Lực ma sát và chuyển động

38

Lực ma sát và chuyển động

Chuyển động của cơ thể thường được gây ra bởi lực ma sát. Nếu bề mặt của các vật rắn va chạm nhau, chuyển động tương đối của chúng bị cản trở bởi lực ma sát khô. Một đặc điểm đặc trưng của đào tạo khô là sự tồn tại của vùng trì trệ. Vật không thể di chuyển khỏi vị trí của nó cho đến khi giá trị tuyệt đối của ngoại lực vượt quá một giá trị nhất định. Cho đến thời điểm này, một lực ma sát tĩnh tác dụng giữa các bề mặt của các vật va chạm, lực này cân bằng ngoại lực và tăng theo nó (Hình 1). Giá trị lớn nhất của lực ma sát tĩnh được xác định theo công thức

$$|\vec{F}_{\text{trp max}}| = \mu |\vec{N}|,$$

trong đó $\mu$ là hệ số ma sát, tùy thuộc vào tính chất của các bề mặt tiếp xúc; $\vec{N}$ - lực áp suất bình thường.

Khi giá trị tuyệt đối của ngoại lực thay đổi giá trị

$$|\vec{F}_{\text{trp max}}| = \mu |\vec{N}|,$$

Có một chuyển động tương đối - xuyên thấu. Lực ma sát trượt thường phụ thuộc yếu vào tốc độ chuyển động tương đối, ở tốc độ thấp có thể coi bằng $|\vec{F}_{\text{trp max}}|$.

Sự chuyển động của vật thể trong chất lỏng và chất khí là do lực ma sát gây ra. Sự khác biệt chính giữa tập khô và tập khô là không có vùng trì trệ. Trong chất lỏng hoặc chất khí, lực ma sát tĩnh không phát sinh nên ngay cả một ngoại lực nhỏ cũng có thể khiến vật chuyển động. Lực ma sát ở tốc độ thấp tỷ lệ thuận với tốc độ, ở tốc độ cao nó tỷ lệ với bình phương tốc độ chuyển động.

Bài toán 1. Khi tàu dừng khẩn cấp, tàu đang di chuyển với tốc độ $|\vec{v}| = 70$ km/h thì quãng đường phanh là $s = 100$ m. Hệ số ma sát giữa bánh xe lửa và sườn xe lửa là bao nhiêu? Quãng đường phanh là bao nhiêu nếu phanh bị hỏng ở một trong các tùy chọn $n = 10$? Làm cho khối lượng của đầu máy bằng khối lượng của ô tô; Rất khó để chống lại sức cản của không khí.

Khi phanh, gia tốc $\vec{a}$ của tàu truyền lực ma sát $\vec{F}_{\text{trp}}$:

$$M \vec{a} = \vec{F}_{\text{trp}},$$

trong đó $M$ là khối lượng của toàn bộ chế phẩm. Lực ma sát $\vec{F}_{\text{trp}}$ biểu thị sự cân bằng của tất cả các lực ma sát tác dụng lên bố cục (Hình 2) và bằng $|\vec{F}_{\text{trp}}| = \mu |\vec{N}| = \mu Mg$ theo mô hình. Kể từ đây,

$$|\vec{a}| = \frac{|\vec{F}_{\text{trp}}|}{M} = \mu g$$ và $\mu = \frac{|\vec{a}|}{g}$.

Mặt khác, $|\vec{a}| = |\vec{v}|^2/2s$. Thay thế giá trị này vào biểu thức

39

với μ, chúng tôi nhận được

$$\mu = \frac{|\vec{v}|^2}{2gs} \approx 0,2.$$

Trường hợp phanh của một trong các phương án không tác dụng thì tổng lực ma sát tác dụng lên các trục và đầu máy bằng

$$|\vec{F}'_{\tau p}| = \mu nmg,$$

trong đó $m$ là khối lượng của một hình trụ. Khối lượng của toàn bộ chế phẩm là $M = (n+1)m$, vì vậy $m = M/(n+1)$. Gia tốc của tàu trong trường hợp này bằng

$$|\vec{a}'| = \frac{|\vec{F}'_{\tau p}|}{M} = \frac{n}{n+1} \mu g,$$

và quãng đường phanh là

$$s' = \frac{|\vec{v}|^2}{2|\vec{a}'|} = \frac{n+1}{n} \frac{|\vec{v}|^2}{2\mu g} = \left(1 + \frac{1}{n}\right) s = 110 \text{ m.}$$

---

Điều quan trọng cần nhớ là lực ma sát không phải lúc nào cũng làm chậm chuyển động. Trong nhiều trường hợp, việc di chuyển có thể thực hiện được chính là nhờ nó.

Bạn có thể chạy trên băng trơn trượt không? Rõ ràng là không; tốt nhất, bạn có thể đóng băng tại chỗ. Lực ma sát giữa đế và mặt đất có tác dụng chống trượt, tạo ra gia tốc cần thiết để tăng tốc.

Bài toán 2. Một người có thể leo lên một cầu trượt cao $h = 10$ m với hệ số ma sát bằng bao nhiêu với góc nghiêng $\alpha = 0,1$ trong thời gian $t = 10$ s mà không tăng tốc trước? Cho rằng sức người không hạn chế thời gian chuyển động và lực cản của không khí nhỏ.

Lực ma sát tác dụng lên người ngăn cản sự trượt và do đó được truyền lên một cầu trượt có độ cao $h = 10$ m từ độ dốc $\alpha = 0,1$ tấm đệm có hệ số ma sát là $\mu = 0,05$?

40

Thiết kế các lực tác dụng lên người theo hướng của mặt phẳng trượt (Hình 4), cho mô hình gia tốc mà chúng ta thu được

$$|\vec{a}| = g \sin \alpha - \mu g \cos \alpha.$$

Tốc độ đầu cuối của con người

$$\vec{v} = \sqrt{2|\vec{a}|l} = \sqrt{2|\vec{a}|h/\sin \alpha} = \sqrt{2gh(1 - \mu \text{ctg} \alpha)} \approx 10 \text{ m/c}.$$

Ở $\mu \geqslant tg \alpha$ một người có thể đứng trên một ngọn đồi và do đó có thể đi xuống đồi chậm như một góc cua.

Tất nhiên, mọi điều đã nói không chỉ áp dụng cho con người mà còn cho cả tự động hóa. Lực ma sát giữa lốp và mặt đường ngăn ngừa hiện tượng trượt bánh, giúp ô tô tăng tốc khi bánh xe nối với động cơ. Lực tương tự cũng có tác dụng chống trượt, làm chậm chuyển động của ô tô khi má phanh được ấn vào bánh xe.

---

Bây giờ chúng ta xét vai trò của lực ma sát khi chuyển động tròn.

Bài toán 4. Có một đồng xu ở rìa đĩa có bán kính $R$ (Hình 5). Đĩa quay lên để tốc độ bắt của nó tăng tuyến tính theo thời gian: $\omega = \varepsilon t$. Tại thời điểm nào đồng xu rời khỏi đĩa nếu hệ số ma sát giữa đĩa và đồng xu là $\mu$? Bức tường nào được tạo thành bởi lực ma sát hướng vào tâm của đĩa lúc này?

Chỉ cần đồng xu nằm trên đĩa thì tốc độ tuyến tính $v$ của nó bằng tốc độ tuyến tính của đĩa:

$$v = \omega R = \varepsilon Rt.$$

Như bạn có thể thấy, tốc độ này không phải là hằng số mà tăng tuyến tính theo thời gian. Do đó, đồng xu chuyển động với gia tốc, hình chiếu của nó theo hướng tiếp tuyến với đường tròn bằng $a_1 = \varepsilon R$. Ngoài ra, do đồng xu chuyển động theo đường tròn nên nó còn có gia tốc hướng tâm (tức là hình chiếu của gia tốc theo hướng hướng về tâm vòng tròn) $a_2 = v^2/R = \varepsilon^2 Rt^2$. Do đó, gia tốc của đồng xu có độ lớn bằng nhau (xem Hình 5)

$$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = \varepsilon R \sqrt{1 + \varepsilon^2 t^4}.$$

Lực duy nhất tác dụng lên đồng xu trong mặt phẳng của đĩa là lực $\vec{F}_{\tau p}$. Theo định luật thứ hai của Newton, nó tạo ra gia tốc $\vec{a}$:

$$m\vec{a} = \vec{F}_{\tau p} \text{ и } m|\vec{a}| = |\vec{F}_{\tau p}|.$$

Thay các biểu thức của $\vec{a}$ và giá trị lớn nhất của lực ma sát $|\vec{F}_{\tau p}| = \mu mg$ vào công thức cuối cùng, ta thu được rằng đồng xu có thể nằm trên mặt phẳng cho đến thời điểm đó

$$t = \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}} \left( \frac{\mu^2 g^2}{\varepsilon^2 R^2} - 1 \right)^{1/4}.$$

Tại $\varepsilon > \mu g/R$ đồng xu theo sau ngay lập tức, vì lực ma sát sẽ không thể cung cấp gia tốc cột cho đồng xu.

Hướng của lực ma sát trùng với hướng của gia tốc nên

$$tg \alpha = \frac{a_1}{a_2} = \frac{\varepsilon R}{\varepsilon^2 Rt^2} = \left( \frac{\mu^2 g^2}{\varepsilon^2 R^2} - 1 \right)^{1/4}.$$

Thật thuận tiện khi giải nhiều lực ma sát bài toán bằng cách áp dụng định luật bảo toàn năng lượng.

Bài toán 5. Một vật trượt với tốc độ $\vec{v}$ dọc theo bề mặt chính bay lên một bề mặt gồ ghề có hệ số ma sát $\mu$ (Hình 6). Ở độ dài tối thiểu nào của cơ thể $l$ nó sẽ giữ nguyên để một phần của nó vẫn nằm trên bề mặt chính?

Theo định luật bảo toàn năng lượng, động năng ban đầu của vật bằng công thực hiện chống lại lực ma sát:

$$\frac{mv^2}{2} = A_{\tau p}.$$

Khi thực hiện công cần tính đến lực ma sát thay đổi khi vật chuyển động từ bề mặt đầu sang bề mặt gồ ghề. Nếu có một vật có chiều dài $x$ trên một bề mặt gồ ghề,

$$|\vec{F}_{\tau p}| = \frac{\mu mg}{l} x,$$

nghĩa là lực ma sát tỷ lệ thuận với quãng đường đi được. Vì vậy, khi

41

di chuyển toàn bộ cơ thể làm việc

$$A_{\text{тр}} = \int_0^l |\vec{F}_{\text{тр}}| \, dx = \frac{\mu m g}{l} \int_0^l x \, dx = \frac{\mu m g l}{2}.$$

Thay biểu thức này vào phương trình biểu diễn định luật bảo toàn năng lượng, với chiều dài cơ thể tối thiểu chúng ta thu được

$$l = |\vec{v}|^2 / \mu g.$$

---

Để kết luận, chúng ta sẽ xem xét một hiện tượng khá phổ biến - kẹt: trong một số trường hợp không thể thắng được lực ma sát, ngay cả khi tác dụng một ngoại lực rất lớn.

Bài toán 6. Thanh được kéo ra khỏi một ống có đường kính lớn hơn đường kính của thanh một chút (Hình 7, a). Một hạt cát có dạng song song (quan hệ $a/b = 0,1$) rơi vào khe hở giữa thanh và ống. Hãy ước tính giá trị nào của hệ số ma sát giữa hạt cát với bề mặt của thanh và ống thì thanh không thể rút ra khỏi ống. Giả sử hệ số ma sát giữa ống và thanh là không đáng kể.

Khi thanh chuyển động, xuất hiện một lực ma sát $\vec{F}_{\text{тр}}$ giữa thanh và hạt cát. Lực này tác dụng lên một hạt cát sẽ tạo ra mômen làm nó quay quanh điểm $O$ (Hình 7, b). Nếu mômen này lớn hơn mômen phản lực $\vec{R}$ làm hạt cát quay theo chiều ngược lại thì sẽ không thể rút thanh ra được vì hạt cát sẽ bị ép vào thanh. Nói cách khác, nếu

$$|\vec{F}_{\text{тр}}| l \sin \alpha > |\vec{R}| l \cos \alpha,$$

thanh sẽ bị kẹt.