Cẩm nang toán dành cho thí sinh đại học

58

Cẩm nang toán dành cho thí sinh đại học

Đây là tên cuốn sách được nhà xuất bản Nauka xuất bản số lượng lớn trong năm nay.
Khi chuẩn bị cho kỳ thi tuyển sinh, ứng viên sẽ gặp khó khăn bài toán: anh ta cần lặp lại 103 điểm của chương trình dành cho ứng viên đại học và giải được số bài toán thậm chí còn lớn hơn. Người ta có thể xem lại tất cả sách giáo khoa phổ thông từ lớp 5 đến lớp 10 và nhớ lời giải bài toán có trong đó. Tuy nhiên, theo ý kiến ​​​​của chúng tôi, con đường này không phải là con đường tốt nhất dựa trên nhiều nguyên tắc (bao gồm cả những nguyên tắc thuần túy về mặt tâm lý). Một cách hiệu quả và tự nhiên hơn là sử dụng cách thứ hai này khi chuẩn bị hệ số.
Cuốn sách bao gồm 17 chương. Mỗi chương chứa tài liệu lý thuyết và bài toán. Việc trình bày lý thuyết đi kèm với phân tích kiểm soát và bài toán khác nhau lời giải bài toán tôi độc lập. Nếu cách này không thành công, bạn có thể nghiên cứu cách rút gọn trong sách lời giải, sau đó trong phần phân tích bài toán của phần II, hãy kiểm tra khả năng giải quyết bài toán thuộc loại này của bạn. Cuốn sách chứa hơn 2000 bài tập và bài toán. Tất nhiên, điều này không có nghĩa là để chuẩn bị thành công cho các kỳ thi thì tất cả đều phải tính toán.

Ngoài những khó khăn tiêu chuẩn bài toán khác nhau, cuốn sách còn chia nhỏ những khó khăn trong đó lời giải phải thể hiện các yếu tố kỹ năng logic. Hãy đưa ra hai ví dụ.

Bài toán 1. Cho hai điểm A (0; 9), B (3; 6) và hệ bất đẳng thức
$$\begin{cases} 2x - y + a \leq 0, \\ 6x + 3y + 5a \geq 0. \end{cases}$$

Tại giá trị nào của tham số a thì nghiệm của hệ sẽ có tọa độ
a) ít nhất một điểm của đoạn AB?
b) Làm thế nào để đi đến điểm của đoạn AB?
Bài toán 2. Học sinh lớp 10 “B” nổi bật ở chỗ chúng cao hơn học sinh lớp 10 “A”. Đối với câu hỏi của giáo viên dạy toán, “Việc bạn cao hơn thực sự có nghĩa là gì?” Học sinh “B” thứ mười phải làm như sau:

1. Bất kỳ ai trong chúng ta đều cao hơn bất kỳ ai trong số họ.
2. Người cao nhất trong chúng ta cao hơn người cao nhất trong số họ.
3. Với bất kỳ học sinh nào trong lớp chúng tôi, có một học sinh lớp A có chiều cao thấp hơn.
4. Mỗi học sinh lớp “A” có điểm thấp hơn ít nhất một học sinh lớp chúng tôi.
5. Chiều cao trung bình của học sinh lớp chúng tôi lớn hơn chiều cao trung bình của học sinh lớp “A”.
   Có cái nào tương đương trong số đáp số này không? Nếu vậy, cái nào?

Được biết, việc học tập càng thành công thì học sinh càng thể hiện sự quan tâm đến môn học đang học. Hai bài toán tiếp theo cho thấy rằng các tác giả đã tìm cách đưa vào sách những tài liệu gây hứng thú cho học sinh.

Bài toán 3. “Ở nhà, Meers gọi cho Quai Orfevre.

• Meers nói. Có tin gì không?
• Vâng, sếp. Đã nhận được tin nhắn từ giảng viên. Torrance xác định rằng nếu Francois say rượu thì Etten là kẻ giết người hoặc Francois đang nói dối. Jussier tin rằng Etten là kẻ giết người, hoặc Francois không say rượu và là kẻ giết người.

CƠN BÃO XUẤT HIỆN SAU NỬA ĐÊM. Thanh tra Luke yêu cầu tôi nói với bạn rằng nếu vụ giết người xảy ra sau khi nhận được thì Etten là kẻ giết người hoặc Francois đang nói dối. Sau đó họ gọi…

• Tất cả. Cảm ơn. Thế này là đủ rồi.” Ủy viên đã bỏ cuộc. Anh biết rằng Francois lo lắng không bao giờ nói dối. Anh ấy biết tất cả mọi thứ."
  Ủy viên Meers đã kết luận gì?
  Bài toán 4. Người ta biết rằng một con cá sấu có không quá 68 chiếc răng. Chứng minh rằng trong 16^{17} con cá sấu không thể có hai con có bộ răng giống nhau.
  Nhưng, tất nhiên, có rất ít bài toán như vậy trong cuốn sách: Hầu hết bài toán là bài toán chung, nhiều trong số đó đã được đưa ra trong các kỳ thi tuyển sinh đại học. Ở cuối cuốn sách, các tác giả đã đưa ra một số lựa chọn cho kỳ thi tuyển sinh được tổ chức tại các trường đại học ở Moscow, Leningrad, Novosibirsk, Kyiv và các thành phố khác.
  Ngoài những nội dung chính, cuốn sách còn đề cập đến các chủ đề không có trong chương trình giảng dạy ở trường như “Tổ hợp” và “Số phức”. Nghiên cứu của họ sẽ góp phần vào việc nghiên cứu thành công hơn nữa tại các trường đại học.
  Cuốn sách phản ánh kinh nghiệm của Trường Vật lý và Công nghệ Tương ứng (3FTS) được nhiều học sinh và giáo viên ở nước ta biết đến. Nhiệm vụ của ngôi trường này đã giúp nhiều thế hệ học sinh bước vào thử thách dẫn đầu. Tài liệu 3FTSH đã được sử dụng từ lâu trong việc dạy học cho học sinh từ lớp 8 đến lớp 10.
  Không chỉ học sinh tốt nghiệp ra trường, mà cả giáo viên, giáo viên các trường cao đẳng kỹ thuật, dạy nghề và các giáo sư, người đứng đầu các nhóm toán học, sinh viên sư phạm đều yêu cầu ngày tháng trong sách/tài liệu thuận tiện để có trong tay.
  “Cẩm nang Toán học,” được viết bởi A. D. Kutasov, T. S. Pigolkino, V. I. Chekhlov và T. Kh. Ykovleva, do Giáo sư G. N. Ykovlev biên tập, chắc chắn sẽ trở thành một cuốn sách thực sự dành cho tất cả những ai nghiên cứu hoặc dạy toán ở trường.

V. Gutenacher

59

Sau bao lâu thì cây gậy rơi xuống?

1. Trong khoảng thời gian được xem xét
   $$\frac{\varepsilon}{4} < \lg \frac{\varepsilon}{4} < \frac{\varepsilon}{2}.$$
   Pozny
   $$Q \left[ \ln \lg \frac{\pi}{8} - \ln \frac{\varepsilon}{2} \right] \leq T \leq$$
   $$\leq Q \left[ \ln \lg \frac{\pi}{8} - \ln \frac{\varepsilon}{4} \right],$$
   từ đó các ước tính cần thiết tuân theo.
2. thời gian mùa thu
   $$T = \sqrt{\frac{l}{2g}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\frac{v^2}{2gl}} + 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}.$$
   Khoảng thời gian này là phù hợp, hàm subbiterral tối đa đạt được ở mức $\alpha = 0$. Đối với $v \to 0$ khoảng này có xu hướng tiến tới vô cùng, như có thể thấy từ các phép biến đổi sau, trong đó $\frac{v^2}{2gl}$ biểu thị thông qua $\varepsilon$:
   $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\varepsilon + 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}} \geq \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\varepsilon + \sqrt{2} \sin \frac{\alpha}{2}}} \geq$$
   $$\geq \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\varepsilon + \frac{\sqrt{2}}{2} \alpha}} = \sqrt{2} \ln \left( \frac{\sqrt{2}}{2} \alpha + \sqrt{\varepsilon} \right) \Bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} =$$
   $$= \sqrt{2} \left[ \ln \left( \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} + \sqrt{\varepsilon} \right) - \ln \sqrt{\varepsilon} \right] =$$
   $$= \sqrt{2} \ln \frac{\pi}{2 \sqrt{2}} - \frac{\sqrt{2}}{2} \ln \varepsilon.$$
   Trong quá trình thực hiện, chúng tôi đã thu được ước tính logarit của lực đối với thời gian rơi xuống. Giới hạn trên tương tự có thể được lấy từ các thông báo sau:
   $$\frac{1}{\sqrt{\varepsilon + 2 \sin^2 \frac{\alpha}{2}}} \leq \min \left\{ \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}; \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}} \right\}.$$
   $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \min \left\{ \frac{1}{\sqrt{\varepsilon}}; \frac{1}{\sqrt{2 \alpha}} \right\} d\alpha =$$
   $$= \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\varepsilon}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\varepsilon}} =$$
   $$= \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \ln \frac{\pi}{2} + \ln \sqrt{2}) - \frac{1}{2} \ln \varepsilon.$$
3. thời gian mùa thu
   $$T = \sqrt{\frac{l}{2g}} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\cos \beta - \cos \alpha}}.$$
   Khoảng này không phù hợp vì hàm dưới bit có xu hướng tiến tới vô cùng là $\alpha \rightarrow \beta$. Nhưng nó là hữu hạn, như có thể thấy từ các ước tính sau:
   $$\cos \beta - \cos \alpha = 2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2} \geq$$
   $$\geq 2 \cdot \frac{\alpha + \beta}{4} \cdot \frac{\alpha - \beta}{4} = \frac{1}{8} (\alpha^2 - \beta^2).$$
   $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\cos \beta - \cos \alpha}} \leq \sqrt{8} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\alpha^2 - \beta^2}}.$$
   Theo công thức đạo hàm hàm phức
   $$[\ln(x + \sqrt{x^2 - \beta^2})]' = \frac{1}{\sqrt{x^2 - \beta^2}}.$$
   Pozny
   $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\cos \beta - \cos \alpha}} = \ln \left( \frac{\pi}{2} + \sqrt{\frac{\pi^2}{4} - \beta^2} \right) - \ln \beta \leq$$
   $$\leq \ln \pi - \ln \beta.$$
   Vì vậy, chúng tôi đã nhận được ước tính đã hứa từ phía trên. Ước tính lực tương tự có thể thu được như sau:
   $$\sqrt{\cos \beta - \cos \alpha} = \sqrt{2 \sin \frac{\alpha + \beta}{2} \sin \frac{\alpha - \beta}{2}} \leq$$
   $$\leq \sqrt{\frac{1}{2}} (\alpha + \beta) (\alpha - \beta) \leq \frac{\alpha}{\sqrt{2}} \leq \alpha.$$
   Pozny
   $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\cos \beta - \cos \alpha}} \geq \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\alpha}{\sqrt{\cos \beta - \cos \alpha}} = \ln \frac{\pi}{2} - \ln \beta.$$
   Phương pháp vũ phu
4. Khách du lịch phải lấy phòng, thức ăn và chăn.
5. Lộ trình nhân viên bán hàng du lịch: $Yx - \exists x - Ax - Ox - Их - Yx$
6. 26 người.
7. Chỉ có một số không.
8. 3 bánh mì tròn, 6 bánh bao và 6 bánh phồng.
9. 24 và 11, 48 và 43, 36 và 29, 228 và 227.
10. 8 kỳ thi.
    Dòng điện xoay chiều
11. $I = U \sqrt{\frac{1 + (\omega CR_2)^2}{(R_1 + R_2 - \omega^2 LCR_2)^2 + (\omega CR_1 R_2 + \omega L)^2}}$

Gợi ý. Sử dụng vectơ dia-

60

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

gam dòng điện và điện áp như trong Hình 1.

2. $R = \sqrt{L/C}$ Gợi ý. Xem Hình 2, hiển thị các vectơ sơ đồ dòng điện và điện áp cho phần thứ nhất và thứ hai của mạch, cũng như cho toàn bộ mạch. Ở bất kỳ tần số nào, dòng điện trong mạch sẽ cùng pha với điện áp đặt vào nếu các góc $\varphi_1$ và $\varphi_2$ bằng nhau.

3. $P_{\max} = \frac{\mathcal{E} U}{\omega L}$. Gợi ý. Hình 3 thể hiện sơ đồ vector của dòng điện và điện áp của đường dây điện. Ở đây có $\overrightarrow{OA} = \overrightarrow{\mathcal{E}} - \exists D C$ máy phát điện; $\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{U}$ — điện áp trên hệ thống tiếp nhận; $\delta$ - chuyển pha giữa chúng; $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{U}_L = \overrightarrow{\mathcal{E}} - \overrightarrow{U}$ - điện áp trên đường dây truyền tải; $\overrightarrow{I}_L$ là dòng điện trong đường dây, cách nhau từ $\overrightarrow{U}_L$ đến $\pi/2$. Thật thuận tiện khi chuyển vectơ $\overrightarrow{I}_L$ đến điểm $O$ và xét tam giác AOB. Một mặt, diện tích của nó là $S = \frac{1}{2} U \sin \delta$, và mặt khác, $S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB}| \times |OK| = \frac{1}{2} U_L U \cos \varphi$. So sánh hai biểu thức này, chúng ta thấy rằng công suất tác dụng bằng

$$P = U I_L \cos \varphi = \frac{U U_L}{\omega L} \cos \varphi,$$

mức tối đa sẽ là nếu $\delta = \pi/2$ và $\sin \delta = 1$.

4. $U_1 = U \frac{n_1(n_1 R_2 + n_2 R_1)}{n_1^2 R_2 + n_2^2 R_1}$;

$U_2 = U \frac{n_2(n_1 R_2 + n_2 R_1)}{n_1^2 R_2 + n_2^2 R_1}$;

$I_1 = \frac{U n_2(n_2 - n_1)}{n_1^2 R_2 + n_2^2 R_1}$;

$I_2 = \frac{U n_1(n_1 - n_2)}{n_1^2 R_2 + n_2^2 R_1}$.

Gợi ý. Đối với sơ đồ này, các đẳng thức sau cũng có giá trị:

$$I_1 R_1 = U - U_1,$$

$$I_2 R_2 = U - U_2,$$

$$\frac{U_1}{U_2} = \frac{n_1}{n_2},$$

$$I_1 n_1 + I_2 n_2 = 0.$$

Viện Kỹ thuật Điện tử Moscow

Toán học

Tùy chọn 1

1. $\{(c; c)\} (c \in \mathbb{R})$ cho $a = 0$, $\left\{ \left(\frac{3}{2} a; \frac{9}{2} a \right), \left(\frac{3}{4} a; -\frac{9}{4} a \right) \right\}$ cho $a \neq 0$. Gợi ý. Với $a \neq 0$ trong bất kỳ lời giải $x \neq a$ nào; biểu thị $y$ từ phương trình đầu tiên.

2. $\left\{ \frac{13}{6}, -\frac{13}{20} \right\}$.

3. $x = \frac{\pi}{44} + \frac{\pi}{22} k$ ($k \in \mathbb{Z}$). Lời giải. Phương trình này tương đương với mỗi phương trình

$$\frac{3 \cos 5x - 2 \cdot 2 \cos 5x \cdot \cos x}{3 \sin 5x - 2 \cdot 2 \sin 5x \cdot \cos x} = \mathrm{tg} 17x,$$

$$\frac{\cos 5x (3 - 4 \cos x)}{\sin 5x (3 - 4 \cos x)} = \mathrm{tg} 17x,$$

(1)

phương trình

$$\frac{\cos 5x}{\sin 5x} = \mathrm{tg} 17x$$

(2)

tương đương với phương trình

$$\frac{\cos 5x}{\sin 5x} = \frac{\sin 17x}{\cos 17x}$$

$$\frac{\cos 22x}{\sin 5x \cdot \cos 17x} = 0$$

và do đó, hệ thống

$$\left\{ \begin{array}{l} \cos 22x = 0 \\ \sin 5x \neq 0 \\ \cos 17x \neq 0. \end{array} \right.$$

Nếu $\cos 22x = 0$ thì $\sin 5x \neq 0$. Nếu không thì đối với một số $k, l \in \mathbb{Z} \ 2(22l - k) = 5$, điều đó là không thể. Tương tự, người ta chứng minh rằng nếu $\cos 22x = 0$ thì $\cos 17x \neq 0$. Điều này có nghĩa là hệ (3) tương đương với phương trình $\cos 22x = 0$.

Các phương trình (1) và (2) cũng tương đương nhau, vì nếu $3 - 4 \cos x = 0$ thì $\cos 22x \neq 0$. Giả sử điều ngược lại: $\cos 22x = 0$. Từ $3 - 4 \cos x = 0$ nó theo sau $x = \pm a + 2\pi k$, trong đó $\alpha = \arccos \frac{3}{4}$. Từ $\frac{\sqrt{2}}{2} < \frac{3}{4} < \frac{\sqrt{3}}{2}$ theo sau $\frac{\pi}{6} < \alpha < \frac{\pi}{4}$, $\frac{11}{3} \pi < 22\alpha < \frac{11}{2} \pi$. Từ $\cos 22x = 0$ nó theo sau

61

cos 22α=0. Điều này có nghĩa là 22α=9/2 π, α=9/44 π.
Khi đó cos 9/22 π=1/8, cos 9/11 π=-31/32, cos 2/11 π=π/6, cos 2/11 π<√3/2. Sự mâu thuẫn.

4. |A₁K|=|A₁L|=√5/2 a, |KL|=√6/2 a; 7:41.
   Gợi ý. Tiếp tục (A₁L) cho đến khi nó cắt (AD). Thể tích phần bị cắt của hình lập phương bằng hiệu thể tích của hai phần đó.
5. Gợi ý. Vì tổng x2+y2 tăng khi y tăng, nên nó nhận giá trị lớn nhất trên một tập hợp nhất định tại điểm nằm trên parabol “trên”.

Tùy chọn 2

1. ∅ với a<0, {2} với a=0, {a+2-2√a, a+2+2√a} với 0<a<1, {a+2+2√a} với a ≥1. Gợi ý. Phương trình này tương đương với hệ mạnh
   {(x-a)²=4(x-1)
   x-a>0.

2. x=π/2+2πk (k∈Z). Lời giải. phương trình
   2 cos²x+4 sin(x+1)=4 sin x·cos 1−sin 2x
   (1)
   được bắt nguồn từ phương trình này. Phương trình (1) tương đương với các phương trình
   2 cos²x+4 sin x·cos 1+4 cos x·sin 1=
   =4 sin x·cos 1−2 sin x·cos x
   cos x(sin x+cos x+2 sin 1)=0.
   (2)
   Vì sin x+cos x=√2 sin(x+π/4) ≥
   ≥−√2 và sin 1>sin π/4>√2/2, phương trình (2)
   tương đương với phương trình cos x=0. Điều này có nghĩa là phương trình này tương đương với hệ
   {√2 cos²x+4 sin(x+1)=
   =√4 sin x·cos 1−sin 2x
   cos x=0
   {√4 sin x·cos 1=√4 sin x·cos 1
   cos x=0
   {cos x=0.
   sin x≥0.

3. max f(x)=f(2/3)=11/3√e², min f(x)=
   f(1/3)=5√e. Gợi ý. Bất bình đẳng
   11/3√e2>7 tương đương với phương trình e2>
   >(21/11)³; e>2,7.

4. 3√3/4 a². Gợi ý. Đưa ra hệ tọa độ tự nhiên và lập phương trình mặt phẳng đi qua ba trung điểm; vì mặt phẳng này không đi qua gốc tọa độ nên phương trình của nó có dạng ax+by+cz+1=0.

5. {2,3}. Lời giải. Với x=z=π/2, y=0, vế trái của bất đẳng thức bằng 2; nên a=1 không phải là nghiệm. Bây giờ chúng ta xét các vectơ
   vec{a}=(2 sin x·cos y; cos x·sin y),
   vec{b}=(\sin z; −cos z).

Một mặt, vế trái của bất đẳng thức bằng vec{a}·vec{b}. Ở phía bên kia,
|vec|²=4 sin²x·cos²y+cos²x·sin²y≤
≤4 sin²x+cos²x=3 sin²x+1≤4
|vec|≤2
|vec|=1
vec{a}·vec{b}≤2.

Vậy số 2 và 3 là nghiệm. Tuy nhiên, a=3 có thể được xử lý đơn giản hơn nữa:
2 sin x·cos y·sin z−cos x·sin y·cos z≤
≤|2 sin x·cos y·sin z|+
|cos x·sin y·cos z|≤2+1=3.

Vật lý

1. v=√(mg-2Fc)/2(M+m)≈0,8 m/c.
2. a≥arctg (3/μ)=arctg 10≈84°.
3. d=m/2M+m V/S=V/2S=5 cm.
4. ∆t=gτ/0,3c √(ρgR/2)≈0,25°C (ở đây c=4,2 kJ/(kg K) là nhiệt dung riêng và ρ=10³ kg/m³ là mật độ của nước).
5. q=-Q/3; đặt chất ô nhiễm này vào trung tâm của hình tam giác; sự cân bằng không ổn định.
6. W=1+2ε/ε Q₀²/2C₀=1,25·10⁻² J;
   U=1+2ε/ε Q₀/C₀=250 B.
7. P₁′=4P₁(P₂+P₃)²/(P₁+P₂+P₃)²=72 Trọng lượng;
   P₂′=4P₁²P₂/(P₁+P₂+P₃)²=16 ​​​​Wt;
   P₃′=4P₁²P₃/(P₁+P₂+P₃)²=32 Trọng lượng.

Hình 4

8. Eₘ=2πfnSB≈62,8 B.
9. x=F/2. Gợi ý. Xem hình. 4, trong đó S₁ là hình ảnh nguồn thực và S₂ là hình ảnh tối thiểu.

63

$$= -\frac{5}{13}, \quad \text{ctg} \alpha = \frac{5}{12}. \quad 4. \sin 2. \quad 5. 144 \sqrt{3} \text{ gm}^2.$$
6. a) $\{\frac{1}{3}\}; \quad 6) x = -\frac{\pi}{4} + \pi k (k \in \mathbb{Z}).$
7. $] \frac{3}{2}; 2 [. 8. -\frac{1}{9}.$

Vật lý

1. a) $t = \sqrt{2h/g} \approx 2,3$ giây; 6) $s = v_0 \sqrt{2h/g} \approx 34,5$ m; c) $v = \sqrt{v_0^2 + 2gh} \approx 26,7$ m/s, trong khi vectơ $\vec{v}$ tạo một góc $\alpha = \arccos (v_0/v) \approx 56^\circ$ với đường chân trời.
2. $\omega = \sqrt{2ah/R} = 2 \text{ c}^{-1}$.
3. $T_2 = T_1 b/a = 930 \text{ K}$.
4. $m = \frac{Ns}{\eta qv} \approx 0,08$ kg (ở đây $\eta = 0,3$).
5. $v = \sqrt{\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{e^2}{mr}} \approx 2,25 \cdot 10^6 \text{ m/c}$ (ở đây $\varepsilon_0 = 8,85 \cdot 10^{-12} \text{ F/m}$ là hằng số điện).
6. $R_B = r \frac{U}{\Phi - U} = 2950 \text{ Om}$.
7. Dây dẫn kết nối song song tiêu thụ điện năng gấp 4 lần so với kết nối nối tiếp.
8. $n = \frac{U^2 d_2^2 \eta t}{4Q Dc Vd_1(t_K - t)} \approx 13$ (ở đây $D = 10^3 \text{ kr/m}^3$ là mật độ của nước, $t_K = 100^\circ \text{ C}$ là nhiệt độ sôi của nước).
9. $W = mU/k \approx 1,85 \cdot 10^3 \text{ Дж}$.
10. $d = a \frac{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha}}{\sqrt{n^2 - \sin^2 \alpha} - \cos \alpha} \sin \alpha \approx 3,9 \text{ см}$.

Hai câu đố
(xem «Kvant» số 1)

1. Từ phép trừ đầu tiên, chúng ta tìm thấy $S = 1$ và $A = 0$. Do đó, chữ số đầu tiên và thứ năm của thương số là số chín (xem thêm phép trừ thứ năm). Biểu thị các chữ số còn lại của thương bằng $a, b, c, d, e$ và $g$, ta thu được phương trình
   $$10 \text{ PIENTI}: 10T = 9abc9, \text{ deg.}$$
   hoặc
   $$10 \text{ PIENTI}1000: 10T = 9abc9\text{ deg.}$$
   Ở đây số chia và thương không phải là số 0 mà là tích của chúng
   $$10T \cdot 9abc9\text{ deg} = 10 \text{ PIENTI}1000$$
   chia hết cho $1000 = 2^3 \cdot 5^3$. Điều này có nghĩa là một trong những số này là số lẻ nhưng chia hết cho 125,
   $$3074258916.$$
   Hình 5.

Lượng tử dành cho học sinh nhỏ tuổi
(xem «Kvant» số 1)

1. $A = 5, B = 3, B = 4, \Gamma = 6, \Delta = 2, E = 1$. Vị trí của xương được thể hiện trong Hình 6.
2. Vào năm 1968.
3. Điều này sẽ xảy ra với bất kỳ năm không nhuận nào, kể từ $365 = 7 \cdot 52 + 1$.
4. Nếu bạn nghĩ rằng bạn cần sắp xếp lại ít nhất một kim đan, thì bạn đã nhầm: bạn không cần phải sắp xếp lại các que diêm! Bạn chỉ cần nhìn sự bình đẳng này “từ phía bên kia”.
5. Trong khoảng thời gian từ đèn vàng “thứ nhất” đến đèn vàng “thứ mười tám”, đèn đỏ bật 9 lần và đèn xanh 8 lần. Nếu đèn vàng bật $x$s thì $18x + 9 \cdot 4 + 8 \cdot 6x = 1020$, đang mở
   $$R(\alpha) = F(\alpha)$$