Về lợi ích của những con số “thực sự tinh vi”

10

Về lợi ích của các con số
“pontine tinh vi”
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
S. G. GINDIKIN

Lịch sử hàng thế kỷ về sự phát triển hiểu biết của con người về các con số là một trong những khía cạnh nổi bật nhất trong quá trình phát triển văn hóa nhân loại. Trong nỗ lực mở rộng thế giới của những con số, nhiều động cơ khác nhau đan xen vào nhau một cách khó tách rời.

Phân số xuất hiện từ rất sớm - đã có ở người Ai Cập và người Babylon - rõ ràng có liên quan đến sự chuyển đổi sang phân số đo lường nhỏ hơn. Mối liên hệ của chúng với phép chia các số tự nhiên được hiểu một cách mơ hồ và thứ yếu hơn.

Người Hy Lạp nhận ra các con số thông qua quá trình đo lường hình học: đây là cách họ nhận ra sự tồn tại của các số vô tỷ (do không nhận ra đường chéo của hình vuông và các cạnh của nó) và xây dựng nên lý thuyết về “độ lớn” (như chúng ta nói ngày nay, lý thuyết về số thực dương) - một trong những đỉnh cao của hình học Hy Lạp. Một nét đặc trưng: chỉ các số tự nhiên mới được gọi là “số” và phần mở rộng của chúng được gọi là “cường độ”. Khía cạnh tính toán bị xếp xuống phía dưới và thường không được coi là đáng được các nhà khoa học chú ý. Plato, người nhiệt tình đảm bảo rằng bài toán thực tế không xúc phạm tinh thần thực sự của hình học, đã cười nhạo những người tính toán, “những người đổi một đơn vị lấy một đồng xu nhỏ” (đang tham gia vào phép chia).

Số âm xuất hiện vào thế kỷ thứ 5-6 trong toán học Ấn Độ và Ả Rập, nơi mà khía cạnh tính toán của vấn đề trở nên nổi bật. Và mặc dù khả năng giải thích các số âm, chẳng hạn như một khoản nợ trong các vấn đề về nội dung thương mại, đã được nhận ra từ khá sớm, nhưng thực tế cho đến nay vẫn chưa được thực hiện.

11

Cô ấy nói rằng chúng rất tiện lợi khi sử dụng trong cốc, điều này khiến cho việc giải thích như vậy trở nên khả thi. Để đơn giản hóa rất nhiều, chúng ta có thể nói rằng các máy tính coi số âm là số “ảo”, số không thực, thuận tiện sử dụng trong các phép tính trung gian do phép trừ khi không khả thi trong vùng số dương. Đồng thời, điều quan trọng là phải đảm bảo rằng chúng không vi phạm “quy tắc vệ sinh”: bạn có thể tin tưởng vào kết quả tích cực cuối cùng đáp số. Không có cuộc thảo luận nào về sự bằng nhau của số âm với nghiệm dương: trong trận chung kết đáp số, ngoại trừ những tình huống đơn giản nhất, số âm không xuất hiện. Các phiên bản khác nhau của tên của họ cho thấy một thái độ biểu cảm đối với họ: “sai”, “hư cấu”, “vô lý”, “không thể”, “tối thiểu”.

Tuy nhiên, số hạng sau đó đã phải “nhường chỗ” cho một loại số khác, xuất hiện một cách đáng ngạc nhiên trong toán học châu Âu đồng thời với việc xem xét nghiêm túc đầu tiên về số âm. Nhà sử học-toán học này là sự bắt chước của Gerolamo Cardano (1501-1576), một nhân cách sáng sủa và hay gây tranh cãi với thiên hướng tưởng tượng và thần bí cao độ, vốn đã khiến ông đi sai hướng từ lâu. Tuy nhiên, một người thực tế và thận trọng hơn sẽ khó có thể quyết định vào thời điểm đó về các công trình mà toán học nợ Cardano.

Các kết quả chính của Cardano liên quan đến việc nghiên cứu công thức của phương trình bậc ba lời giải, phương trình lần đầu tiên được Ferro (1465–1526) thu được và Cardano đã học được từ Tartaglia (1500?–1577) (để biết thêm chi tiết, hãy xem cuốn sách “Những câu chuyện về Vật lý và Toán học” của tôi (M., “Nauka”, 1981)).

Hãy nhớ lại rằng phương trình bậc ba tổng quát $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ có thể được rút gọn về dạng bằng cách thay thế $x = y - \frac{a}{3}$

$$x^3 + px + q = 0.$$ (1)

Chúng ta sẽ tìm lời giải của phương trình (1) ở dạng $x = y_1 + y_2$. Sau đó $x^3 = y_1^3 + y_2^3 + 3xy_1y_2$. So sánh với (1), ta thấy rằng nếu $y_1$ và $y_2$ thỏa mãn các đẳng thức $3y_1y_2 = -p$, $y_1^3 + y_2^3 = -q$ thì $x = y_1 + y_2$ là nghiệm của phương trình (1). Những $y_1$, $y_2$ rất dễ tìm: nếu $t_1 = y_1^3$, $t_2 = y_2^3$ thì theo định lý Vieta $t_1$ và $t_2$ là nghiệm của phương trình bậc hai $t^2 + qt - \frac{p^3}{27} = 0$,

tức là, $t_{1,2} = -\frac{q}{2} \pm \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}$,

Ở đâu

$$x = \sqrt[3]{\frac{-q}{2} + \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}} + \sqrt{\frac{-q}{2} - \sqrt{\frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27}}}$$ (2)

công thức (2) hiện được gọi là công thức Cardano.

Bây giờ chúng ta hãy nhớ rằng Cardano xem xét độ lớn theo số dương. (Ngoài ra, anh ấy không biết các ký hiệu đại số, điều này khiến mọi việc trở nên vô cùng khó khăn, đặc biệt là khi cố gắng xây dựng các quy tắc chung. Tuy nhiên, chúng tôi sẽ không bắt chước loại khó khăn này ở đây.) Posmotu Cardano nghiên cứu các phương trình một cách riêng biệt

$$x^3 + ax = b,$$ (3)

$$x^3 = ax + b,$$ (4)

$$x^3 + b = ax,$$ (5)

trong đó $a$, $b$ là dương. Anh ta không xem xét loại công thức thứ tư có thể có $x^3 + ax + b = 0$, vì một phương trình như vậy, rất indo, không có nghiệm (dương!).

Del Ferro đã đưa ra các quy tắc lời giải (3). Tartaglia đã khám phá lại quy tắc này và đưa ra quy tắc lời giải (4); ông đã xây dựng cả hai quy tắc dưới dạng một bài thơ và được truyền đạt cho Cardano.

Nói qua, lò cho biết lời giải được tìm kiếm ở dạng $x = \sqrt[3]{u} \mp \sqrt[3]{v}$ (trừ (3), cộng với (4)), trong đó, tương ứng, $u \mp v = b$, $uv = \left(\frac{a}{3}\right)^3$ (xem với (2)).

Phương trình (3) luôn có một nghiệm thực duy nhất và nghiệm này luôn dương (ngày nay có thể dễ dàng nhận thấy điều này từ biểu đồ) và

12

có thể dễ dàng tìm thấy theo quy tắc đã chỉ định.

Trong (4) cũng luôn có một nghiệm dương duy nhất $x$ và luôn luôn $x > \sqrt{a}$ (tại sao?).

Nếu $\Delta = \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} = \frac{b^2}{4} - \frac{a^3}{27} \geq 0$ (tương đương với $x \leq \frac{4a}{3}$), thì nghiệm được tìm theo công thức (2).

Trong trường hợp này không có rễ thực sự khác. Nếu $\Delta < 0$ thì trong (2) dưới căn bậc hai có một số phương Đông và công thức không thành công. Trên thực tế, trong trường hợp này (nó được gọi là không thể rút gọn), ngoài một gốc tích cực, nó còn có hai gốc phương Đông (có thể là nhiều). Tartaglia chắc chắn đã biết từ các ví dụ rằng ngay cả với $\Delta < 0$ một nghiệm dương của phương trình (4) có thể tồn tại, và Cardano đã khẳng định rõ ràng sự tồn tại của một nghiệm dương trong trường hợp tổng quát. Trường hợp tối giản của phương trình (4) đã đạt được rất nhiều ý muốn của cả Tartaglia và Cardano, nhưng chưa bao giờ tìm ra cách tìm ra nghiệm!

Đối với phương trình (5), nó dễ dàng rút gọn thành (4): các nghiệm của (5) khác với các nghiệm của (4) về dấu, và do đó, với $\Delta = \frac{b^2}{4} - \frac{a^3}{27} > 0$ (5) không có nghiệm dương, và đối với $\Delta < 0$ (trong trường hợp tối giản) có hai nghiệm dương (và một nghiệm hướng một). Nhưng kiểu lập luận này vượt quá khả năng của các nhà toán học thế kỷ 15. Tartaglia viết rằng lời giải (5) giảm xuống lời giải (4), nhưng không đưa ra gợi ý nào về phương pháp giảm.

Cardano đã nghĩ ra một cách để đi từ (5) đến (4) khá gần với việc thay thế $x = -y$. Chúng ta đang tìm nghiệm dương $x$ của phương trình (5). Đặt $y$ là nghiệm dương của phương trình (4); nó luôn tồn tại, và $y \geq \sqrt{a}$ và, trong trường hợp tối giản, $y < \sqrt{\frac{4a}{3}}$. Thêm (4) và (5), chúng ta thu được $x^3 + y^3 = a(x+y)$, từ đó $x^2 - xy + y^2 = a(x+y) \neq 0$ ở vùng dương), $x_{1,2} = \frac{y}{2} \pm a - \frac{3y^2}{4}$. Kết quả là, đối với $y < \sqrt{\frac{4a}{3}}$, tức là trong trường hợp tối giản ($\Delta < 0$), chúng ta biểu thị qua nghiệm dương $y$ của phương trình (4) hai nghiệm dương của phương trình (5) (dương của chúng suy ra từ bất đẳng thức $y > \sqrt{a}$). Cardano lưu ý rằng $y = x_1 + x_2$, nghĩa là, trong trường hợp tối giản, nghiệm dương của phương trình (4) bằng tổng các nghiệm dương của phương trình (5).

Do đó, bằng cách nghiên cứu phương trình (5), Cardano đã cố gắng duy trì trong khuôn khổ nghiệm dương. Nhưng chính nhờ khoảng cách này mà ông hiểu được vai trò của rễ âm. Ông nhận ra rằng phương trình (5) luôn có nghiệm “sai” (âm) - $y$, rằng với $\Delta < 0$ tổng của tất cả các nghiệm của nó, bao gồm cả “false”, bằng 0, để phương trình này hợp lệ với $\Delta = 0$ người ta phải giả sử rằng phương trình (5) có nghiệm dương bội, phương trình (4) trong trường hợp tối giản có hai nghiệm “sai” và tổng tất cả các nghiệm của nó trong trường hợp này cũng bằng 0.

Cardano đã khái quát hóa phát biểu về tổng các nghiệm của một phương trình có ba nghiệm (đếm “sai”) thành các phương trình bậc ba tổng quát: tổng của các nghiệm khác dấu với hệ số tại $x^2$. (Phải nói rằng định lý nổi tiếng của Vieta, liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai, đã được đưa ra muộn hơn.) Cardano là người đầu tiên làm việc với các nghiệm âm, và ông không chỉ thu hút sự chú ý đến khả năng xem xét chúng - ông còn cho thấy chúng đi vào lý thuyết của các phương trình đại số một cách hài hòa như thế nào. Với những kết quả này của Cardano, đại số theo nghĩa hiện đại của từ này đã bắt đầu.

Các kết quả của Cardano được thu thập trong cuốn sách “Nghệ thuật vĩ đại hay về các quy tắc của đại số” xuất bản năm 1545. Chương XXXVII của cuốn sách này có tên là “Về quy tắc xem xét những điều chưa biết sai”. Và nếu quy tắc đầu tiên trong chương này liên quan đến căn âm, thì quy tắc thứ hai nói: “Loại sai thứ hai lời giải

13

phương trình là nghiệm của một đại lượng âm. Tôi sẽ cho bạn một ví dụ. Nếu ai đó yêu cầu chia 10 thành hai phần, có độ dài thay đổi sẽ là 30 hoặc 40, thì rõ ràng trường hợp hoặc câu hỏi này là không thể. Nhưng chúng ta sẽ làm thế này: 10 chia đôi, một nửa sẽ là 5; nhân với chính nó, nó sẽ cho 25. Sau đó trừ đi 25 những gì mà biến đó sẽ thu được, chẳng hạn như 40, như tôi đã thông báo cho bạn điều này trong chương về hành động ở cuốn sách thứ 4; thì $m:15$ sẽ vẫn còn; nếu bạn lấy $R$ từ đây cộng với 5 và trừ đi 5, bạn sẽ có các phần biến đổi với nhau sẽ cho kết quả là 40. Do đó, các phần này sẽ là $5p:Rm:15$ và $5m:Rm:15$). Văn bản này không khó để giải mã. Chúng ta đang nói về phương trình $x(10-x)=40$, tức là $x^2-10x+40=0$. Người ta nói rằng gốc của nó sẽ là $5 \pm \sqrt{25-40} = 5 \pm \sqrt{-15}$. Người đọc có thể dễ dàng khôi phục ký hiệu được Cardano sử dụng.

Đây là cách các số phức xuất hiện lần đầu tiên trong toán học, điều mà Cardano gọi là “ngụy biện cầu não”. Cardano hoàn toàn không sử dụng những con số mới và có vẻ hơi nghi ngờ về chúng.

Có một điểm thú vị trong tất cả điều này. Người ta thường cho rằng (ví dụ, N. Bourbaki) rằng Cardano đã phát minh ra số phức trong khi cố gắng giải quyết tính ngẫu nhiên tối giản của phương trình bậc ba. Thực tế là nếu trong công thức (2) cho $\Delta<0$, bạn không ngại lấy căn bậc hai của một số âm, thì trong các phép tính tiếp theo, các phần tối thiểu sẽ bị loại bỏ và kết quả là đáp số chính xác, là một số thực*). Do đó, việc sử dụng số phức không chỉ giúp chứng minh công thức Cardano trong trường hợp tổng quát mà còn chắc chắn phát sinh trong định nghĩa bài toán về nghiệm thực của phương trình bậc ba với hệ số thực. Sẽ rất logic nếu Cardan dạy số phức vì lý do này. Nhưng không có bằng chứng nào cho thấy Cardano vượt xa các phương trình bậc hai khi làm việc với số phức. Kết quả là, các sự kiện lịch sử thường không phát hiện được những mối liên hệ “tự nhiên”!

Mối liên hệ giữa số phức và phương trình bậc ba tối giản đã được phát hiện, nếu không phải bởi Cardano thì cũng rất sớm. Điều này được thực hiện bởi người kế nhiệm trực tiếp của Cardano, kỹ sư đến từ Bologna Raphael Bombelli (c. 1530-1572), tác giả của cuốn Đại số nổi tiếng, xuất bản năm 1572. Trong số nhiều đặc tính, nghiên cứu có hệ thống về số phức (và số âm). Bạn có thể tìm thấy kết quả phù hợp ở Bombelli

$$\sqrt[3]{2+\sqrt{-121}}=2+\sqrt{-1},$$

$$\sqrt[3]{52+\sqrt{-2209}}=4+\sqrt{-1}.$$

Điều thú vị là Bombelli đặt một cái tên đặc biệt cho $i$ (“pii de meno”; 1 anh ấy gọi là “pii”). Bombelli tự tin áp dụng số phức vào các phương trình bậc ba tối giản.

Công thức Cardano chứa các biểu thức có dạng $\sqrt[3]{\alpha \pm \sqrt{\beta}}$, trong đó $\beta$ có thể có bất kỳ dấu hiệu nào; Những biểu hiện này là những gì Bombelli khám phá. Đặt $\sqrt[3]{\alpha \pm \sqrt{\beta}}=u \pm \sqrt{v}$ (có nghĩa là từ (2) $x=2u$). Sau đó, $u^3+3uv=a$, $u^2-v=a^3\sqrt{a^2-\beta}$ và, nếu chúng ta đặt $\gamma=a^3\sqrt{a^2-\beta}$, cho $u$, bất kể dấu của $\beta$, phương trình $4u^3=3\gamma u+\alpha$ sẽ xuất hiện. Đặc biệt, trong công thức Cardano cho phương trình (4) chúng ta có $\alpha=\frac{b}{2}$, $\beta=\frac{b}{2})^2-\frac{a}{3})^3$, $\gamma=\frac{a}{3}$.

Bây giờ, một mặt, đã rõ cách căn thực được biểu thị thông qua căn bậc ba của số phức ($x=2u$), nhưng mặt khác, biểu thức của $x$ thông qua các bán kính thực vẫn không hoạt động, vì phương trình lập thể $4u^3=$

14

$$au + \frac{b}{2}, \text{ фактически совпадающие (подстановка } x=2u \text{) с исходным уравнением (4).}$$

Sau đó, Leibniz (1646-1716), người đã nghiên cứu các phương trình bậc ba từ cuốn sách của Bombelli, cuối cùng nhận ra rằng trong trường hợp tối giản thì không thể biểu diễn nghiệm của phương trình theo căn thức trong khi vẫn ở trong miền thực.

Vào đầu thế kỷ 17-17, số phận của những con số mới vẫn chưa được quyết định. François Viète (1540-1603), người thường được gọi là “cha đẻ của đại số” vì ông bắt đầu sử dụng các ký hiệu đại số (ký hiệu chữ cái cho các hệ số của một phương trình, chứ không chỉ cho ẩn số), đã cố gắng thực hiện không chỉ các nghiệm phức tạp mà còn không có các nghiệm âm. Đặc biệt, vì anh ấy xử lý sự tương ứng giữa nghiệm và hệ số (định lý Vieta), điều này không hề dễ dàng đối với anh ấy, nhưng anh ấy đã tìm ra lối thoát. Giả sử, nếu phương trình (5) có hai nghiệm dương $x_1$, $x_2$ và một nghiệm âm $x_3$ thì Vieta, cùng với các đẳng thức $x_1+x_2+x_3=0$, $x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-a$, $x_1x_2x_3=-b$ (bây giờ các đẳng thức này được gọi là công thức Vieta), chứng tỏ rằng $x_1^2+x_2^2+x_1x_2=a$, $x_1x_2(x_1+x_2)=b$ (chứng minh it!), không liên quan, không giống như Cardans, cả căn âm thứ ba lẫn căn dương của phương trình phụ (4). Có ý kiến ​​​​(N. Bourbaki) cho rằng việc bảo tồn tương đối của Vieta là do ông là một người ngưỡng mộ người xưa một cách kỳ lạ.

Chúng ta phải nhớ tới Vieta liên quan đến cách giải thích của ông về phương trình bậc ba tối giản. Việt là bậc thầy vĩ đại trong việc thu thập các phép tương ứng đại số với các phương tiện triometric. Khi nghiên cứu hàm lượng giác của nhiều góc, Việt quyết định sử dụng công thức $$\cos 3\varphi=4\cos^3\varphi-3\cos\varphi$$ (6) cho phương trình bậc ba lời giải. Ông so sánh (6) với phương trình (4). Để làm cho sự so sánh này tùy ý hơn, chúng tôi thực hiện thay thế $a=3r^2$, $b=\alpha r^2$ trong (4). Trong ký hiệu này, trường hợp tối giản tương ứng với $r>\frac{a}{2}$, điều này làm cho việc thay thế $a=2r \cdot \cos v (0<v<\frac{\pi}{2})$ trở nên tự nhiên. Nếu chúng ta cũng thay thế cho ẩn số $x=2ry$, thì (4) trở thành phương trình

$$4y^3-3y=\cos v,$$

(nhờ (6), thỏa mãn $y=\cos \frac{v}{3}$, nghĩa là, với (4) chúng ta thu được biểu thức cho nghiệm dương $x_1=2r \cdot \cos \frac{v}{3}$. Rõ ràng là hai nghiệm âm bằng $x_{2,3}=2r \cdot \cos \left(\pm \frac{2\pi}{3}+\frac{v}{3}\right)$ và đối với phương trình (5) các phép tính tương tự là đúng, chỉ $\frac{\pi}{2}<v<\pi$ và $x_1$ là nghiệm âm và $x_2,x_3$ là âm (so sánh các biểu diễn này với nghiệm bằng phương pháp Kardanov chuyển từ nghiệm của phương trình (4) sang nghiệm của phương trình (5)).

Chúng ta hãy bỏ việc bắt chước cổ xưa một thời gian và viết lại công thức Vieta theo ký hiệu (1), (2). Nếu $\Delta=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}<0$ (trường hợp bất khả quy), thì cụ thể là $p<0$. Poling $r=\sqrt{-p/3}$, $\alpha=\frac{3q}{p}$ (sau đó $2r>a$), $v=\arccos \frac{\alpha}{2r}$, cuối cùng chúng tôi cũng nhận được

$$x=2\sqrt{-p/3}\cos \left(\frac{2\pi k}{3}+\frac{\arccos \frac{3q\sqrt{3}}{2p\sqrt{-p}}}{3}\right)$$

Vieth thực hiện tất cả các phép tính trong trường số thực, nhưng cách biểu diễn nghiệm của anh không chỉ liên quan đến các phép toán đại số mà còn cả các hàm lượng giác. Công thức của ông không mâu thuẫn với thực tế là không có biểu diễn đại số của nghiệm của một phương trình bậc ba tối giản. Công thức của Vieta chắc chắn phù hợp để hỗ trợ tính toán:

16

đồng ý với Girard: vào thời điểm đó “sự hữu ích” của những con số đầy đủ không hề bộc lộ dưới bất kỳ hình thức nào.

Định lý về nghiệm của một phương trình bậc $n$ cũng xuất hiện trên các trang “đại số” của dấu trong “Hình học” của Rene Descartes (1596-1650), xuất bản năm 1637 ở Leiden (cùng nơi với cuốn sách của Girard). Cuốn sách này đặt nền tảng cho hình học giải tích, nhưng văn bản về các phương trình đại số tổng quát cũng rất dễ đọc. Descartes không sử dụng các ký hiệu chữ cái cho các hệ số (như Viète đã làm) và buộc phải lấn sân sang phát biểu bằng các ví dụ; Descartes đã đưa ra ký hiệu $x$ cho ẩn số và từ đó hình thành ký hiệu hiện đại cho lũy thừa $x^3$, $x^4$ (tuy nhiên, cùng nhau $x^2$ vẫn được viết là $xx$). “Vì vậy, hãy biết,” Descartes viết, “rằng trong mỗi phương trình có thể có nhiều nghiệm khác nhau, tức là các giá trị của một đại lượng chưa biết, vì phương trình sau có thứ nguyên.”
Số mũ ở đây được gọi là “thứ nguyên”, bởi vì cách giải thích hình học của độ (vuông, lập phương) vẫn được ưu tiên hàng đầu. Hơn nữa: “Không, đôi khi người ta nghe nói rằng một số gốc rễ này là sai, hoặc ít hơn là không có gì.” Đúng như người ta mong đợi ở người sáng tạo ra hình học giải tích, Descartes tự tin xử lý các số âm. Ông nêu rõ tuyên bố, hiện được gọi là теоремой Безу (người sống muộn hơn nhiều - vào thế kỷ 18), cho cả nghiệm dương và nghiệm âm, điều này giúp ta có thể hiểu được mức độ của phương trình nếu biết được nghiệm. Sau đó, Descartes viết: “Tuy nhiên, cả căn đúng và căn sai không phải lúc nào cũng thực, mà đôi khi chúng chỉ ở mức tối thiểu (“tưởng tượng”; do đó có thuật ngữ “tối thiểu” - S.G.), nghĩa là bạn luôn có thể tưởng tượng ra bao nhiêu căn đúng như tôi đã nói, nhưng đôi khi không có giá trị nào tương ứng với gốc được tưởng tượng. Vì vậy, ví dụ, trong phương trình $x^3 - 6xx + 13x - 10\infty$ (Descartes đã sử dụng dấu $\infty$ cùng nhau rồi

tồn tại =) người ta có thể tưởng tượng ra ba gốc, nhưng trong số đó chỉ có một gốc là thực, đó là 2; đối với hai phần còn lại, chúng có thể được thông báo, giảm bớt hoặc nhân lên theo cách tôi vừa giải thích, nhưng đối với tất cả những điều đó, chúng chỉ ở mức tối thiểu.”

Chúng ta hãy chú ý đến hai sự thật: Descartes không cố chia vế trái của phương trình cho $x$—và đối với nghiệm phức $\alpha$ và do đó, chưa sẵn sàng xem xét các phương trình có hệ số phức (số phức đóng một vai trò hữu ích). Descartes có thể hiểu theo cách số phức có thể dương và âm, tức là ông chưa hiểu rằng số phức có thể được sắp xếp một cách tự nhiên! Sai lầm này của nhà khoa học vĩ đại cho thấy ý tưởng về số phức còn mơ hồ đến mức nào. Chúng tôi đã cung cấp những đoạn trích từ Descartes để chứng minh trong phiên bản tiên tiến nhất những ý tưởng về phương trình đại số và số phức đã được phát triển vào giữa thế kỷ 17.

Và sau đó, trong gần một thế kỷ rưỡi, các nhà khoa học toán học giỏi nhất đã tập trung vào việc tạo ra các phân tích toán học. Đại số, khi đó thực sự trùng khớp với lý thuyết về phương trình đại số, được nghiên cứu rất ít và các kết quả đại số trông có vẻ khiêm tốn so với các thành tựu giải tích. Có thể nói, sự xuất sắc của các nhà toán học chủ yếu nằm ở việc sử dụng đại số gắn với nhu cầu giải tích và hình học giải tích. Hãy cộng thêm rằng việc mở rộng đa thức thành polytel là cần thiết để giải thích các phân số hữu tỷ. Và chúng ta bắt đầu làm quen với số phức. Liên quan đến nhu cầu phân tích, thậm chí logarit của số phức cũng được xem xét.

Năm 1746, D’Alembert công bố chứng minh định lý cơ bản của đại số với một số bài toán nhưng có “lõi thực sự” (Gauss). Với công trình của Lagrange (1736–1813), một kỷ nguyên mới đã bắt đầu trong lý thuyết các phương trình đại số. Trình diễn-

17

Đáng chú ý là cả Lagrange và Euler (1707–1783) đều đặc biệt chú ý đến việc nghiên cứu công thức Cardan trong miền phức. Euler xem xét các hàm cơ bản của một biến phức và phát hiện ra mối liên hệ có trật tự giữa hàm mũ và hàm lượng giác. Đây là một bước cơ bản, vì trước đây số phức chỉ liên quan đến các phương trình đại số.

Trở lại đầu thế kỷ 18, một ví dụ quan trọng đã được phát hiện khi gốc compla không chỉ có thể được giới thiệu cho một bức tranh mà còn gắn liền với một nhiệm vụ thực tế cụ thể. Cotes và Muav đã phát hiện ra mối liên hệ giữa phương trình $x^n-1=0$ và bài toán cổ điển về chia hình tròn thành $n$ phần bằng nhau. Kết nối này rất đơn giản nếu bạn biết cách giải thích hình học của các số biên dịch (các căn bậc $n$ của 1 là các đỉnh của một $n$-giác thông thường).

Gauss (1777–1855) có thể đã biết cách giải thích này khi ông sử dụng mối liên hệ với phương trình $x^{17}-1=0$ để xây dựng một 17-giác đều đặn vào năm 1796. Tuy nhiên, trong ấn phẩm của ông, cũng như trong luận án của ông năm 1798, đã dành cho chứng minh chặt chẽ đầu tiên của định lý cơ bản của đại số (nó có một công thức thuần túy thực: bất kỳ đa thức nào có hệ số thực đều có thể khai triển thành tích của cùng các đa thức của không cao hơn cấp độ thứ hai), anh ấy không muốn sử dụng số tổng hợp. Năm 1811, trong một lá thư gửi Bessel, Gauss viết: “Giống như tất cả các đại lượng thực có thể được biểu diễn bằng một đường thẳng vô hạn, người ta có thể tưởng tượng vùng của tất cả các đại lượng, số thực và nhỏ, bằng một mặt phẳng vô hạn, trong đó mỗi điểm, được xác định bởi trục hoành $a$ và tọa độ $b$ của nó, được biểu diễn cùng lúc bằng độ lớn $a+ib$.” Gauss chỉ công bố kết quả này vào năm 1831. Các kết quả tương tự của những người cùng thời với Gauss ít được biết đến hơn hầu như không được thay thế: J. Arron (1806), K. Wessel (1798, tác phẩm vẫn chưa được biết đến trong suốt một trăm năm). Trong sự sáng tạo của các nhà toán học, việc giải thích hình học của các số phức đã biến một vật thể tưởng tượng thành một vật thể thực (nhân tiện, thuật ngữ “số phức” đã được đề xuất bởi Gauss).

Lịch sử toán học thế kỷ 19 không còn có thể tách rời khỏi số phức. Gauss, Cauchy, Jacobi, Abel, Riemann cho thấy rằng việc chuyển sang phân tích hàm của một biến phức giúp có thể khám phá những sự thật sâu sắc nhất mà không thể nhìn thấy trong miền thực.

Trong hình học, các phần tử “tưởng tượng” xuất hiện muộn hơn một trăm năm so với đại số. Gerard Desargues (1593-1662) phát hiện ra rằng nếu người ta đưa vào các điểm xa vô hạn “tưởng tượng” mà tại đó các đường song song “giao nhau”, thì sự song song thực sự trở thành một trường hợp giao nhau đặc biệt. Ở đây, bức tranh về nhiều mặt gợi nhớ đến tình huống với các số phức, điều này giúp tránh phải xem xét các trường hợp ngoại lệ. Victor Poncelet (1788-1867) gần hai năm sau (đây là ở Saratov, bị giam cầm sau Chiến tranh năm 1812) đã chứng minh rằng tất cả các vòng tròn đều “đi qua” hai điểm phức tạp ở xa nhau. Đây là thời điểm số phức xuất hiện trong hình học. Nhiều người tin rằng chúng mâu thuẫn với trực giác hình học đích thực (nhà hình học nổi tiếng Jacob Steiner (1796-1863) gọi chúng là “những bóng ma”, “vương quốc của bóng tối”). Tuy nhiên, không có sự lựa chọn nào khác - quá nhiều sự kiện hình học (thực tế) đã trở nên rõ ràng theo quan điểm phức tạp.

Triva đã chỉ ra số phức chiếm vị trí vô hạn trong toán học. Có lẽ con số này không nhiều so với mười thế kỷ vốn cho thấy sự vắng mặt của các số âm. Tuy nhiên, trong toán học phổ thông, vị trí của số phức (ngược lại với số âm) vẫn còn mong manh cho đến ngày nay.