, \uparrow\},$

và mức trung bình dưới là $\bar{x} = \{0, \uparrow, \downarrow\}$ , và mức trung bình trên là $\bar{x} = \{0\}$ . Và đây là $\downarrow$ - đây là những bộ trống; đồng thời $\bar{x} = \{0\}$ .

Bây giờ chúng ta hãy sử dụng nó một lần nữa: chúng ta sẽ giả sử rằng đối với các số $K$ có số sớm hơn $x$ , đẳng thức (2) là đúng (rõ ràng, bất kỳ số nào bằng $x$ đều thuộc về $x$ hoặc $x$ ). Khi đó tổng 0+x lớn hơn bất kỳ số nào từ $x$ . Do đó, số 0+x phân tách tập hợp $x$ và $x$ (môi trường dưới và trên $x$ ). Vì theo nguyên lý Convel, bạn cần chọn số sớm nhất như vậy, 0+x = $\{x\}: \bar{x}\}$ . Nhưng $\{x\}: \bar{x}\} = x$ (nghĩ xem tại sao), tức là 0+x=x.

Vì vậy, chúng ta gần như đã chứng minh được ký hiệu 0 cho tập hợp trống. Tuyên bố trên hiện đã được chứng minh rằng trong $K$ -phép thuật, các số bắt đầu bằng $\uparrow$ đóng vai trò là số dương và các số bắt đầu bằng $\downarrow$ đóng vai trò là số âm.

Bây giờ chúng ta hãy tìm tổng $\uparrow + \uparrow$ . Bởi vì $\uparrow = \{0\}, \uparrow + \uparrow$ lớn hơn $\uparrow$ . Số sớm nhất lớn hơn $\uparrow$ là $\uparrow + \uparrow$ . Đó là lý do tại sao

$\uparrow + \uparrow = \uparrow + \uparrow.$ (3)

Bây giờ chúng tôi đã có kinh nghiệm với lời giải ví dụ về phép cộng: chúng tôi hiểu rằng tổng $x+y$ phải là số sớm nhất phân cách các tổng bị thiếu (nghĩa là hợp của tập hợp $x+y$ và $x+y$ ) và tổng của số thừa (hợp của tập hợp $\bar{x}+y$ và $x+y$ ). (Đối với các tổng thiếu và các tổng thừa, chúng tôi tin rằng định nghĩa của chúng đã được rút gọn.) Do đó, nguyên tắc trật tự và đơn giản dẫn chúng ta đến định nghĩa sau về tổng của hai số:

$x+y = \{(x|+y) \cup (x+y)\}.$

(hãy nhớ rằng phần tử $\{A:B\}$ , trong đó $A < B$ , tồn tại và được xác định duy nhất).

Công thức (4) là biểu thức chặt chẽ của nguyên lý Convel cho tổng các số. Để xác định phép cộng, bạn cũng cần thêm điều kiện hải quân vào đó - công thức (1). Trên thực tế, điều đó không thể được chứng minh; nó là một phần của định nghĩa. Sử dụng công thức (4) và (1), bạn có thể tính tổng của bất kỳ số $K$ nào.

Bây giờ chúng ta có thể kiểm tra xem các tiên đề phép cộng có được thỏa mãn trong mô hình của chúng ta hay không (xem trang 9).

Ví dụ, chúng ta hãy kiểm tra xem phép cộng được xác định bởi công thức (4) có tính giao hoán hay không.

Trong thực tế, chúng ta hãy lấy hai số đầu tiên mà phép cộng không giao hoán *). Tổng của chúng là số sớm nhất ngăn cách giữa số tiền thâm hụt và số tiền thừa. Số tiền thiếu và số tiền thừa có tính chất giao hoán (theo giả định). Điều này có nghĩa là số sớm nhất ngăn cách chúng cũng không phụ thuộc vào thứ tự phép cộng - chúng ta chia cùng một tập hợp và trong trường hợp chung, chúng ta lấy số sớm nhất trong số những số tách chúng ra (và nó được xác định theo một cách duy nhất - xem bổ đề chính). Điều này có nghĩa là tổng của hai số không phụ thuộc vào thứ tự của chúng, tùy theo giả định. Điều này có nghĩa là phép cộng có tính giao hoán.

Chúng tôi thực sự đã bị thuyết phục về sự ứng nghiệm của tiên đề C3 trước đó. Trục C1 khó kiểm tra hơn trục C2; nghĩ thế nào.

Bây giờ chúng ta hãy tìm tổng ↑+↓. Lưu ý rằng ↑| và ↓| - bộ trống. Do đó, đáp số phải là số sớm nhất lớn hơn ↓ (vì ↑|={0}) và nhỏ hơn ↑ (vì ↓={0}). Con số này là 0.

Vì vậy, ↑+↓=0 và ↓ là phần tử đối lập (theo nghĩa của trục C4) của ↑.

Chúng ta biểu thị bằng ↑n và ↓n K-số gồm n ký hiệu tương ứng liên tiếp.

Bài toán

Chứng minh rằng ↑n + ↑m = ↑n+m, ↓n + ↓m = ↓n+m.
Chứng minh rằng
$\begin{align*} \hat{n} + \hat{m} &= \begin{cases} \hat{n}-m, если n > m; \\ 0, если n = m; \\ \hat{m}-n, если n < m. \end{cases} \end{align*}$

Từ bài toán này, suy ra rằng số ↑n có thể được đặt bằng số tự nhiên thông thường n*) và số ↓n có thể được đặt bằng số đối diện (-n). Như vậy, các số của Conver đều chứa tất cả các số nguyên chung!

Bài toán 3. Chứng minh rằng nếu với một số K nhất định, tất cả ↑ được thay thế bằng ↓ và tất cả ↓ bằng ↑ thì ta nhận được một số đối diện với nó. (Ví dụ: ↑↑↓↓↓↓=0.)

Từ bài toán 3 suy ra mô hình Conver thỏa mãn aximma C4.

Có dobies không?

Hãy lấy số ↑↓. Hãy thử thêm nó vào chính nó. Có thể nói gì về tổng ↑↓+↑↓? Nó phải nhỏ hơn tổng ↑↓+↑ và lớn hơn số ↑↓. Vào ban đêm tổng bằng ↑↓+↑, chúng tôi không biết. Chúng tôi đã vi phạm nguyên tắc chính của mình: chuyển từ số sớm hơn sang số sau. Trước tiên, bạn sẽ phải (không có tiền!) Tính số tiền ↑↓+↑.

Số này nhỏ hơn số ↑+↑=↑↑ (vì ↑|={↑}) và lớn hơn số ↑+0=↑ (vì ↑|={0}), và nó là số sớm nhất như vậy. Số sớm nhất giữa ↑ và ↑↑ là số ↑↑↓; do đó ↑↑↓=↑↑↓.

Hãy quay lại tổng ↑↓+↑↓. Bây giờ chúng ta biết rằng nó được chứa giữa các số ↑↓ và ↑↑↓. Con số sớm nhất như vậy là ↑ (hãy chắc chắn về điều này!).

Vì vậy, trong K-arthmetic, số ↑↓ đóng vai trò là “một nửa”. Tương tự, người ta xác định rằng ↑↑↓ trong số K giống với số chung $\frac{3}{2}$ trong số thực.

Bài toán
4. Tìm các tổng ↑↓↓+↑↓↓; ↑↓↓+↑↓↓; ↑↓↓+↑↓↓.
5. Số nào thường tương ứng với số K:
a) ↑↓↓, ↑↓↓, ↑↑↓, ↑↑↑, ↑↑↑, ↑↑↑
b) ↓↑, ↓↑↑, ↓↑↑;
b) nói chung, các số có dạng
$\begin{align*} n \text{ «цр»} m \text{ «down»} \end{align*}$

*) Nếu lấy làm một; ↑ thực sự đóng vai trò là một đơn vị trong arfmetic của Conver, nhưng chúng tôi không thể chắc chắn về điều này vì chúng tôi không cung cấp định nghĩa về phép nhân ở đất nước này.

Chúng tôi sẽ gợi ý từ trong đến bài toán 5:
Số K ↑↓↓ giống với $\frac{1}{4}$ trong R, số K ↑↓↑ giống với $\frac{3}{4}$ , ↑↓↓ là $\frac{1}{8}$ , ↑↓↓ là $\frac{3}{8}$ , v.v.

Bài toán 4 và 5 cho phép chúng ta đoán những số thực nào thường tương ứng với tất cả các tập hữu hạn tổng quát ↑ và ↓. Đây là những số được gọi là số hữu tỉ kép (nghĩa là các số hữu tỉ có mẫu số là lũy thừa của hai). Hãy cố gắng chứng minh tuyên bố này.

Tiếp theo là gì?

Vì vậy, chúng tôi phát hiện ra rằng trong số K-số có tất cả các số nguyên thông thường (đây là các tập hợp hữu hạn ↑ hoặc ↓), cũng như tất cả các số hữu tỉ kép khác (chúng tương ứng với tất cả các tập hợp hữu hạn có thể có, trong đó có sự kết hợp ↑↓ hoặc ↑↑).

Nếu các số K được mô tả dưới dạng một “cây” như trong Hình 3, thì các số K nguyên xuất hiện “ở các cạnh” của cây này và các số hữu tỉ kép nằm bên trong nó.

Nhưng còn những con số còn lại thì sao? Rốt cuộc, chúng tôi đã hứa rằng trong số các số K có tất cả các số thực, nhưng hiện tại vẫn chưa rõ phải làm gì với các số hữu tỷ có mẫu số không phải là lũy thừa của hai. Vấn đề ở đây là chúng ta vẫn chưa nhìn thấy toàn bộ tập hợp số K: xét cho cùng, chúng ta giới hạn bản thân trong khoảng cách chỉ với các tập hợp hữu hạn “tsr” - “down”, phép cộng xác định cho chúng và học cách giải bài toán đơn giản (ở cấp độ 2-3 ở trường). Nhưng chúng ta cũng cần định nghĩa phép nhân, đồng thời làm rõ câu hỏi về sự tồn tại của phần tử nghịch đảo đối với mọi số K khác 0 (xem tiên đề Y4). Và hóa ra là đã xác định được

vẫn chưa thay đổi. Tuy nhiên, thực tế không phải vậy: ký hiệu mới ↑ theo sau tất cả các ký hiệu trước đó (Hình 4!) Do đó, ↑ và ↑ là các số K khác nhau.
Bài toán 9. Mục ↑↓ thể hiện điều gì?
Đáp số: $\omega$ ↑. Gợi ý: Tính tổng ↑↓↑.

Trong số những con số “dài hơn vô hạn” có một số con số khá phức tạp. Ví dụ, hãy thử đoán xem mục nào ở nửa bên phải của vòng tròn trong Hình 5 tương ứng với số K ở nửa bên trái.

Nếu bạn quan tâm đến đối số số K và muốn tìm hiểu thêm về nó, hãy viết thư cho chúng tôi.

Ứng dụng

I. Tiên đề phép cộng.
Đối với hai phần tử bất kỳ $a \in R$ , $b \in R$ , chúng tôi xác định tổng $a+b \in R$ và:
C1. $(a+b)+c=a+(b+c)$ (tính kết hợp).
C2. $a+b=b+a$ (giao hoán).
C3. Có một phần tử 0 sao cho với mọi $a \in R$ thì sự tương ứng $a+0=a$ (sự tồn tại của số 0) đúng.
C4. Với mọi phần tử $a \in R$ đều có một phần tử $(-a) \in R$ sao cho $a+(-a)=0$ (tồn tại một phần tử tùy ý).
II. Tiên đề của phép nhân.
Đối với hai phần tử bất kỳ $a \in R$ , $b \in R$ , chúng ta xác định tích $a \cdot b \in R$ , sao cho:
Y1. $(ab)c=a(bc)$ (tính kết hợp).
Y2. $ab=ba$ (giao hoán).
Y3. Tồn tại một phần tử 1 sao cho với mọi $a \in R$ ta có đẳng thức $a \cdot 1=a$ (sự tồn tại của sự thống nhất).

U4. Đối với mọi phần tử $a \in R$ khác 0, đều tồn tại một phần tử $a^{-1} \in R$ sao cho $a \cdot a^{-1}=1$ (tồn tại một phần tử nghịch đảo).

III. Một tiên đề thiết lập mối liên hệ giữa phép cộng và phép nhân.
S—U. $a(b+c)=ab+ac$ (tính phân phối).

Một tập hợp có các phép tính cộng và nhân được xác định trên đó và có các tính chất được liệt kê được các nhà toán học gọi là trường (xem «Kvant», 1977, số 5, trang 45).

IV. Tiên đề của trật tự.
P1. Đối với mỗi phần tử $a \in R$ , chúng ta có số lượng tương ứng bằng nhau $a>0$ , $a=0$ , $0>a$ .

P2. Nếu $a>0$ và $b>0$ thì $a+b>0$ và $ab>0$ .

Theo định nghĩa, người ta tin rằng $a>b$ khi và chỉ khi $a-b>0$ .

Trường trong đó các tiên đề P1 và P2 được thỏa mãn và quan hệ thứ tự > được xác định theo công thức $a>b \Rightarrow a-b>0$ được gọi là trường có thứ tự.

Nhóm tiên đề cuối cùng xác định các số hành động chỉ bao gồm một tiên đề có bản chất hoàn toàn khác.

V. Tiên đề Polota.
Một tập hợp số thực không trống được giới hạn ở trên.

Điều này có nghĩa là nếu đối với một tập hợp không trống $A \subset R$ có một phần tử lớn hơn (hoặc bằng) tất cả các phần tử của tập hợp này, thì trong số các phần tử đó có phần tử lớn nhất.

Trường có thứ tự chứa tiên đề Polotte được gọi là trường có thứ tự đầy đủ.

Người ta đã chứng minh rằng 12 tiên đề nêu trên xác định duy nhất tập hợp số thực. Vì vậy, số thực là trường có thứ tự đầy đủ duy nhất. Số K không thỏa mãn tiên đề cuối cùng.