Simeon Denis Poisson

14

B. Geller, Y. Brook

Simeon
Denis Poisson

Năm 1981 là ngày kỷ niệm ngày sinh của Simeon Denis Poisson, một nhà khoa học xuất sắc người Pháp mà chúng ta có thể coi là một trong những người sáng tạo ra vật lý toán học hiện đại. Cái tên Poisson thỉnh thoảng xuất hiện trong các sách giáo khoa về phân tích toán học và vật lý điện tử, lý thuyết xác suất và âm học, trong các sách về cơ học lượng tử và lý thuyết đàn hồi. Trong lịch sử khoa học, Poisson hiện đứng ngang hàng với những người cùng thời với ông - Laplace, Lagrange, Fourier, Cauchy, Ampere, Gay-Lussac, Fresnel.

Poisson sinh ngày 21 tháng 6 năm 1781. Người ta biết rất ít về cha mẹ của Poisson. Chúng ta biết rằng cha của ông ban đầu là một người lính trong quân đội Hanoverian, nhưng sự nghiệp quân sự của ông không thành công. Vì bị quan lại cằn nhằn, quấy rối, ông đã trốn quân đội và định cư tại thị trấn nhỏ Pithiviers của Pháp. Vào thời điểm con trai ông chào đời, ông đã giữ chức vụ natarius khiêm tốn nhưng được kính trọng.

Cậu bé hoàn toàn bình thường, không có ích lợi gì và không thể hiện bất kỳ hy vọng đặc biệt nào trong thời thơ ấu. Cha mẹ anh thậm chí còn nghi ngờ về khả năng trí tuệ của anh. Tất nhiên, người cha rất muốn con trai mình trở thành một người bản xứ, nhưng hội đồng gia đình quyết định rằng anh ta không thể đảm đương được công việc này và tốt hơn hết anh ta nên làm bác sĩ. Lời giải hội đồng gia đình là một loại luật. Simeon được gửi đến thị trấn Fontainebleau để chú Lanfant đào tạo thành một bác sĩ phẫu thuật tử tế, nhưng theo cách hiểu của họ, việc sửa chữa đơn giản như một bác sĩ phẫu thuật. Tuy nhiên, để làm chủ được nghề này không hề dễ dàng. Ví dụ, để học cách lấy máu (một trong những phương pháp điều trị chính vào thời điểm đó), cần phải thực hành nhiều giờ trong việc xỏ và tước gân lá bắp cải. Poisson sau đó nói với bạn bè rằng ngay cả những tĩnh mạch lớn nhất vẫn tuột khỏi kim tiêm của anh vào giây phút cuối cùng. Gần một năm trôi qua trong những bài tập không thể chịu nổi, người chú hài lòng với cháu trai của mình, nhưng đợt tự tiêm chủng đầu tiên được giao cho ông đã kết thúc bằng cái chết của bệnh nhân. Sự việc này khiến chàng trai trẻ sốc nặng đến mức anh kiên quyết từ chối tiếp tục hành nghề y và trở về với cha mẹ ở Pithiviers.

Trong thời gian Simeon xa nhà, ở đó đã có một số thay đổi. Người cha trở thành “chính khách”, đứng đầu cộng đồng thành phố. Gia đình chuyển sang nhà khác đàng hoàng hơn

16

Poisson 25 tuổi đã thế chỗ. Năm 1812, Poisson được bầu làm viện sĩ Viện Hàn lâm Khoa học Paris; từ năm 1820 ông là thành viên của Hội đồng Đại học Paris. Ông được giao nhiệm vụ giám sát việc giảng dạy toán học ở tất cả các trường cao đẳng ở Pháp. Tại École Polytechnique, Poisson được bổ nhiệm làm giám khảo pháo binh và giám khảo ứng viên. Vị trí của giám khảo theo một nghĩa nào đó cao hơn vị trí giáo sư thông thường: anh ta làm bài kiểm tra cuối kỳ, qua đó kiểm tra cả điều kiện kiến ​​​​thức của sinh viên Trường Bách khoa cũng như cách thức và nội dung mà các giáo sư đã dạy họ.

Tất cả các chính phủ hỗn hợp của Pháp trong những năm hỗn loạn đó đều rất quan tâm đến thành tích khoa học của Poisson. Ông đã nhận được danh hiệu nam tước, được trao tặng Huân chương Bắc đẩu Bội tinh (giải thưởng cao nhất ở Pháp) và trở thành linh mục của Pháp. Poisson cũng nhận được sự công nhận ở nước ngoài: ông là thành viên của tất cả các hiệp hội và học viện khoa học ở Châu Âu và Châu Mỹ, bao gồm cả thành viên danh dự của Viện Hàn lâm Khoa học St. Petersburg (từ năm 1826).

Poisson, theo Arago, “có một lợi thế khác, thường bị bỏ qua ngay cả với những người không có thứ hạng cao trong khoa học: việc thực hiện chính xác nhiệm vụ của mình”. Chẳng hạn, người ta biết rằng kỳ thi cuối kỳ tại Ecole Polytechnique khiến Poisson phải mất bốn tuần mỗi ngày, trong thời gian đó anh phải thi chín giờ một ngày. Arago viết: “Chỉ một lần, vì lịch sự, Poisson từ chối kiểm tra con trai cả của mình, nhưng các học sinh của Trường Bách khoa biết được điều này và gửi cho anh ấy lời chào kèm theo thông báo rằng họ hoàn toàn tin tưởng vào sự công bằng của anh ấy và yêu cầu anh ấy không từ chối kỳ thi.” Poisson yêu thích công việc giảng dạy của mình, bằng chứng là câu nói nổi tiếng của ông: “Cuộc sống trở nên phong phú nhờ hai điều: bận rộn với toán học và dạy môn toán đó”. Các bài giảng của Poisson nổi bật bởi sự rõ ràng và sâu sắc.

Trong những năm cuối đời (Poisson qua đời ở Paris vào mùa xuân năm 1840), ông tự đặt cho mình bài toán viết một khóa học cơ bản về vật lý toán học. Hoàn thành việc này đến cùng bài toán Thật không may, Poisson không có thời gian.

Rất khó để nói về các công trình khoa học của Poisson. Phần Kinh thánh trong công trình của ông (và có tổng cộng khoảng 350 công trình trong số đó) liên quan đến vật lý toán học, vì vậy chúng ta sẽ không thể thảo luận chi tiết ngay cả những kết quả chính của những công trình này. Đồng thời, đơn giản là không thể không nhắc đến, ít nhất là rất ngắn gọn, những tác phẩm nổi tiếng và quan trọng nhất của Poisson. Chúng tôi sẽ làm điều này dưới đây và ngoài ra, hãy xem xét một số câu hỏi, ý nghĩa của chúng có thể được hiểu đầy đủ ở cấp trường.

Một trong những khái niệm chính trong điện tử là khái niệm về thế điện tử. Thế năng phụ thuộc vào độ lớn và vị trí của điện tích trong không gian. Poisson vào năm 1811 đã rút ra một phương trình vi phân liên quan đến thế năng với mật độ phân bố điện tích. Tất nhiên, bài toán đơn giản nhất trong điện tử có thể được giải mà không cần sử dụng các phương trình Poisson. Nhưng đối với bất kỳ phức bài toán nào, khi có nhiều điện tích và chúng được đặt theo cách tùy ý, có thể tính sự phụ thuộc của điện thế vào tọa độ chỉ bằng phương trình này. Phương trình Poisson, cùng với các kết quả của Euler, Gauss, Laplace, Green và Ostrogradsky, hiện là nền tảng của lý thuyết thế hiện đại - một nhánh quan trọng của toán vật lý.

Những kết luận quan trọng của Poisson về cơ học lý thuyết, cơ học liên tục, lý thuyết dẫn nhiệt và lý thuyết đàn hồi. Poisson nghiên cứu các vấn đề liên quan đến sự thay đổi động học ở trạng thái khí, điện khí quyển, sự thay đổi thành phần nằm ngang của từ trường trái đất, bản chất của lực căng bề mặt và sự truyền sóng trong lưu vực sâu. Poisson cũng có tù binh “pháo binh”. Ông đã nghiên cứu chi tiết bài toán về độ lệch của đạn so với mặt phẳng thẳng đứng được vẽ qua hướng của nòng súng. Chúng tôi sẽ xây dựng chúng trong

18

sau đó là tham số $\lambda = \frac{1}{365} \cdot 1982 \approx 5,43$ (số người trong nhóm trong trường hợp này là số lượng bài kiểm tra). Terrier, chính bạn có thể tính xác suất $p(k; \lambda)$ rằng $k$ mọi người sinh vào ngày mà chúng tôi quan tâm. Để làm điều này, chỉ cần thay thế $k=0, 1, 2, 3, \dots$ vào công thức Poisson là đủ.

bài toán thứ ba đề cập đến vật lý. Được biết, quá trình phân rã phóng xạ của radium bao gồm sự biến đổi hạt nhân của nguyên tử radium thành hạt nhân của nguyên tử radium với sự phát xạ của hạt alpha. Sự phân rã của từng hạt nhân Ra xảy ra độc lập với trạng thái của các hạt nhân khác và xác suất của sự phân rã đó trên một đơn vị thời gian là không đổi. Chúng ta hãy biểu thị xác suất này bằng chữ cái $p_0$. Nếu chỉ có $N$ Hạt nhân Ra trong một mẫu thì số hạt alpha trung bình phát ra trong một đơn vị thời gian là $\lambda = Np_0$. Để xác định $\lambda$, có vẻ như chúng ta cần biết hai số - $N$ và $p_0$. Tuy nhiên, trong thí nghiệm cổ điển của Rutherford, Chadwick và Alice, người thí nghiệm hoàn toàn không yêu cầu những con số này. Mục đích của thí nghiệm này là tìm kiếm một mẫu xác định xác suất của một ảnh phóng xạ phát ra một số lượng hạt alpha nhất định trong một đơn vị thời gian.

Các hạt alpha phát ra đi vào quầy. Các quan sát về cường độ trong khoảng thời gian $n=2608$, thời lượng của mỗi khoảng thời gian là 7,5 s. Tôi đặc biệt đếm số khoảng $n_k$, trong đó mỗi khoảng có chính xác $k$ hạt đi vào quầy. Tổng số hạt trong toàn bộ thời gian thí nghiệm bằng $\sum kn_k = 10094$. Nếu bây giờ chúng ta chia số tiền này cho $n$, chúng ta sẽ nhận được số lượng hạt alpha trung bình phát ra trong 7,5 giây. Chúng ta có thể coi đơn vị thời gian quy ước là 7,5 s thì số $\frac{\sum kn_k}{n} = 3,87$ chính là tham số $\lambda$ trong phân bố Poisson. Việc so sánh các số $p(k; \lambda) = p(k; 3,87)$ được tính bằng công thức Poisson với các số $\frac{n_k}{n}$ thu được từ thí nghiệm là điều tự nhiên. Chúng tôi cung cấp ở đây một bảng tương ứng về các phương pháp được hỗ trợ.

Công việc của tôi với chúng tôi. Biểu đồ trong Hình 1 dựa trên bảng này. Chấm đỏ tượng trưng cho số $np(k; 3,87)$, chấm xanh tượng trưng cho $n_k$. Đường cong được vẽ qua các chấm đỏ cho ý tưởng rõ ràng về các đặc điểm của phân bố Poisson. Một tính năng quan trọng của biểu đồ này là sự hiện diện của mức tối đa. Từ bảng và đồ thị có thể thấy rằng phân rã alpha mô tả rất tốt công thức Poisson.

Ngay từ thời thơ ấu, Poisson đã gắn liền với vật lý dao động. Được kết nối, nghe có vẻ đáng ngạc nhiên, theo nghĩa đen của từ này. Thực tế là có vẻ như bảo mẫu Denis của cậu bé Simeon không có gì đặc biệt nổi bật. Để giải quyết vấn đề với những căn phòng nhỏ, cô quấn em bé trong một chiếc khăn tròn và treo em lên một chiếc xà ngang lớn.

Hình 1.

19

Hình 2.

Hình 3.

Hình 4.

dầm thép. Vì vậy, đu đưa dưới dạng một loại mặt dây chuyền, cậu bé đã dành nhiều giờ đồng hồ. Khi trưởng thành, Poisson nói đùa rằng chính Chúa đã bảo ông nghiên cứu các lý thuyết về dao động.

Một trong những giải pháp anh đã giải quyết trong lĩnh vực này bài toán liên quan đến việc tính toán tần số rung của các tấm kim loại hoặc thủy tinh nhỏ được cố định cứng nhắc tại một điểm. Ernst Chladni người Đức đã tiếp tục các thí nghiệm với những chiếc đĩa như vậy và thông tin đầu tiên về chúng có từ năm 1787. Năm 1809, Chladni đã trình diễn những thí nghiệm này với các thành viên của Viện Quốc gia Pháp (Viện Hàn lâm Khoa học). Mọi người đều kinh ngạc nhìn họ; Laplace không hiểu ngay ý nghĩa của chúng.

Bản thân các thí nghiệm bao gồm những điều sau đây. Hình 2 cho thấy_

2*

20

và các biến dạng ngang. Trước tiên chúng ta hãy nhớ lại định luật Hooke, nhờ nó mà chúng ta có thể tính toán sự thay đổi độ dài của một mẫu dưới tác dụng của một lực kéo căng hoặc nén nó. Nếu chúng ta biểu thị bằng chữ cái ε sự thay đổi tương đối về chiều dài của thanh và bằng chữ cái σ ứng suất phát sinh trong nó, thì đối với các biến dạng nhỏ σ=Eε. Giá trị của E được gọi là mô hình Nam và được xác định bởi cấu trúc bên trong của vật liệu làm thanh.

Một đặc tính quan trọng khác của tính chất đàn hồi của vật liệu là tỷ lệ Poisson, liên quan đến sự thay đổi tương đối về kích thước ngang và dọc của biến dạng mẫu. Thật dễ dàng để xác minh rằng đồng thời với sự thay đổi kích thước dọc, kích thước ngang cũng thay đổi nếu chúng ta xem xét, ví dụ, sự biến dạng của dây cao su hoặc thậm chí một cục tẩy cứng. Câu hỏi đặt ra là: các biến dạng tương đối theo các hướng khác nhau sẽ khác nhau như thế nào nếu mỗi lực tác dụng lên mẫu? Câu hỏi này đã được Poisson điều tra. Xét một thanh hình trụ có chiều dài l và bán kính r. Chúng ta hãy tưởng tượng rằng một lực kéo tác dụng dọc theo trục của thanh. Trong trường hợp này, ứng suất σ_l và biến dạng tương đối ε_l=Δl/l>0 phát sinh trong đó. Kích thước ngang của thanh cũng thay đổi - bán kính hình trụ giảm Δr. Biến dạng tương đối hướng tâm ε_r=Δr/r có dấu ngược lại với ε_l. Tỷ lệ Poisson là k=|ε_r/ε_l|.

Chúng ta hãy phân tích các giới hạn trong đó k thay đổi. Đầu tiên, giả sử rằng thể tích của vật bị biến dạng không thay đổi và viết biểu thức cho điều này:

π(r+Δr)^2(l+Δl)=πr^2l.

Mở ngoặc và bỏ qua tích các đại lượng nhỏ Δr và Δl, ta thu được

rΔl+2lΔr=0,

hay nói cách khác,

ε_l=Δl/l=-2Δr/r=-2ε_r.

Tỷ lệ Poisson trong trường hợp này là 1/2. Trên thực tế, thể tích của một vật tăng khi bị kéo dãn, và chúng ta phải viết bất đẳng thức

(r+Δr)^2(l+Δl)>r^2l.

Từ bất đẳng thức này suy ra k<1/2. (Bất đẳng thức tương tự cũng đúng đối với các vật không phải hình trụ.) Mặt khác, theo định nghĩa của nó, tỉ số Poisson là một số không âm. Vì thế,

0<k≤1/2.

Một cây bần có tỷ số Poisson gần bằng 0: khi một miếng bần bị kéo căng (hoặc lăn ra), kích thước ngang thay đổi rất ít (tất nhiên trừ khi biến dạng quá lớn!). Đó là lý do tại sao nút chai hình trụ làm bằng gỗ balsa được sử dụng để bịt kín chai. Mặt khác, phích cắm hình trụ được sử dụng cho cùng loại cellulite - Tỷ lệ Poisson cho cao su gần bằng 1/2, có nghĩa là kích thước ngang thay đổi khá đáng kể khi tăng theo chiều dọc. Nếu bạn đẩy nút cao su vào cổ chai, nó có thể bị kẹt. Để khắc phục khó khăn này, nút cao su thường được chế tạo thành hình dạng cuối cùng. Cuối cùng, điều hữu ích cần lưu ý là đối với các vật liệu thường được sử dụng nhất trong công nghệ - kim loại, đá, bê tông - các giá trị tỷ lệ Poisson thường nằm trong khoảng từ 1/4 đến 1/3.