Bài toán M866—M870; F878—F882

Kvant 1984, số 6 tr. 33, 34, 37, 39, 40, 41, 42, 43 Thẻ DTSJ

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

Bài toán

M866—M870; F878—F882

M866. a) Trong tất cả các ô của hình vuông 20x20 có một người lính. Với mỗi d tối đa, liệu các binh lính có thể được sắp xếp lại vào các ô khác sao cho mỗi người di chuyển được một khoảng cách ít nhất là d không? (Khoảng cách thay đổi theo đường thẳng giữa tâm của ô cũ và ô mới; cạnh của ô là 1.)
Giải quyết tương tự bài toán
6) cho hình vuông 21×21;
c) để loại bỏ trực tiếp các ô m×n.

S. S. Krotov

M867. Trong một buổi học múa, 17 chàng trai và 17 cô gái xếp thành hai hàng song song tạo thành 17 cặp. Hơn nữa, ở mỗi cặp, chiều cao của bé trai chênh lệch với chiều cao của bé gái không quá mười cm. Chứng minh rằng nếu ở mỗi hàng bé trai và bé gái phát triển quá mức về chiều cao thì ở mỗi cặp bé trai và bé gái vẫn chênh nhau về chiều cao không quá mười cm.

A. G. Pechkovsky

M868. Các đường cao được vẽ từ các đỉnh của đáy tứ diện đến các mặt bên. Chứng minh rằng ba đường thẳng nối hai đáy của các đường cao ở mỗi mặt đều song song với cùng một mặt phẳng. (Góc phẳng ở một đỉnh không phải là góc vuông.)

I. F. Sharyzin

M869*. Các cặp số tự nhiên liên tiếp (8, 9); (288, 289) có tính chất là mỗi số này chứa bất kỳ thừa số nguyên tố nào ít nhất là lũy thừa bậc hai.
a) Tìm một cặp số liên tiếp tương tự.
6) Chứng minh rằng có vô số cặp như vậy.

A. V. Anzhans

M870. Ở một bên của hành lang vô tận có vô số phòng, được đánh số theo thứ tự số nguyên và mỗi bên có một cây đàn piano. Một số ít người theo chủ nghĩa panist sống trong những căn phòng này. (Một số người panist có thể sống trong một phòng.) Mỗi ngày, một số người panist sống ở các phòng lân cận - thứ k và (k+1)th - đi đến kết luận rằng họ đang gây trở ngại cho nhau và lần lượt chuyển đến phòng thứ (k−1) và (k+2). Chứng minh rằng sau một số hữu hạn ngày việc di chuyển này sẽ dừng lại.

V. G. Iltsev

F878. Hai bàn ủi nhẵn tạo thành góc α với đường chân trời nằm trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng (Hình 1). Từ điểm A của một bàn ủi và từ điểm B của bàn ủi khác, hai quả bóng được tạo ra đồng thời mà không có vận tốc rèn ban đầu. Thời gian chuyển động đến mặt phẳng ngang của quả bóng thứ nhất (từ điểm A) là $t_1$ , quả bóng thứ hai - $t_2$ . Sau bao lâu kể từ khi hai quả bóng bắt đầu chuyển động thì khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất?

P. IIIkhaliev

F879. Một ô tô có khối lượng M, gắn trên các lò xo có độ cứng $k$ , lăn dọc theo đoạn đường nằm ngang với tốc độ $v_0$ . Sau khi vượt qua đoạn đường thẳng nghiêng có độ cao H, tạo một góc α với đường chân trời (Hình 2), ô tô đạt tốc độ $v_x$ . Xác định giá trị $v_x$ , biến đổi nhờ lực ma sát ở các bánh xe. Hãy xem xét rằng chu kỳ dao động của varon trên các lò xo nhỏ hơn nhiều so với thời gian cần thiết để di chuyển phần nghiêng của đường ray và dài hơn nhiều so với thời gian cần thiết để di chuyển phần tròn nối phần nghiêng và phần nằm ngang của đường ray; các lò xo chỉ “lò xo” theo hướng vuông góc với mặt phẳng của ray.

I. P. Krylov

F880. Kìm bao gồm hai phần giống hệt nhau, được nối với nhau bằng một trục tại điểm O (Hình 3). Lực tác dụng lên trục là bao nhiêu nếu hai đầu tự do của kẹp bị nén với lực F? Không có tàu trong trục.

L. G. Markovich

F881. Hai quá trình nhiệt được thực hiện trên chất khí, làm nóng chất khí từ cùng một trạng thái đến cùng nhiệt độ cuối cùng. Trên sơ đồ $p$ -V, các quy trình được mô tả bằng các đường thẳng (Hình 4). Trong quá trình nào khí truyền nhiều nhiệt hơn?

A. I. Buzdin, S. S. Krotov

F882. Trong sơ đồ hiển thị ở Hình 5, $R_1 = R_2 = R_3 = R$ , $C_1 = C_2 = C$ . Xác định cường độ dòng điện qua nguồn bằng EMF $\beta$ a) tại thời điểm đầu tiên sau khi đóng công tắc K; 6) sau một khoảng thời gian dài hơn.

S. K. Strokov

Problems

M866—M870; P878—P882

M866. a) A toy soldier stands in each little square of a 20 by 20 square. For what largest $d$ can we interchange the soldiers so that each is moved a distance no less than $d$ ? The distance is the one between the centres of the corresponding little squares, whose sides are 1. Solve the same problem

b) for a 21 by 21 square;
c) for an $m$ by $n$ rectangle.

S. S. Krotov

cụ thể,
$|AX| + |AY| = (|AP| + |PT|) + (|AQ| + |QT|) = |AP| + |AQ| + |PQ| = 2,$
nghĩa là $|AX| = |AY| = 1$ hoặc $X = B, Y = D$ . Khi đóqua $P$ cách đều các đường thẳng $CB$ và $CT$ ( $|PB| = |PT|$ ), do đó $CP$ là phân giác của góc $BCT$ , tương tự, $CQ$ là phân giác của góc $DCT$ . Theo sau đó là $\widehat{QCP} = \widehat{DCB}/2 = 45^\circ$ .

A. V. Khodulev

M852. Gọi $x, y, z$ là độ dài các cạnh của tam giác. Chứng minh rằng các đại lượng
$\left| \frac{x-y}{x+y} + \frac{y-z}{y+z} + \frac{z-x}{z+x} \right|$
ít hơn $a)$ 1; $b)$ $^*$ 1/8.

◆

Trước tiên chúng ta hãy chứng minh rằng tổng của ba phân số đang xét có giá trị tuyệt đối bằng tích của chúng. Thay tử số của phân số cuối cùng $z-x$ bằng $(z-y) + (y-x)$ , ta được:

$\frac{x-y}{x+y} + \frac{y-z}{y+z} + \frac{z-x}{z+x} =$
$= (x-y) \left( \frac{1}{x+y} - \frac{1}{z+x} \right) + (y-z) \left( \frac{1}{y+z} - \frac{1}{z+x} \right) =$
$= \frac{(x-y)(y-z)}{z+x} \left( -\frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} \right) =$
$= \frac{(x-y)(y-z)(x-z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}.$

Bây giờ chúng ta sẽ đánh giá công việc này.

a) Vì $x, y, z$ là số dương nên các bất đẳng thức $|x-y| < x+y, |y-z| < y+z, |z-x| < z+x$ là hợp lệ, do đó

$\left| \frac{x-y}{x+y} \cdot \frac{y-z}{y+z} \cdot \frac{z-x}{z+x} \right| < 1.$

(Đối với điểm này, điều kiện $x, y, z$ là độ dài các cạnh của tam giác là không quan trọng.)

b) Độ dài các cạnh của tam giác thỏa mãn các bất đẳng thức sau: $|x-y| < z, |y-z| < x, |z-x| < y$ , do đó

$\left| \frac{x-y}{x+y} \cdot \frac{y-z}{y+z} \cdot \frac{z-x}{z+x} \right| < \frac{zxy}{(x+y)(y+z)(z+x)} =$
$= \frac{\sqrt{xy}}{x+y} \cdot \frac{\sqrt{yz}}{y+z} \cdot \frac{\sqrt{zx}}{z+x} \leqslant \frac{1}{8}$

(trong lần chuyển đổi trước, chúng tôi đã sử dụng bất đẳng thức giữa trung bình hình học và trung bình số học: $\sqrt{ab} \leqslant (a+b)/2$ cho $a > 0, b > 0$ ).

Nghiên cứu chi tiết hơn về các công cụ phân tích toán học cho phép chúng tôi thiết lập ước tính chính xác:

$\left| \frac{x-y}{x+y} + \frac{y-z}{y+z} + \frac{z-x}{z+x} \right| < \frac{16\sqrt{2}-10\sqrt{5}}{3} \approx 0,089;$

Sự bằng nhau trong ước lượng này đạt được đối với một tam giác suy biến có cạnh $z=1, y=(\sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{2})/2, x=z+y$ . Hãy cố gắng tự mình ước tính chính xác điều này.

A. V. Ermilov

Vẫn còn phải chứng minh rằng tập hợp đã chỉ định có thể được xây dựng lại từ các kết quả về kích thước. Thật vậy, trong số đồng chỉ có một đồng xu có mệnh giá 1 kopeck, do đó, trong bộ ban đầu, tất cả các đồng xu ngoại trừ một đồng phải là mười kopeck, và đồng xu còn lại, rõ ràng, chỉ có thể là mười lăm kopeck.

B.I. Bắt đầu

M855. Có thể xuyên qua một hình tứ diện đều cứng có cạnh 1 qua một vòng có đường kính a) 1; b) 0,95; c) 0,9; e) 0,85?

a) Đáp số: bạn có thể. Để làm điều này, chúng ta định vị khối tứ diện sao cho đường thẳng đi qua tâm của hai cạnh giao nhau của nó vuông góc với mặt phẳng của hình tròn và đi qua tâm của nó (Hình 1).

Đáp số: bạn có thể. Hãy chứng minh rằng một tứ diện có thể đi qua một đường tròn có đường kính $3/\sqrt{11} \approx 0,905 < 0,95$ ; đây là đường kính của đường tròn đi qua đỉnh của tứ diện và trung điểm của hai cạnh đáy.

Chúng ta hãy đặt một vòng tròn như vậy trên đỉnh $A$ của tứ diện $ABCD$ và nâng nó lên sao cho nó đi qua đỉnh $B$ và các điểm giữa $M$ và $N$ của các cạnh $AC$ và $AD$ (Hình 2). Sau đó, chúng ta sẽ xoay hình tròn quanh trục $MN$ theo đỉnh $B$ . Mặt phẳng của hình tròn sẽ cắt tứ diện dọc theo hình thang $MNL_1K_1$ . Đường kính của hình tròn ngoại tiếp hình thang này là $|NK_1|/\sin NMK_1$ ; dễ dàng tính được rằng trong quá trình quay nó giảm ( $|NK_1|$ giảm và $\sin NMK_1$ tăng). Do đó, hình tròn có thể được quay mà không gặp trở ngại nào cho đến khi rơi vào mặt phẳng $MNLK$ , trong đó $K$ và $L$ là trung điểm của các cạnh $BC$ và $BD$ . Bây giờ nó có thể được gỡ bỏ khỏi khối tứ diện qua cạnh $CD$ giống như cách chúng ta đặt nó qua $AB$ (trục quay tương tự như $MN$ , trong trường hợp này là đường thẳng $MK$ hoặc $NL$ ).

b) Đáp số: có thể. Chúng tôi tiến hành gần giống như trong trường hợp 6), nhưng chúng tôi lấy các điểm $M$ và $N$ ở khoảng cách $|AM| = |AN| = 1/3$ tính từ đỉnh $A$ (trên cùng các cạnh). thì đường kính của hình tròn ngoại tiếp tam giác $BMN$ là $14/9\sqrt{3} \approx 0,898 < 0,9$ . Trình tự kéo thay đổi một chút: sau khi quay quanh $MN$ , mặt phẳng của hình tròn trở nên song song với cạnh $AB$ , hình tròn phải được di chuyển song song sao cho chạm vào các cạnh $CA$ và $CB$ tại các điểm

cách đỉnh $C$ một khoảng 1/3, sau đó “theo thứ tự ngược lại” sẽ loại bỏ đường tròn đi qua $CD$ .

d) Đáp số: không thể được. Một tam giác đều ở cạnh 1 không thể kéo qua một hình tròn có đường kính nhỏ hơn chiều cao của tam giác này, tức là nhỏ hơn $\sqrt{3}/2>0,85$ . Nhưng còn hơn thế nữa, qua một đường tròn có đường kính 0,85 không thể kéo được một khối tứ diện, tất cả các mặt của chúng đều là hình tam giác đều.

V. V. Proizvolov

Biên tập. Sau đó, bài toán đã được chuẩn bị để in và bất chấp điều này, nó đã xuất hiện trong cuốn sách vừa được xuất bản trong bộ Thư viện «Kvant» của I. F. Sharygin “Bài toán về hình học (hình lập thể)” (M., 1984, bài toán 261). Ngoài ra còn có cách tính đường kính của hình tròn nhỏ nhất mà qua đó có thể kéo được một khối tứ diện có cạnh dài 1. Đường kính này xấp xỉ bằng 0,896; việc kéo được thực hiện theo nguyên tắc tương tự như trong lời giải bài toán c).

F862. Một thấu kính có tiêu cự $F$ và đường kính $d$ được đưa vào một lỗ có cùng đường kính trên màn chắn làm bằng vật liệu dải sáng $(d/F<2)$ . Màn hình được đặt sao cho trục quang của đường thẳng trùng với mặt phẳng phân giác và vuông góc với cạnh của góc vuông nhị diện (Hình 1). Các cạnh nằm ở giữa. Việc xem xét từ cạnh của đường thẳng đến tiêu điểm của đường thẳng là $a(a>F)$ . Màn hình được chiếu sáng bởi một chùm sáng rộng song song với trục đường thẳng. Hỏi phần chùm tia sáng phản xạ từ gương sẽ thoát ra và đi qua đường thẳng đó là bao nhiêu? Các chùm tia này tạo ra ảnh ở khoảng cách bao nhiêu so với đường thẳng đó?

Một chùm tia đi qua thấu kính được thu lại tại tiêu điểm của nó (Hình 2). Các tia, chỉ số hội tụ, rơi tới gương ở góc tù (kể từ $d/F<2$ ). Do đó, sau lần phản xạ đầu tiên từ một trong các gương, các tia sáng sẽ chiếu vào gương thứ hai. Sau khi phản xạ từ hai gương, tất cả các tia sáng (tất cả thông lượng ánh sáng) đều chiếu lên màn hứng một thấu kính.

Đối với một thấu kính, nguồn của các tia này là ảnh nhỏ nhất $S$ của tiêu điểm thấu kính, được tạo bởi các mặt gương của góc cách thấu kính một khoảng $2a+F$ . Chỉ các tia nằm bên trong góc đặc $\Omega$ mới đi qua thấu kính (Hình 2 thể hiện các tia giới hạn chùm tia đi ra).

Tỷ lệ $k$ của quang thông phản xạ từ gương và truyền lại qua thấu kính bằng quang thông tương đối truyền góc khối bên trong $\Omega$ tới quang thông phản xạ từ gương. Nhưng quang thông truyền góc đặc bên trong $\Omega$ bằng quang thông đi vào thấu kính của chùm tia bên trong có đường kính $\delta$ (Hình 2), và quang thông phản xạ từ gương bằng quang thông đi vào thấu kính, tức là quang thông của chùm sáng bên trong.

chùm tia có đường kính $d$ . Kể từ đây,

$k = \left( \frac{\delta}{d} \right)^2.$

Mỗi tia sáng đi qua thấu kính sau khi bị phản xạ hai lần từ gương sẽ đổi hướng theo hướng ngược lại. Do đó (xem hình 2),

$\frac{\delta}{d} = \frac{F}{F+2a}$

Và

$k = \left( \frac{F}{F+2a} \right)^2.$

Ảnh thật $S_1$ của nguồn $S$ do thấu kính tạo ra nằm trên trục quang chính của thấu kính. Khoảng cách $x$ từ $S_1$ đến thấu kính được xác định theo công thức thấu kính:

$\frac{1}{F} = \frac{1}{F+2a} + \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{F(F+2a)}{2a}.$

A. A. Lapides

F863. Trong một lỗ khái niệm có góc 2a, một quả bóng nhảy lên trên, phản xạ đàn hồi khỏi thành lỗ. Các điểm va chạm của quả bóng với tường nằm ở cùng độ cao (Hình 1); thời gian từ lúc va chạm đến va chạm là không đổi và bằng $T$ . Tốc độ bắt trung bình của bóng quanh trục lỗ là bao nhiêu nếu tốc độ tối đa của bóng $v$ nằm trong khoảng từ $\frac{1}{2}gT$ đến $\frac{gT}{2\sin \alpha}$ ?

Hình 2 cho thấy: 1 - mặt phẳng chứa vectơ vận tốc của quả bóng rơi và phản xạ, 2 - mặt phẳng nằm ngang, 3 - mặt phẳng tiếp xúc với bề mặt lỗ tại điểm va chạm. Thời gian từ lúc va chạm đến va chạm sẽ chỉ không đổi nếu mặt phẳng 1 vuông góc với mặt phẳng 3 và góc $\varphi$ - góc giữa vectơ vận tốc của quả bóng ngay sau va chạm và mặt phẳng nằm ngang - sao cho sin $\varphi = gT/2v$ . Trong trường hợp này, cos $\gamma$ (γ là góc giữa hình chiếu của vận tốc quả bóng trước và sau khi va chạm vào mặt phẳng nằm ngang) có thể được xác định bằng công thức

$\cos \gamma = \frac{tg \varphi}{tg \alpha} = \left( tg^2 \alpha \cdot \left( 1 - \frac{g^2 T^2}{4v^2} \right) \right)^{-1/2}.$

Hình 1.

Hình 2.

Hình 3.

Nhưng cos $\gamma = \sin \gamma_1$ (Hình 3; $2\gamma_1 = (\pi - 2\gamma)$ là góc quay của mặt phẳng chuyển động của quả bóng quanh trục của lỗ theo thời gian $T$ ). Điều này có nghĩa là tốc độ bắt bóng trung bình là

$\omega = \frac{2}{T} \arcsin \left( tg^2 \alpha \cdot \left( 1 - \frac{g^2 T^2}{4v^2} \right) \right)^{-1/2}.$

Ồ, vâng. Savchenko

F864. Cậu bé chậm rãi leo lên ngọn đồi tuyết và

Tacitus ở phía sau anh ta trên sợi dây trượt tuyết. Sợi dây luôn song song với tiếp tuyến của cầu trượt tại điểm đặt vật nhỏ. Đỉnh đồi nằm ở độ cao H và cách chân đồi một khoảng l (Hình 1). Trẻ sẽ phải làm bao nhiêu công khi nâng xe trượt lên đồi? Khối lượng của xe trượt là m, hệ số ma sát của xe trượt trên tuyết là μ.

Hình 1.

Hình 2.

F865. Hãy ước tính kích thước nguyên tử của ruti nếu biết: σ là hệ số sức căng bề mặt của ruti (tính theo đơn vị năng lượng/diện tích), q là mật độ của ruti, r là nhiệt dung riêng bay hơi của ruti.

và chống lại lực ma sát $A_2$ . Để tìm $A_2$ , hãy xem xét các chuyển động nhỏ $\Delta s$ của xe trượt dọc theo đường trượt. Để tiếp tuyến của ngọn đồi ở nơi này tạo một góc α với đường chân trời (Hình 2). Vì quá trình nâng lên diễn ra chậm và lực căng T trong dây hướng dọc theo tiếp tuyến (dọc theo $\Delta s$ ), nên chúng ta có thể giả sử rằng chiếc xe trượt luôn ở trạng thái cân bằng, và

$f_{\tau p} = \mu N = \mu mg \cos \alpha.$

Công $\Delta A_2$ thực hiện chống lại lực ma sát khi chuyển động đến $\Delta s$ bằng

$\Delta A_2 = \mu mg \cos \alpha \cdot \Delta s.$

Như có thể thấy trên Hình 2, $\Delta s \cdot \cos \alpha = \Delta x$ là chuyển động của xe trượt theo phương ngang. Vì vậy, rõ ràng là công sinh ra chống lại lực ma sát khi nâng chiếc xe trượt lên độ cao H bằng

$A_2 = \mu m g l,$

vì $l$ là tổng chuyển động ngang của xe trượt trong quá trình nâng.

Vậy tổng công mà người nhỏ thực hiện bằng

$A = A_1 + A_2 = mg H + \mu m g l = mg (H + \mu l)$

và không phụ thuộc vào profile của slide.

A. I. Buzdin

◆ Với mật độ phân tử dày đặc (điều này hoàn toàn đúng với chất lỏng), mỗi phân tử có 12 phân tử lân cận. (Hãy tự thể hiện điều này. Gợi ý: hãy nhìn vào các góc đặc mà tại đó các lân cận của nó có thể nhìn thấy được từ tâm của phân tử.) Trong số 12 phân tử này, 6 phân tử bao quanh nó bằng một kolyst và ba phân tử nữa nằm ở mỗi bên của mặt phẳng dung dịch kiềm. Khi chúng ta tạo ra một bề mặt tự do phẳng, chúng ta xé 3 trong số 12 phân tử khỏi phân tử, tức là chúng ta phá vỡ 1/4 tổng số liên kết.

Vì vậy, bằng cách tạo ra một bề mặt tự do có diện tích S, chúng ta thực hiện được công việc

$A = \sigma S = \frac{1}{4} r m = \frac{1}{4} r V \varrho = \frac{1}{4} r S d \varrho,$

trong đó $d$ là đường kính của các phân tử (“chiều cao” của một lớp). Từ đây

$d = \frac{4 \sigma}{r \varrho}.$

Đối với ruti $\sigma = 0,47$ J/ $m^2$ , $\varrho = 13,6 \cdot 10^3$ kg/ $m^3$ , $r = 2,82 \cdot 10^5$ J/ $\mathrm{kg}$ và $d \approx 5 \cdot 10^{-10}$ m.

Hãy ước tính đường kính của một phân tử theo cách tiêu chuẩn - theo thể tích chiếm bởi 1 phân tử: thể tích trên 1 phân tử

$v = \frac{\mu}{\varrho N_A} = \frac{1}{6} \pi d^3,$

Ở đâu

$d = \left( \frac{6 \mu}{\pi \varrho N_A} \right)^{1/3}.$

Đối với ruti $\mu = 0,2$ kg/ $\mathrm{mol}$ và $d \approx 3,6 \cdot 10^{-10}$ m, tức là ước tính của chúng tôi về liên kết năng lượng là hoàn toàn hợp lý.

Hãy xem xét liệu phương pháp ước tính này (dựa trên năng lượng liên kết) có phù hợp với các phân tử đa nguyên tử hay không.
Yu. A. Rodionov, A. Ya. Ykovlev

F866. Bể điện chính trị được kết nối thông qua một diode lý tưởng với mạng điện áp xoay chiều (Hình 1). Tìm số chỉ của ampe nhiệt (A) nếu biết rằng trong thời gian t=1 giờ m=1,078 g đồng được giải phóng ở katode. Đương lượng điện hóa của đồng k=0,33 · 10⁻⁶ kE/CL.

Hình 1.

Hình 2.

Theo Định luật Faraday thứ nhất, m=kq, khai mạc

$q = \frac{m}{k},$

(1)

trong đó q là điện tích truyền qua chất điện phân trong thời gian t.

Hình 2 cho thấy sự thay đổi dòng điện trong mạch với một diode lý tưởng. Như có thể thấy trên hình, tổng điện tích truyền qua mạch trong thời gian t bằng

$q = q_{T/2} \cdot \frac{t}{T},$

trong đó $q_{T/2}$ là điện tích truyền qua mạch trong nửa chu kỳ dao động của dòng điện trong mạng, bằng

$q_{T/2} = \int_{0}^{T/2} I_m \sin \omega t dt = -\frac{I_m}{\omega} \cos \omega t \Bigg|_{0}^{T/2} = \frac{I_m}{\pi} T.$

Như vậy,

$q = \frac{I_m}{\pi} T \cdot \frac{t}{T} = \frac{I_m}{\pi} t.$

(2)

Từ (1) và (2) giá trị hiện tại trong mạng được tìm thấy:

$I_m = \frac{\pi m}{kt}.$

(3)

Lượng cơ thể giải phóng ở cường độ dòng điện trong thời gian t bằng Q=Q_{T/2} \cdot \frac{t}{T}, trong đó Q_{T/2} là nhiệt tỏa ra trong nửa thời gian thay đổi dòng điện, bằng

$Q_{T/2} = \frac{I_m^2}{2} R \frac{T}{2}.$

Kể từ đây,

$Q = \frac{I_m^2}{4} R t.$

Ở trạng thái cân bằng nhiệt được thiết lập, công suất trung bình được giải phóng ở cường độ dòng điện bằng

$\bar{p} = \frac{I_m^2}{4} R.$

Ampe nhiệt được hiệu chỉnh theo giá trị dòng điện hiệu dụng. Điều này có nghĩa là số đọc của bộ khuếch đại I_A được xác định bởi sự tương ứng

$\bar{p} = I_A^2 R = \frac{I_m^2}{4} R \Rightarrow I_A = \frac{I_m}{2}.$

Thay thế biểu thức tìm được cho I_m (xem (3)), chúng ta tìm thấy:

$I_A = \frac{\pi m}{2kt} = \frac{3,14 \cdot 1,078 \text{ r}}{2 \cdot 0,33 \cdot 10^{-3} (\text{r/KJ}) \cdot 3600 \text{ c}} \approx 1,43 \text{ A}.$

B. A. Mukushev