Bề mặt tối thiểu

18

Thiệt hại tối thiểu

Tiến sĩ Khoa học Vật lý và Toán học
A. T. FOMENKO

Khi nhà vật lý da trắng Joseph Plateau bắt đầu thí nghiệm nghiên cứu cấu hình của màng xà phòng vào thế kỷ 19, ông khó có thể tưởng tượng rằng chúng sẽ đóng vai trò là động lực cho sự xuất hiện của toàn bộ lĩnh vực khoa học đang phát triển nhanh chóng cho đến ngày nay và ngày nay được gọi là “Vấn đề cao nguyên”. Những thí nghiệm mà Plato từng thực hiện đã được chúng ta biết đến từ thời thơ ấu - hiếm ai chưa từng vui vẻ khi thổi bong bóng xà phòng hoặc chế tạo màng xà phòng để thắt chặt mạch dây.

Nếu bạn muốn làm màng xà phòng đẹp tại nhà (như những màng được thảo luận trong bài viết này), đây là một số mẹo thiết thực. Bạn cần: dây mỏng dẻo, xà phòng tuplet, một cốc hoặc bát nước và glycerin (bạn có thể làm mà không cần nó, nhưng dùng nó để tạo màng

ổn định hơn). Tạo những mảnh vụn nhỏ từ bốn miếng xà phòng, hòa tan trong nước ấm và thêm một thìa glycerin (nếu có). Tạo một vòng khép kín bằng tay cầm từ dây, hạ nó vào dung dịch và cẩn thận tháo nó ra; Bằng cách uốn cong đường viền một cách phức tạp, bạn có thể đa dạng hóa hình dạng của phim.

Khi chúng ta lấy mạch dây ra khỏi nước xà phòng, trên đó có một màng xà phòng cầu vồng tuyệt đẹp treo trên đó, được bao bọc bởi mạch điện này. Kích thước của phim có thể khá đáng kể, nhưng tất nhiên, phim càng lớn thì càng dễ bị vỡ dưới tác động của trọng lực. Ngược lại, nếu kích thước của đường viền nhỏ thì trong nhiều câu hỏi liên quan đến nghiên cứu màng xà phòng, trọng lực có thể bị bỏ qua. Chúng tôi sẽ sử dụng tình huống này trong tương lai.

Màng xà phòng được hình thành như thế nào?

Chúng ta hãy xem xét sự thay đổi tính chất của màng chất lỏng bị hư hỏng khi thêm xà phòng vào nó. Hình 1, a thể hiện bề mặt phân cách giữa hai môi trường: nước và không khí. Các mũi tên biểu thị lực hút lẫn nhau tác dụng giữa các phân tử nước phân cực, đặc trưng bởi sự phân bố điện tích không đối xứng. Có thể thấy rõ rằng chính những lực này đã gây ra sự xuất hiện của

19

sức căng bề mặt tại mặt phân cách của hai môi trường. Không giống như các phân tử nước, các phân tử xà phòng được hình thành bởi các chuỗi hydrocarbon dài, mỏng, không phân cực với nhóm oxy phân cực ở một đầu của chuỗi. Khi các phân tử xà phòng được thêm vào nước, chúng sẽ nổi lên bề mặt và lấp đầy nó bằng một lớp đồng nhất, mỗi lớp đều hướng với đầu không phân cực hướng ra ngoài (Hình 1.6). Bằng cách đẩy các phân tử nước bên trong ra xa, các phân tử xà phòng nhờ đó làm giảm sức căng bề mặt. Hóa ra sự tắc nghẽn này giúp màng bề mặt có thêm độ đàn hồi, điều này thể hiện ở thời điểm chúng ta hạ thấp và sau đó tháo mạch dây mỏng ra khỏi nước.

Trong thực tế, khi hệ thống dây điện chạm tới bề mặt (xem Hình 1.6, nơi thể hiện mặt cắt ngang của hệ thống dây điện), bề mặt phồng lên, bao bọc đường viền. Điều này xảy ra do thực tế là gần hệ thống dây điện, số lượng phân tử xà phòng tạm thời giảm (xem Hình 1.6), nghĩa là số lượng của chúng trên một đơn vị diện tích của màng giảm và do đó sức căng bề mặt tăng lên.

Bề mặt tối thiểu - mô hình màng xà phòng

Nguyên lý vật lý làm cơ sở cho sự hình thành màng xà phòng và điều chỉnh hành vi cũng như tính chất của chúng cực kỳ đơn giản: một hệ vật lý chỉ giữ lại một cấu hình nhất định khi nó không thể dễ dàng thay đổi nó sang vị trí có giá trị năng lượng thấp hơn. Năng lượng

Hình 1.

2*

20

bề mặt (màng xà phòng), thường được mô tả dưới dạng sức căng bề mặt của chất lỏng, là do sự hiện diện của lực hút giữa các phân tử riêng lẻ và sự mất cân bằng của các lực này ở ranh giới bề mặt. Sự xuất hiện của các lực không cân bằng kéo theo hiệu ứng thú vị sau: màng chất lỏng biến thành một bề mặt đàn hồi, có xu hướng giảm thiểu diện tích của nó và do đó giảm thiểu năng lượng căng thẳng trên một đơn vị diện tích. Trong trường hợp này, chúng ta bỏ qua trọng lực và áp suất không khí.

Do đó, mô hình toán học của màng xà phòng là một bề mặt nhẵn có diện tích tối thiểu bao bọc một đường viền cho trước: các nhà toán học gọi nó là bề mặt tối thiểu. Lý thuyết toán học cổ điển của các bề mặt này thuộc về cái gọi là phép tính biến phân, một lĩnh vực phân tích phát sinh vào thế kỷ 18. Ngày nay, các phương tiện cấu trúc liên kết và hình học vi phân hiện đại hơn được sử dụng để phát triển lý thuyết này. Tất nhiên, sử dụng toán học “trường học” không thể trình bày được lý thuyết; nhưng kết quả của nó rất dễ hình dung và thậm chí có thể được xác minh bằng thực nghiệm. Tuy nhiên, hình học tuyệt đẹp bài toán đã nảy sinh ở đây trong quá trình thực hiện, có thể được giải bằng toán tiểu học.

Hình 5.

Hình 6.

21

Những đường nét đơn giản nhất

Trước tiên chúng ta hãy xem xét trường hợp khi đường viền không bị cong quá mạnh - cụ thể là khi nó có thể là một đối một*) được chiếu lên một đường viền lồi nằm trong một mặt phẳng nhất định. Sau đó, theo lý thuyết toán học, có một và chỉ một bề mặt tối thiểu trải dài trên đường viền đã cho. Khi đường viền này phẳng, “định lý tồn tại và duy nhất” có vẻ hiển nhiên: đường viền có thể được bao bọc bởi một phần của mặt phẳng mà nó giới hạn và bất kỳ bề mặt nào khác phụ thuộc vào nó sẽ có diện tích lớn hơn (Hình 2).

Các bộ phim khác nhau trên một mạch

Nếu chúng ta không giới hạn bản thân ở những đường viền đơn giản nhất được mô tả trong phần trước, thì định lý duy nhất không còn đúng: đôi khi hai bề mặt tối thiểu hoàn toàn khác nhau có thể được kéo dài trên cùng một đường viền. Một ví dụ đơn giản được thể hiện trong Hình 3; ví dụ này có thể dễ dàng được tái tạo bằng phim xà phòng. Xin lưu ý rằng đường viền trong Hình 6 không thể được chiếu “tốt” lên bất kỳ mặt phẳng nào: xuất hiện “các điểm kép” (như trong hình) hoặc toàn bộ các đoạn suy biến thành một điểm duy nhất.

Bài toán 1. Nghĩ ra các đường viền khác trải dài trên một số bề mặt tối thiểu. Có thể có nhiều hơn hai bề mặt như vậy không?

Nếu bạn nhầm lẫn quá nhiều về đường viền (ví dụ: bằng cách làm cho nó có nhiều nút thắt), thì không chỉ tính độc đáo của phim có thể bị phá vỡ mà bản thân cấu trúc của nó cũng có thể làm phức tạp nó. Cụ thể là, trong trường hợp tổng quát, “gần như chắc chắn” các điểm đặc biệt (hoặc điểm kỳ dị) xuất hiện—các điểm ở vùng lân cận mà màng không còn có cấu trúc giống như một đĩa (cong) mà có cấu trúc phân nhánh, phức tạp hơn. Điều này dễ thấy nhất nếu bạn sử dụng

*) Tức là không có hai điểm khác nhau của đường viền cùng nằm trên một điểm của mặt phẳng.

Đường viền với các nhánh

Đường viền đơn giản nhất như vậy được thể hiện trong Hình 4. Bề mặt tối thiểu phụ thuộc vào nó có toàn bộ một đoạn gồm các điểm kỳ dị, từ đó bề mặt phân nhánh thành ba tấm phẳng, tạo thành các góc 120° với nhau. Lý do của hiệu ứng này sẽ trở nên rõ ràng hơn với bạn nếu bạn giải được bài toán sau.

Bài toán 2. a) Nối ba điểm bằng các đoạn sao cho tổng độ dài của chúng là nhỏ nhất. Làm tương tự 6) cho các đỉnh của hình vuông, c) cho các đỉnh của một tứ giác tùy ý.

Đáp số đối với điều này bài toán được hiển thị trong Hình 5 và các phần có bề mặt tối thiểu tương tự được hiển thị trong Hình 6. Xin lưu ý rằng trong các câu trả lời, tất cả các góc đều là 120° và sự không nhất quán mới xuất hiện của bề mặt (Hình 6, 6 và 8).

Điều thú vị là những nỗ lực xây dựng một bộ phim tối thiểu trong đó số lượng tấm lớn hơn ba sẽ hội tụ ở bất kỳ khoảng đơn lẻ nào đều thất bại. Điều này được giải thích bởi sự cản trở hình học đơn giản. Giả sử rằng trên một đoạn nào đó có bốn tấm phim ghép lại với nhau. Xét một bề mặt trực giao với điều này

Hình 7.

Hình 8.

22

đoạn chữ ký (Hình 7). Khi đó, điểm đơn nhân bốn (tức là điểm tại đó 4 lá hội tụ) phân hủy thành hợp của hai điểm ba, vì độ dài của đường đứt nét gồm hai đường chéo lớn hơn độ dài của mỗi đường đứt nét trong số hai đường đứt nét còn lại được hiển thị trong Hình 7 (như bạn thấy nếu bạn giải được bài toán 2). Trong Hình 8, quá trình phân hủy này được thể hiện ở vùng lân cận của mặt cắt ngang màng.

Rõ ràng là việc tái cấu trúc bộ phim được mô tả đã làm giảm tổng diện tích của nó so với diện tích của bộ phim gốc. Bề mặt tối thiểu ở trạng thái cân bằng nguồn, cụ thể, công suất nhỏ của màng chỉ làm tăng diện tích của nó, do đó trạng thái cân bằng của mọi lực tác dụng lên mỗi điểm của màng phải bằng 0. Điều này áp dụng cho các điểm đặc biệt. Ở vị trí cân bằng, có đúng ba tấm hội tụ tại mỗi điểm, do đó tổng của ba tác dụng theo hướng của các tấm phải bằng không. Theo đó, các tờ phải hội tụ trên đoạn chữ ký chung của chúng ở góc 120°. Lý do tương tự cho thấy rằng nếu có nhiều hơn bốn tờ hội tụ trên một cạnh chung, thì bề mặt đó, cố gắng chiếm một vị trí có diện tích tối thiểu, sẽ được sắp xếp lại và cạnh chữ ký sẽ chia thành nhiều cạnh ba.

Bài 3. Vẽ đoạn thẳng có độ dài tối thiểu nối các đỉnh của một hình ngũ giác đều. Có bao nhiêu đường nét đứt khác nhau như vậy?

Các màng phân nhánh đẹp khác thu được nếu khung của khối tứ diện hoặc khối lập phương được phủ một lớp màng (Hình 9). Hãy chú ý đến các điểm kỳ dị mà tại đó một số cạnh kỳ dị hội tụ.

Bài toán 4. a) Tìm tất cả các góc giữa các mặt phẳng của bề mặt nhỏ nhất tiếp giáp với các cạnh của một tứ diện đều (Hình 9, a). 6) Tại giá trị nào x thì cạnh của hình vuông trung tâm của bề mặt co lại của hình lập phương sẽ nhỏ nhất (Hình 9, 6)?

Vấn đề 5*. 4 đường thẳng không thể hội tụ tại một điểm duy nhất của một bề mặt tối thiểu, nhưng tại? Còn năm thì sao?

Đường viền mở

Một đặc tính quan trọng của bề mặt là sự tương tác của nó với đường bao biên. Nhiều loại tương tác như vậy được nghiên cứu bằng phương pháp tôpô. Từ các đặc tính vật lý của các bề mặt tối thiểu, chúng ta thấy rằng chúng không được có “lỗ” hoặc lỗ thủng không tương tác với các ranh giới màng. Mặt khác, một “lỗ” như vậy dưới tác dụng của lực bề mặt

24

Dây xích chùng tạo thành một quỹ đạo neotour nối hai điểm treo và được gọi là dây xích. Bằng cách xoay nó quanh một trục nằm ngang, chúng ta sẽ có được một catenon. Để căn chỉnh nó với bề mặt được mô tả ở trên, bạn chỉ cần mở nó ra, hướng ổ cắm lên trên.

Lưu ý rằng hình nón có đỉnh ở gốc sẽ không phải là bề mặt tối thiểu. Hình 10, e cho thấy hình nón bị biến dạng như thế nào, cố gắng chiếm một vị trí có diện tích nhỏ nhất (có ranh giới cố định). Cấu hình tương ứng với vị trí này là catonde. Tình huống này có liên quan đến những hiệu ứng mà chúng ta đã làm quen khi nghiên cứu sự phân rã của các điểm gấp bốn thành tổng các điểm gấp ba. Trên thực tế, Hình 7 có thể được coi là quá trình biến đổi một “hình nón một chiều” được hình thành bởi hai đoạn giao nhau (đường kính của một vòng tròn chấm) thành một đường cong phức tạp hơn với hai điểm kỳ dị ba lần. Về nguyên tắc, một hiện tượng tương tự xảy ra trong trường hợp một hình nón hai chiều thông thường, nhưng chỉ ở đây đỉnh (điểm kỳ dị) của nó phồng lên thành một vòng tròn - cổ của catenon.

Trong cả hai trường hợp, quá trình biến dạng của màng (đường cong một chiều) làm giảm diện tích ban đầu (hoặc chiều dài trong trường hợp một chiều) và buộc các bề mặt (đường cong) phải có vị trí tối ưu, đặc trưng cho diện tích nhỏ nhất (dài).

Bề mặt tối thiểu trong tự nhiên

Hóa ra, các màng tối thiểu phổ biến rộng rãi trong tự nhiên vì chúng là bề mặt tiết kiệm nhất hình thành nên bộ xương của các sinh vật sống neotourian. Ví dụ điển hình nhất là bộ xương của các loài phóng xạ, động vật biển siêu nhỏ với hình dạng đa dạng và kỳ lạ nhất. Rõ ràng, người đầu tiên nhận thấy rằng sức căng bề mặt đóng một vai trò quan trọng trong việc tạo ra hình dạng của những sinh vật này là nhà khoa học người Anh D’Arcy Wentworth Tompson, tác giả cuốn sách “Sự phát triển và hình thức”. Radiolariン bao gồm các cục nguyên sinh chất nhỏ được bao bọc dưới dạng giống như bọt, tương tự như bong bóng xà phòng và màng. Vì những sinh vật này khá phức tạp nên nói chung, các bề mặt tối thiểu của chúng có nhiều điểm phân nhánh và gân phân nhánh, trên đó tập trung phần lớn chất lỏng tạo nên sinh vật. Sự tập trung chất lỏng dọc theo các gân phân nhánh và gần các điểm đặc biệt này được phản ánh trong màng xà phòng thật: chất lỏng chảy tự do từ màng xà phòng cho đến khi

25

gặp một cạnh nơi ba tấm phim hội tụ. Ở đây chất lỏng chảy chậm lại và lắng xuống, tạo thành các phân đoạn nước để lộ các cạnh đặc biệt của bề mặt tối thiểu một cách trực quan. Quá trình tương tự thực sự xảy ra ở những người phóng xạ. Sự tập trung chất lỏng dọc theo các gân phân nhánh làm cho các mảnh nước biển và muối rắn lắng đọng dọc theo các gân này và dần dần hình thành nên bộ xương rắn chắc của động vật. Hình dạng của bộ xương này có thể được hình dung nếu, trong khối bọt xà phòng, người ta chú ý đến các nhánh phân nhánh, tức là các đoạn mà các bong bóng khác nhau tham gia dọc theo đó. Các phân đoạn này được kết nối với nhau (đôi khi theo cách phức tạp) và tạo thành “xương sống chất lỏng” của bọt. Sau khi con vật chết, các mô mềm dần biến mất và chỉ còn lại một bộ xương cứng, được hình thành như mô tả.

Vì vậy, nó không gì khác hơn là một hình ảnh đông lạnh trực quan của một hệ thống gồm các cạnh phân nhánh và các điểm kỳ dị xuất hiện trên một bề mặt tối thiểu phức tạp, cũng bao gồm các khối đóng bị giới hạn bởi hình dạng của bong bóng xà phòng. Ngoài ra, thành tế bào cũng tích tụ muối nước biển, cũng đóng vai trò trong việc hình thành bộ xương vững chắc của radiolaria.

Hình 12 cho thấy hai bộ xương phóng xạ.

Hình 13 cho thấy hai bề mặt tối thiểu có bong bóng xà phòng và được kéo dài trên các đường viền được tạo thành bởi hệ các cạnh của một khối tứ diện đều và một khối lập phương. Sự giống nhau về hình dạng trong Hình 12*) và 13 cho phép. Có thể thấy rõ rằng các bộ xương phóng xạ tái tạo khá chính xác mô hình phân nhánh của các nhánh trên bề mặt tối thiểu.

Vai trò của bề mặt tối thiểu trong hóa học rất quan trọng, trong đó các bề mặt tương tác ở ranh giới của các môi trường khác nhau xác định tính chất và tốc độ của nhiều biến đổi hóa học. Ví dụ về các bề mặt tối thiểu là những màng mà tất cả chúng ta đều biết đến - đây là màng nhĩ của chúng ta; đây là những màng đóng vai trò là ranh giới của các tế bào sống; đây là những màng trong sinh vật sống ngăn cách cơ quan này với cơ quan khác, v.v.

Chủ đề thú vị này thu hút nhiều chuyên ngành về sinh học, hóa học và vật lý. Như chúng ta đã thấy, một số vấn đề toán học thú vị có liên quan đến các bề mặt cực tiểu. Công thức và nghiên cứu chính xác của họ cho phép chúng ta hiểu rõ hơn về hiện tượng tự nhiên tuyệt vời (mặc dù có vẻ ngoài đơn giản) này.

*) Hình lấy từ sách: Ernst Haeckel, “Báo cáo kết quả khoa học về chuyến hành trình của tàu HMS Challenger trong những năm 1873-1876”.