Bài toán kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học khác nhau vào năm 1983

54

Bài tập
giới thiệu
kỳ thi
ở nhiều loại khác nhau
vào năm 1983

Chúng tôi cung cấp một lựa chọn các ghi chú giới thiệu
kỳ thi toán và vật lý ở một số
các trường đại học - Belarus, Donetsk,
Kazan, Kiev, Saratov, Tashkent và các học viện - Đại học Bách khoa Kishinev, chi nhánh Leningrad của Moscow
Viện Công nghệ, Viện Công nghệ Hàng không Moscow, Y tế Moscow
Melurative, sư phạm Tbilisi.

Toán học
Bài thi viết

đại số

1. Tổng bình phương của hai số liên tiếp
   các số nguyên là 29 lớn hơn gấp ba số nhỏ
   những con số. Tìm những con số này.
2. Xác định ba số tạo thành chúng
   cấp số nhân nếu tổng của chúng
   các số nguyên khác 31 và tổng bình phương của chúng là 651.
3. Từ pristigai $A$ đồng loạt khởi hành
   xuống thuyền và bè hiện tại. Chiếc thuyền đã chìm
   xuống con đường hiện tại được 96 km rồi quay lại
   và quay trở lại $A$ 14 giờ sau. Tìm thấy
   tốc độ của catarrh trong nước tĩnh, nếu biết,
   rằng thuyền gặp bè trên đường về
   ở khoảng cách 24 km từ $A$.
4. Điểm $A$ và $B$ nằm trên vòng tròn
   bán kính $R$ cm. Nếu các điểm bắt đầu di chuyển
   gặp nhau theo một cung nhỏ hơn thì gặp nhau sau 5 s, còn nếu dọc theo một cung lớn hơn thì gặp nhau
   cuộc họp sẽ diễn ra trong 11 giây. Nếu các điểm là
   -phân chia theo một hướng, sau đó là điểm đầu tiên
   sẽ đuổi kịp người thứ hai sau 20 giây. Tìm tốc độ
   điểm.
5. Ba công nhân có trình độ khác nhau thực hiện một số công việc, người đầu tiên làm
   6 giờ, thứ hai - 4 giờ, thứ ba - 7 giờ. Nếu cái đầu tiên làm việc được 4 giờ thì cái thứ hai -
   2 tiếng và 5 tiếng thứ ba là xong
   chỉ có 2/3 tổng số công việc. công nhân làm bao nhiêu giờ
   sẽ hoàn thành công việc nếu tất cả họ đều làm việc
   cùng một lúc?
6. Các số $a_1, a_2, \dots, a_n$ tạo thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng

$$\frac{1}{a_1 a_2} + \frac{1}{a_2 a_3} + \dots + \frac{1}{a_{n-1} a_n} = \frac{n-1}{a_1 a_n}.$$

7. Đơn giản hóa:

$$\frac{\sqrt{\frac{1+a}{1-a}} + \sqrt{\frac{1-a}{1+a}}}{-\frac{1}{a}},$$

8. Chứng minh sự thật:
   a) $$\frac{1+\text{ctg} 2\alpha \text{ctg} \alpha}{\text{tg} \alpha + \text{ctg} \alpha} = \frac{1}{2} \text{ctg} \alpha,$$
   b) $$\frac{(\alpha + \sqrt{3}\alpha^2) : (\alpha + \sqrt{3}\alpha^2) - 1}{\sqrt{3}\alpha - \sqrt{3}\alpha} = -\frac{1}{3}.$$
9. Chứng minh sự thật:
   a) $$\frac{1+\text{ctg} 2\alpha \text{ctg} \alpha}{\text{tg} \alpha + \text{ctg} \alpha} = \frac{1}{2} \text{ctg} \alpha,$$
   b) $$\cos^2(\alpha + \beta) + \cos^2(\alpha - \beta) - \cos 2\alpha \cos 2\beta = 1,$$
   g) $$1 - \frac{1}{4} \sin^2 2\alpha + \cos^2 \alpha + \cos^4 \alpha.$$
10. Được biết, $\sin \alpha - \cos \alpha = \frac{1}{2}$. Tìm thấy
    $$\sin^4 \alpha + \cos^4 \alpha.$$
11. Tính $\sin (2\alpha + \frac{5}{4}\pi)$ nếu $\text{tg} \alpha = \frac{2}{3}$.
12. Tại những giá trị nào của $p$ đều là nghiệm của phương trình bậc hai
    $$(p-2)x^2-2px+p-1=0$$
    đặt?
13. Tìm tất cả các giá trị của $b$ mà
    chính xác một nghiệm của phương trình
    $$x^2+2bx-2b=1$$
    thỏa mãn bất đẳng thức $x>2$.
14. Giải phương trình:
    a) $$\sqrt{2x+3} + \sqrt{x+1} = 5,$$
    b) $$\sqrt{3x+7} - \sqrt{x+1} = 2,$$
    c) $$\sqrt{x-2} + \sqrt{x} = \sqrt{x-2} - \sqrt{x},$$
    g) $$x^{\log_2 x} + 1 = \sqrt{x-2},$$
    r) $$x^{\log_2 x} + 1 = 100x,$$
    d) $$2 + \log_3(2^x-2) = \log_3 2 + \log_3(4^{x-1}-1),$$
    e) $$4^{x+1.5} + 9^x = 6^{x+1},$$
    j) $$\lg(x-3) + \lg(x+6) = \lg 2 + \lg 5,$$

3. $$\log_{16} x^3 + \log_x \sqrt{x} = 2,$$
   i) $$\cos 4x + 2 \cos^2 x = 1,$$
   k) $$5 \text{ctg} x - 4 \text{tg} x = \frac{9}{\sin x},$$
   l) $$5 \sin 2x - 12(\sin x - \cos x) + 12 = 0,$$
   m) $$\sin x \sin 2x \cdot \sin 3x = \frac{1}{4} \sin 4x,$$
   n) $$\sin^4 x + \cos^4 x = \sin x \cdot \cos x,$$
   o) $$4 \log_2 \sin x + 2 \log_1 \cos(2x + \frac{\pi}{4}) + 1 = 0,$$
   n) $$4 \sin x - 2^{-\frac{1}{2}} + \sin x = 1,$$
   p) $$\cos \left(\frac{4\pi x}{x^2 + x + 1}\right) = 1.$$

14. Xác định giá trị nào $x$ từ phân đoạn
    $[-\pi; \pi]$ thỏa mãn phương trình
    $$\frac{1}{\cos x} = \sin x + \cos x.$$
15. Tìm tất cả các phương trình lời giải
    $$\frac{2}{\cos 6x - \cos 2x} = \frac{1}{\cos 8x \cos 2x},$$
    thỏa mãn bất đẳng thức $0 \leq x \leq \pi/2$.

55

16. Phương trình có bao nhiêu lời giải tùy thuộc vào tham số $a$
    $$|x + \frac{1}{x} - 4| = a?$$

17. Với giá trị nào của tham số $a$ phương trình
    $$\sqrt{2a - 3 - 3\cos 2x} = \sqrt{2}(1 - \cos x)$$
    đồng hồ đo lời giải? Tìm họ.

18. Giải bất đẳng thức:
    a) $7 - 3\sqrt{x+1} \ge 2x$,
    b) $\sqrt{x^2 - x - 6} < x + 5$,
    c) $x^6 + \sqrt{x^2 - 1983} \ge 1983^3$,
    d) $x \cdot \sqrt{1983 - x^2} < \sqrt{1982}$,
    e) $|1 - \log_{1983} x| + |\log_{1983} x - 3| > 4$,
    f) $\log_{\frac{1}{2}}(1 - |x-1|) < 0$,
    g) $\frac{|1 - 3x| - 2}{\sin(x + \frac{\pi}{3})} \ge 0$,
    h) $\log_{|x-1|}(x^2 - 1) < 1$,
    k) $\log_2(x^2 + x - 2) - \frac{2}{\log_{|x-6|}4} \ge 0$,
    l) $(x^2 + 2x + 2)\cos(x + 1) \ge 2x^2 + 4x + 3$.

19. Giải hệ phương trình:
    a) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{x+y}{x-y} + \frac{x-y}{x+y} = \frac{10}{3}, \\ x^2 + y^2 = 5; \end{array} \right.$
    b) $\left\{ \begin{array}{l} \frac{4\sqrt{x+y}}{x-y} - \frac{4\sqrt{x-y}}{x+y} = 2, \\ \sqrt{x+y} - \sqrt{x-y} = 8; \end{array} \right.$
    c) $\log_2 y \cdot \log_{1/x} 2 = 1 - \log_2 x, \log_3 2 \cdot \log_{\sqrt{2}} x = 1;$
    d) $10^{3-1\lg(x-y)} = 250, \sqrt{x-y} + \frac{1}{2}\sqrt{x+y} = \frac{26-y}{\sqrt{x-y}}.$

Phân tích

1. Tính toán

2. Tại những điểm nào các tiếp tuyến của đường cong $y = \frac{x^3}{3} - x^2 - x + 1$ song song với đường thẳng $y = 2x - 1$?

3. Giải bất đẳng thức
   $$y' < -3, \text{ если } y = 5x^2 - 2\ln x - 6x.$$

4. Tìm giá trị cao nhất và cao nhất của hàm số
   a) $y = x^3 - 3x^2 - 6x + 10$ trên đoạn $[-1; 3]$,
   b) $y = (x-2)^2 \cdot \sqrt{x^2 - 4x + 6}$ trên đoạn $[1; 4]$.

5. Tìm tọa độ giao điểm với trục $OX$ tiếp tuyến với đường cong $y = x^2 + 3x + 3$ tại điểm $A(-2; 1)$.

6. Tìm điểm cực trị của hàm số
   a) $y = e^{2x} - 2e^x - 4x + 2$,
   b) $y = -2 \cdot 3^{-4x^2} - 2 \cdot 3^{-3x^2} + 3^{-2x^2} + 1.$

7. Tìm khoảng đơn điệu của hàm số
   $$y = 2x^2 + 5x + 11 + 6\ln \frac{2}{x}.$$

8. Vì chức năng $a$ nào
   $$y = -x^3 + ax^2 + a^2x + 5$$
   tăng trong khoảng $[-6; 2]$?

9. Đặt $x_1$ và $x_2$ lần lượt là điểm tối thiểu và điểm tối đa của hàm $y = -2x^3 + 3(1-2a)x^2 + 12ax - 1$. $a$ $x_1^2 = x_2^2$ có giá trị bao nhiêu?

10. Tìm tất cả các giá trị của tham số $a$ mà hàm $f(x) = \left(\frac{\sqrt{a+4}}{1-a} - 1\right)x^5 - 3x + \lg 5$ giảm.

11. Dọc theo hai đường vuông góc với nhau, hai máy tự động sẽ di chuyển về phía nút giao với vận tốc lần lượt là 40 km/h và 50 km/h. Hiện tại, chúng nằm cách nút giao nhau lần lượt là 20 km và 30 km. Sau bao lâu khoảng cách giữa cực tiểu sẽ nhỏ nhất?

12. Các tiếp tuyến được vẽ vào đồ thị hàm số $y = (x-1)^2, x \in [0; 1]$. Tại điểm nào cần kiểm tra tiếp tuyến của đồ thị hàm số này sao cho phạm vi của tam giác giới hạn bởi tiếp tuyến này và các trục tọa độ là lớn nhất?

13. Hãy tưởng tượng số 48 là tổng của hai số hạng tự nhiên sao cho tổng lập phương của số thứ nhất với bình phương của số thứ hai là nhỏ nhất.

14. Tìm khoảng cách giữa các điểm gần nhất của đồ thị hàm số: $y_1 = x^2 + x + 1$ và $y_2 = 2x - 2$.

Hình học

1. Cho ba vectơ không trống $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$, hai vectơ không được mã hóa. Tìm tổng của chúng nếu vectơ $\vec{a} + b$ đồng hình với vectơ $\vec{c}$ và vectơ $b + \vec{c}$ đồng hình với vectơ $\vec{a}$.
2. Tính $ABC$ của tam giác $ABC$ cho bởi tọa độ các đỉnh của nó
   $$A(2; 2\sqrt{3}), B(0; 0), C(-\sqrt{3}; 1).$$
3. Một hình tròn có bán kính $r = 5\sqrt{3}$ m được nội tiếp trong một tam giác đều và một đường thẳng song song với một trong các cạnh của tam giác được vẽ qua tâm của hình tròn. Tìm độ dài của đoạn thẳng này nằm giữa các cạnh của tam giác.
4. Tìm diện tích hình vuông nội tiếp tam giác đều có cạnh $a$.
5. Trong một tam giác đều có đáy $a$ và góc $a$ ở đáy, một đường thẳng của tam giác có diện tích phẳng nhất được nội tiếp nếu độ dài đoạn $AC$ bằng $a$ và độ dài của đoạn còn lại bằng độ dài đoạn $CD$.
6. Tính độ dài bissertrix của góc $C$ của tam giác $ABC$ nếu $|AB| = c, |AC| = b, |BC| = a$.

58

8. Một người có khối lượng $m=70$ kg ngồi ở giữa hình thang (Hình 2). Một thanh hình thang được treo trên một sợi dây dài $l=8$ m. Khi đung đưa, một người đi qua vị trí cân bằng với tốc độ $v=6$ m/s. Lực căng của mỗi sợi dây lúc này là bao nhiêu?

9. Ở đầu một thanh đồng nhất có khối lượng $m=4$ g, một quả cầu nhôm có bán kính $R=0,5$ cm được treo trên một sợi dây (Hình 3). Cây gậy được đặt trên mép cốc nước, tăng thêm sự cân bằng khi bóng ngâm trong nước. Xác định độ dài tương đối của thanh làm điểm tựa. Mật độ của aliminir là $\rho_a=2,7 \cdot 10^3$ kg/m³.

10. Độ dốc tối đa mà một đầu máy điện có công suất $N=7 \cdot 10^5$ W có thể vượt qua khi lái một đoàn tàu nặng $m=6 \cdot 10^6$ kg với tốc độ $v=7,2$ km/h, nếu hệ số ma sát là $\mu=0,002$?

11. Bộ phận đang được tạo hình trên máy được ép vào đá mài có đường kính $D=4 \cdot 10^{-1}$ m với lực $F=1,0 \cdot 10^3$ N. Công suất mài sẽ tiêu tốn bao nhiêu nếu hệ số ma sát của đá trên bộ phận là $\mu=2 \cdot 10^{-1}$ và đá quay với tần số $n=2$ r/s?

12. Xác định công suất của tuabin thủy lực với điều kiện trong thời gian $t=1$ $V=250$ m³ nước rơi từ độ cao $h=100$ m. Hiệu suất của turibine $\eta=90\%$.

13. Một khối có khối lượng $m_1$ chuyển động dọc theo mặt phẳng nằm ngang nhẵn với tốc độ $\vec{v}_1$. Một viên đạn có khối lượng $m_2$ bay theo phương ngang với vận tốc $\vec{v}_2$ thì bị kẹt trong một khối. Góc giữa các vectơ $\vec{v}_1$ và $\vec{v}_2$ $\alpha=90^\circ$. Khối lượng tỏa ra bao nhiêu nhiệt lượng?

14. Một viên đạn có khối lượng $m=10$ g bay theo phương ngang với tốc độ $v=500$ m/s, chạm vào một hộp cát có khối lượng $M=50$ kg, treo trên một sợi dây và mắc kẹt trong đó. Hỏi hộp sẽ nâng lên độ cao bao nhiêu khi bị lệch sau khi bị trúng đạn?

15. Một neutron va chạm với một hạt nhân đang đứng yên và sau một va chạm đàn hồi, nó bật ra khỏi hạt nhân theo hướng ngược lại. Các phép đo đã chỉ ra rằng tỷ số giữa năng lượng neutron sau va chạm và năng lượng của nó trước va chạm bằng $(11/13)^2$. Xác định số khối của hạt nhân.

Vật lý phân tử. Hiện tượng nhiệt

1. Người leo núi tạo ra bao nhiêu oxy trong mỗi hơi thở ở độ cao có áp suất không khí là $p=50 \cdot 10^3$ Pa? Được biết, ở bề mặt Trái đất, nơi có áp suất $p_0=100 \cdot 10^3$ Pa, một người thở ra $m_0=1,0 \cdot 10^{-3}$ kg oxy mỗi lần. Sự thay đổi nhiệt độ không khí theo độ cao có thể được bỏ qua.

2. Phải đun nóng khí ở áp suất không đổi bao nhiêu độ để thể tích của nó tăng gấp đôi so với thể tích ở $0^\circ C$?

3. Ở độ sâu nào thì thể tích của bọt khí nổi lên từ đáy bể lớn bằng một nửa thể tích ở bề mặt? Áp suất bên ngoài $p_0=760$ mm Hg. Nghệ thuật.

4. Một hình trụ có thể tích $V=1,0 \cdot 10^{-3}$ m³ chứa khí. Ở nhiệt độ không đổi, một phần khí thoát ra khỏi xi lanh, đồng thời áp suất trong đó giảm $\Delta p=55$ kPa, và khối lượng của xi lanh có khí giảm $\Delta m=1,0 \cdot 10^{-3}$ kg. Tìm mật độ của khí ở áp suất bình thường $p_0=101,3$ kPa và nhiệt độ thí nghiệm.

5. Hai bình được nối với nhau bằng một ống mỏng có vòi. Trong một bình có thể tích $V_1=2$ l, có nitơ ở áp suất $p_1=1,4 \cdot 10^5$ Pa và nhiệt độ $t_1=7^\circ C$, trong bình kia, có thể tích $V_2=4$ l, có carbon dioxide ở áp suất $p_2=1,6 \cdot 10^5$ Pa và nhiệt độ $t_2=47^\circ C$. Áp suất nào sẽ được thiết lập trong bình nếu vòi mở và nhiệt độ bằng $t=27^\circ C$?

6. Không khí bên trong quả bóng phải giao tiếp với khí quyển bao nhiêu độ, vỏ hình cầu có đường kính $d=10$ m và khối lượng $m=10$ kg, phải được làm nóng để quả bóng bay lên? Áp suất khí quyển $p_a=735$ mm Hg. Nghệ thuật, nhiệt độ $t_a=27^\circ C$. Lấy khối lượng mol của không khí bằng $M=29$ kg/mol.

7. Khi đốt nóng đẳng áp $m=2$ kg oxy, $A=65$ kJ công đã được thực hiện. Khí được nung nóng đến bao nhiêu độ? Khối lượng mol của oxy là $M=0,032$ kg/mol.

8. Một ô tô đi quãng đường $s=120$ km với tốc độ trung bình $v=60$ km/h.

59

$V=15$ lít xăng đã được tiêu thụ trên tuyến đường này. Động cơ hiệu suất $\eta=30\%$. Công suất trung bình mà động cơ đã phát triển trong quá trình thử nghiệm là bao nhiêu? Nhiệt độ cháy của xăng là $q=4,6 \cdot 10^7$ J/kg và mật độ của nó là $\rho=800$ kg/m$^3$.

9. Phải đốt bao nhiêu than để đốt nóng $M=6 \cdot 10^3$ kg nước lấy ở $T_1=283$ K đến $t_2=100^\circ C$ và $m=1,0 \cdot 10^3$ kg để biến nó thành hơi nước? Hiệu suất nồi hơi $\eta=70\%$. Nhiệt dung riêng của nước $c=4190$ J/(kg K), nhiệt dung riêng bay hơi của nước $r=2,26 \cdot 10^6$ J/kg, nhiệt đốt cháy của than $q=3 \cdot 10^7$ J/kg.

10. Công tối đa mà một động cơ lý tưởng có thể thực hiện là bao nhiêu nếu nó nhận được nhiệt lượng $Q=10^3$ J từ lò sưởi có nhiệt độ $T_H=1000$ K trong mỗi chu trình? Nhiệt độ môi trường xung quanh (tủ lạnh) $T_x=20^\circ C$.

Nguyên tắc cơ bản của điện động lực học

1. Hai quả bóng có đường kính nhỏ, khối lượng $m=1,5 \cdot 10^{-3}$ kg, mỗi quả treo trên sợi tơ dài $l=1$ m, va chạm vào nhau (Hình 4). Các quả bóng sẽ di chuyển xa nhau bao xa nếu mỗi quả bóng được tích điện $q=6 \times 10^{-9}$ C?

2. Trường được tạo ra bởi hai điện tích chính xác $q_1=4 \cdot 10^{-9}$ Kl và $q_2=9 \cdot 10^{-9}$ Kl. Tại điểm nào độ dẫn điện bằng 0 nếu khoảng cách giữa các điện tích là $l=2 \cdot 10^{-1}$ m?

3. Tại các đỉnh của hình lục giác bên phải ở cạnh $a$, các điện tích $+q$ và $-q$ lần lượt được đặt (Hình 5). Xác định hướng của trường được tạo bởi tất cả các điện tích ở tâm của hình.

4. Điện trường ở khoảng cách $r=40$ cm tính từ điện tích chính xác là $\varphi=200$ V. Lực nào sẽ tác dụng lên điện tích chính xác $q=10^{-9}$ C đặt tại điểm này?

5. Một tụ điện được tích điện theo hướng $U_1=250$ V được nối song song với một tụ điện có cùng điện tích nhưng được tích điện theo hướng $U_2=150$ V. Hướng nào sẽ được thiết lập giữa các tấm? Hãy xem xét hai trường hợp: kết nối các tấm có cùng cực và khác cực.

6. Hiệu điện thế giữa cực âm và dị thường của ống điện tử là $U=90$ V, khoảng cách giữa các điện cực là $d=1$ mm. Electron di chuyển từ cực âm sang cực dương với gia tốc bằng bao nhiêu? Electron đạt được tốc độ bao nhiêu khi đến gần cực dương? Trường trong không gian giữa các điện cực được coi là đồng nhất. Khối lượng của electron là $m=9,1 \cdot 10^{-31}$ kg và điện tích của nó là $e=-1,6 \cdot 10^{-19}$ Cl.

7. Trong trường của một tụ điện phẳng, khoảng cách giữa các bản tụ là $d=1,0 \cdot 10^{-2}$ m, một hạt có khối lượng $m=1,0 \times 10^{-7}$ kg và điện tích $q=1,0 \cdot 10^{-12}$ C ở trạng thái cân bằng. Xác định hiệu điện thế giữa các bản tụ điện với điều kiện là giữa chúng có không khí.

8. Nếu một vôn kế mắc nối tiếp với một điện trở có điện trở $R=10$ kOhm thì ở điện áp trong mạch $U=120$ V, nó sẽ hiển thị $U_1=50$ V. Nếu bạn mắc nối tiếp nó với một điện trở có điện trở không xác định thì ở cùng điện áp, nó sẽ hiển thị $U_2=10$ V. Xác định giá trị của điện trở chưa biết.

9. suất điện động của mỗi nguồn trong số hai nguồn mắc song song là $\mathcal{E}=1,8$ V (Hình 6). Điện trở trong của cái thứ nhất là $r_1=0,9$ Ohm, cái thứ hai là $r_2=0,45$ Ohm. Pin được đóng bằng một điện trở và dòng điện chạy qua nguồn thứ nhất bằng $I=1$ A. Điện trở của điện trở là bao nhiêu?

10. Một bếp điện có công suất $P_1=550$ V đối với mạng có điện áp $U_1=220$ V được kết nối với mạng có điện áp $U_2=127$ V. Công suất nào được giải phóng trong tấm với kết nối như vậy? Phần nào nên rút ngắn đường xoắn ốc để viên gạch giải phóng năng lượng $P_1$ ở điện áp $U_2$?

11. Xác định hiệu suất của ấm đun nước điện nếu với công suất $P=8 \cdot 10^2$ V, trong thời gian $t=20$ phút, bạn có thể bật $V=2$ lít nước ở nhiệt độ ban đầu là $t=20^\circ C$. Nhiệt dung riêng của nước $c=4,2 \cdot 10^3$ J/(kg K).

12. Từ một máy phát điện có hướng đầu ra là $U=300$ V, cần truyền công suất $P=10$ kW trên khoảng cách $l=1$ km. Dây đồng phải có thước đo như thế nào để độ mất phương trên dây không vượt quá 5%? Điện trở suất của đồng $q=1,7 \cdot 10^{-8}$ Ohm m.

13. Để thu được đồng, các bồn tắm điện nối tiếp $N=400$ với diện tích các tấm cực âm $S=16$ m$^2$ trong mỗi bồn tắm. Mật độ dòng điện $j=200$ A/m$^2$. Tìm sự giải phóng đồng trong thời gian $t=24$ h và mức tiêu thụ năng lượng trong cùng thời gian đó, nếu hướng vào bồn tắm là $U=100$ V. Trở kháng điện của đồng $k=0,33$ mg/Kl.

Dao động và sóng

1. Có một mặt dây chuyền trong cabin thang máy. Khi cabin đứng yên thì chu kỳ dao động của nó là $T_0=1$ s. Trong một cabin chuyển động với gia tốc không đổi thì chu kỳ là $T=1,2$ s. Xác định mô hình và hướng tăng tốc của cabin.

2. Một con lắc toán học có chiều dài $l$ dao động ở một khoảng cách $l/2$ từ đó một chiếc đinh đóng vào tường. Tìm chu kỳ dao động của con lắc.

3. Trên một chiếc cốc treo ở phần bên ngoài $k$. (Hình 8), một tải có khối lượng $m$ rơi từ độ cao $h$ và giữ nguyên trên cốc (va chạm hoàn toàn không đàn hồi

60

gii). Xác định biên độ dao động của cốc (có thể bỏ qua khối lượng của cốc).

4. Những giọt nước rơi đều đặn từ một độ cao nhất định xuống một tấm cố định bên ngoài. Tần số dao động tự nhiên của tấm là $\omega_0$. Được biết, biên độ dao động của tấm trong trường hợp này là lớn nhất. Tìm khoảng cách giữa giọt nước tách ra và giọt nước rơi gần nó nhất.

5. Đoàn tàu đang xé nát sẽ dao động đặc biệt mạnh với tốc độ bao nhiêu dưới tác dụng của các bánh xe đẩy vào mối nối ray? Chiều dài của ray là $l$, tải trọng tác dụng lên lò xo là $F$, lò xo uốn cong $h$ khi tải trọng $f$.

6. Một mạch dao động có chu kỳ dao động $T = 1 \cdot 10^{-6}$ s có độ tự cảm $L = 0,2$ H và điện trở hoạt động là $R = 2$ Ohm. Năng lượng của mạch này sẽ giảm bao nhiêu phần trăm trong một dao động? Qua nhiều dao động, dòng điện có thể coi là hình sin.

Quang học

1. Trên mặt hồ có một chiếc bè có chiều dài $a = 8$ m, chiều rộng $b = 6$ m. Xác định độ lớn của bóng tổng cộng từ chiếc bè ở đáy hồ khi mặt nước được chiếu sáng bằng ánh sáng khuếch tán. Độ sâu của hồ là $h = 2$ m, chỉ số vỡ nước là $n = 1,33$.

2. Góc tới của một cánh cung từ không khí lên một tấm kính có độ dày $d$ và chỉ số vỡ $n$ bằng góc phản xạ toàn phần của tấm kính làm ra tấm kính đó. Tính độ dịch chuyển của củ hành khi đi qua tấm gợi ý.

3. Tiêu cự của đường thu là $F = 10$ cm, khoảng cách từ vật đến tiêu điểm phía trước là $l = 5$ cm và kích thước tuyến tính của vật là $h = 2$ cm. Xác định kích thước của hình ảnh. Nên đặt vật ở đâu để thu được ảnh có độ phóng đại $\Gamma = 10$?

4. Sử dụng một đường thu thập trên màn hình, sẽ thu được hình ảnh thực tế giảm của vật thể. Kích thước của vật là $h = 6$ cm, kích thước của ảnh là $h_1 = 4$ cm. Để màn hình và vật đứng yên, thấu kính di chuyển về phía vật cho đến khi thu được ảnh thứ hai của vật. Xác định độ lớn của nó.

5. Một bóng đèn được đặt trên trục quang cách đường thu $d = 2$ m có công suất quang là $D = 1$ ditr (Hình 9). Ở khoảng cách tuyến tính $l = 1,75$ m có một gương phẳng được gắn vuông góc với trục quang. Ảnh của vật sẽ nằm ở khoảng cách bao nhiêu so với đường thẳng?

6. Khi chiếu sáng cực âm bằng ánh sáng, đầu tiên có bước sóng $\lambda_1$, sau đó là $\lambda_2$, người ta thấy điện áp chặn thay đổi $n$ lần ($U_1/U_2 = n$). Xác định công năng của các electron từ vật liệu catốt.

7. Những tia nào chiếu sáng strontium nếu các hạt điện có động năng cực đại $E = 1,8 \times 10^{-19}$ J bay ra khỏi bề mặt của nó? Ranh giới màu đỏ của forosfect đối với strontium là $\lambda_{\max} = 550$ nm.

Đáp số, gợi ý, lời giải

Các bài tập của trường đã chọn

1. Đáp số: 0. Lời giải. $\frac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{7}} + \frac{2}{\sqrt{10}+\sqrt{8}} - \frac{3}{\sqrt{10}-\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{8}+\sqrt{7}}{(\sqrt{8})^2-(\sqrt{7})^2} + \frac{2(\sqrt{10}-\sqrt{8})}{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{8})^2} - \frac{3(\sqrt{10}+\sqrt{7})}{(\sqrt{10})^2-(\sqrt{7})^2} = \sqrt{8} + \sqrt{7} + \sqrt{10} - \sqrt{8} - \sqrt{10}-\sqrt{7}=0$.

2. a) Phương pháp I. Các hình tam giác $ABO$ và $BCO$ có chung một chiều cao được vẽ từ đỉnh $B$, do đó diện tích của chúng liên hệ với độ dài của các đáy: $\frac{S_1}{S_2} = \frac{|AO|}{|CO|}$ (Hình 1); tương tự như $\frac{S_4}{S_3} = \frac{|AO|}{|CO|}$. Do đó, $\frac{S_1}{S_2} = \frac{S_4}{S_3}$ và do đó $S_1S_3 = S_2S_4$. phương pháp II. Cả hai tích đều bằng $\frac{1}{4}|AO||BO||CO||DO|\sin^2\varphi$, trong đó $\varphi$ là góc giữa các đường thẳng $AC$ và $BD$.

Hình 1.

6. Đáp số: $\sqrt{S_1S_2}$. Gợi ý. (Hình 2) $S_{ABD} = S_{ACD}$ (chúng có đáy chung $AD$ và chiều cao bằng nhau được vẽ thành $AD$), do đó $S_{CDO} = S_{ABO} = S$; sau đó nhận ngay câu sau câu a): $S^2 = S_1S_3$. Một cách khác: từ sự giống nhau của các tam giác $BOC$ và $AOD$ suy ra $\frac{|AO|}{|OC|} = \sqrt{\frac{S_2}{S_1}}$. Mặt khác, $\frac{S}{S_1} = \frac{|AO|}{|OC|}$ (xem mục a)), từ đó $\frac{S}{S_1} = \frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S_1}}$ và $S = \sqrt{S_1S_2}$.

3. Đáp số: 29. Lời giải. Tại thời điểm khởi hành từ cảng $A$, những người chúng tôi đã chọn sẽ gặp nhau tại cảng $A$ những người đã rời đi $B$đúng 15 ngày trước, tại thời điểm đến gần $B$ - những người rời đi $B$đúng 15 ngày sau khi những người được chọn khởi hành. Điều này có nghĩa là sẽ có 31 cuộc họp (cùng số với các số nguyên từ -15 đến 15), trong đó 29 cuộc sẽ diễn ra trên biển khơi.

4. Nhân cả hai vế của đẳng thức được chứng minh bằng $S$, trong đó $S$ là diện tích tam giác, ta thu được đẳng thức cân bằng $\frac{S}{r} = \frac{S}{h_a} + \frac{S}{h_b} + \frac{S}{h_c}$, cả hai

63

6. $x_1 = -\sqrt{2 \log_3 2}, x_2 = \sqrt{2 \log_3 2}$ là điểm tối đa, $x_3 = 0$ là điểm tối thiểu.

7. Giết ở $0; \frac{3}{4}, \text{возрастает на } \frac{3}{4}; +\infty$.

8. $a \in ] -\infty; -6] \cup [18; +\infty]$.

9. $a = \frac{1}{2}$. 10. $[-4; \frac{3-\sqrt{21}}{2}] \cup [1; +\infty]$.

10. $\frac{23}{41}$ giờ. 12. $S_{\max} = \frac{8}{27}, x = \frac{1}{3}$.

11. $48 = 5 + 43$. 14. $0, 55 \sqrt{5}$.

Hình học

1. $\vec{0}$. 2. $\frac{\pi}{2}$. 3. 20m. 4. $3a^2(7-4\sqrt{3})$. 5. $\frac{a^2}{8} \text{tg} \alpha$; $a\left(1+\frac{1}{2} \text{tg} \alpha\right)$. 6. 270 cm$^2$. 7. 48. 8. $\frac{2}{\sqrt{5}} a^2$.

2. $\frac{\sqrt{ab}((a+b)^2-c^2)}{a+b}$. 10. $\frac{a^2-b^2}{4}(\sqrt{3}-1)$. 11. $h^2$.

3. $\frac{3}{4} b, \frac{3}{4} a$. 13. $\frac{1}{4} ab \sin \alpha$. 14. $\frac{25}{49} S$. 15. 9:1.

4. $\frac{13a+4b}{50} \sqrt{d^2-\frac{1}{4}(a-b)^2}$. 17. 2.

5. $\frac{a^2}{4} \sqrt{3(4 \text{tg}^2 \beta+1)}$. 19. 2 arcsin $\frac{1}{\sqrt{4 \sqrt{12}}}$.

6. $\frac{6a^2h^2}{(a+h)^2}$. 21,4,5 cm. 22. $a^3 \sin \alpha \sin \beta \times \sqrt{\cos(\alpha+\beta) \cos(\alpha-\beta)}$. 23. $\frac{\sqrt{2}}{2} a^3$.

7. $\frac{H}{\sqrt{1+4 \text{tg}^2 \alpha+1}}$. 25. $4 \sqrt{3} \pi b^3(27 \sin^3 2\alpha)^{-1}$.

8. $900 \pi$. 27. $\frac{12V}{\pi(1+\sqrt{2})^3}$.

9. $\frac{1}{6} S \sqrt{S} \frac{\sin \alpha}{\sqrt{\pi \sin \frac{a}{2}}}$. 29. $\frac{a^6}{2(a^2-1)^2}$.

10. $-\frac{1}{3} \pi R^3 \text{tg}^3 \alpha \cdot \text{tg} 2\alpha$. 31. $\frac{7}{54} l^3 \sin 2\alpha \cos \alpha$.

11. arcsin $\frac{3}{5}$. 33. $\frac{\pi(\gamma-1)}{\gamma^5}$. Tỷ lệ này lớn nhất là $\gamma = \frac{5}{4}$.

Kiểm tra miệng

đại số

1. Số thứ hai cao hơn. 2. a) $\frac{17}{4}, 6)$ $\frac{3}{2}$.

2. $\frac{5}{34} \sqrt{34}$. 4. Tận dụng thực tế là $\frac{1}{k^2} < \frac{1}{(k-1)^k} = \frac{1}{k-1} - \frac{1}{k}$.

3. 55. 6. a) {1}; 6) {3}; b) {3}; r) $\{\frac{3}{2}\}$;

e) $x=2, y=\frac{1}{2}; e) {2}; jk) x=(-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n (n \in Z); 3) x=\pm \arccos \frac{\pi}{6} + 2k\pi (k \in Z)$.

7. a) ba lời giải; 6) hai lời giải; b) có nhiều vô hạn lời giải.

8. $x=k\pi, y=\frac{\pi l}{2}, z=-\frac{\pi}{6} + \frac{2\pi m}{3} (k, l, m \in Z)$.

9. a) $] -\infty; \frac{-1-\sqrt{11}}{2}$] $\cup [-\frac{1+\sqrt{11}}{2}; +\infty$;

6. $[-7; -\sqrt{35}[\cup 0; 5]; b) [-5; 0; r) [1; 2[\cup [8; +\infty[; d) ]0; 2] \cup [3; 7[; e) ]-\infty; -1]\cup [1; +\infty]$.

10. $a \in ] -\infty; 1[ \cup 3; +\infty$.

11. $[(2; 3)]$. 14. $b \in ]-2; 2[$.

Phân tích

1. a) $(3x^2-10x)e^{x^3-5x^2}, 6)$ 0.

2. min $y=y(0)=1$, max $y=y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{2}$.

3. $\frac{2\sqrt{5}}{5}$. 4. Tiêu diệt ở $x \in ] 0; \frac{1}{e}[$, tăng ở $x \in ] \frac{1}{e}; +\infty$.

Hình học

1. Can là một tam giác có các cạnh 3d, 4d và 5d, trong đó $d>0$.

2. $0 < S \leq \frac{a^2}{4} \text{ctg} \frac{\alpha}{2}$.

3. $S = \left(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3}\right)\left(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} - \frac{1}{h_3}\right) \times \left(\frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} - \frac{1}{h_3}\right)$.

4. $r_1=r \frac{1+\sin \frac{\pi}{n}}{1-\sin \frac{\pi}{n}}, r_2=r \frac{1-\sin \frac{\pi}{n}}{1+\sin \frac{\pi}{n}}$.

5. $2\frac{2}{3} l^3 \sin \beta \sin \frac{\beta}{2}$. 7. arccos $\frac{\text{ctg} \frac{\pi}{n}}{\text{ctg} \frac{\alpha}{2}}$. 8. arctg 3.

Vật lý

Cơ học

1. $v_{cp} = \frac{2v_1v_2}{v_1+v_2} \approx 53,3 \text{ km/ч}$.

2. $\tau = \sqrt{l^2+2l/g} t \approx 1 \text{ c}$.

3. $t = (2v_0 \sin \alpha)/g \approx 80 \text{ c}$; $R = (v_0 \cos \alpha)^2/g \approx 4,8 \cdot 10^4 \text{ m}$.

4. $t = \sqrt{\frac{(m_1+m_2)h}{(m_1-m_2)g}} = 1,4 \text{ c}$.

5. $r = \sqrt{3} T^2 R^2 g/(4\pi^2) \approx 4,2 \cdot 10^7 \text{ m}$.

6. $l_2=2l_1-l$.

7. $F_1 = \frac{m g l}{2(l-l_1)} = 312,5 \text{ H}$; $F_2 = mg-F_1 = 187,5 \text{ H}$.

8. $T = \frac{m}{2} \left(g + \frac{v^2}{l}\right) \approx 500 \text{ H}$.

9. $l_1 = 1 + \frac{4\pi R^3(2\varrho_a-\varrho_b)}{3m} \approx 1,6$ (ở đây $\varrho_b = 10^3 \text{ кг/m}^3$ là mật độ của nước).

10. $\alpha \approx \frac{N}{mgv} - \mu \approx 0,004 \text{ рад} \approx 0,23^\circ$.

11. $N = \mu F\pi Dn \approx 480 \text{ Bt}$.

12. $N = \eta \varrho g Vh \approx 225 \text{ MBt}$.

13. $Q = \frac{m_1 m_2(v_1^2+v_2^2)}{2(m_1+m_2)}$.

14. $h = \frac{m^2 v^2}{2g(m+M)^2} \approx 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ M} \approx 0,5 \text{ mm}$.

15. $A = 12$.

Vật lý phân tử. Kể hiện tượng

1. $m = m_0 p/p_0 = 0,5 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$.

2. $\Delta t = 273^\circ \text{C}$.

3. $h = p_0/(\varrho g) \approx 10 \text{ M}$ (ở đây $\varrho = 10^3 \text{ кг/m}^3$ là mật độ của nước).

4. $\varrho = \frac{p_0 \Delta m}{\Delta p V} \approx 1,8 \text{ кг/m}^3$.

Mô hình hình học đầy màu sắc này không phải là thành quả của trí tưởng tượng của nghệ sĩ mà là một bản vẽ toán học chính xác mô tả cái gọi là vùng Brillium. Mỗi vùng được trình bày ở đây có một màu khác nhau. Hình dạng của chúng khác nhau, nhưng diện tích của chúng giống nhau (chúng bằng diện tích của hình vuông trung tâm). Bạn có thể tìm hiểu các vùng Brillium đến từ đâu và tại sao chúng có đặc tính này trong bài báo của A. B. Goncharov trên tạp chí số này.