Задачи М866—М870; Ф878—Ф882

33

Задачи

М866—М870; Ф878—Ф882

М866. а) Во всех клетках квадрата 20×20 стоит по одному солдатку. Для каждого наиболее d можно переставить солдатков в другие клетки так, чтобы каждый передвинулся на расстояние не меньше d? (Расстояние изменяется по прямой между центрами старов и новой клеток; сторона клетки равна 1.)
Решите эту же задачу
6) для квадрата 21×21;
в) для прямого лыния m×n клеток.

С. С. Кротов

М867. На уроке танцев 17 мальчиков и 17 девочек построили двумя параллельными рядами так, что образовались 17 пар. При этом в каждой паре рост мальчика отличался от роста девочек не более чем на десять сантиметров. Доказите, что если в каждой ряду переростить мальчиков и девочек по росту, то по-прежнему в каждой паре мальчик и девоcka будет отличаться по росту не более чем на десять сантиметров.

А. Г. Печковский

М868. Из вершин основания tetraэдра в боковых гранах проведены высоты. Доказите, что три прямые, соединяющие основания высот в каждой грани, параллельны одной плоскости. (Плоские углы при вершине — не прямые.)

И. Ф. Шарыzin

М869*. Пары последовательных натуральных чисел (8, 9); (288, 289) обладают тем свойством, что каждое из этих чисел содержит любой простой множитель не менее чем во второй степени.
а) Найдите еще одну такую пару последовательных чисел.
6) Доказите, что существует бесконечного много таких пар.

А. В. Анджанс

М870. По одной стороны бесконечного коридора расположено бесконечное число комнат, занумерованных по порядку целыми числами, и в каждой стороне по роялю. В этих комнатах живет неокотное число панистов. (В одной комнате может жить и несколько панистов.) Каждый день какие-то два паниста, живущие в соседних комнатах — k-й и (k+1)-й — приходят к выводу, что они мешают друг другу, и переселяются соответственно в (k−1)-ю и (k+2)-ю комнаты. Доказите, что через конечное число дней эти переселяния прекратятся.

В. Г. Ильцев

34

Ф878. Два гладких железа, образующих с горизонтом углы α, расположены в одной вертикальной плоскости (рис. 1). Из точки A одного железа и из точки B другого железа одновременно без начальных скоростей начальной сковательства два шарика. Время движения до горизонтальной плоскости первого шарика (из точки A) — $t_1$, второго — $t_2$. Через какое время после начала движения шариков расстояние между ними было наименьшим?

П. IIIхалиев

Ф879. Вагон массы M, установленный на рессорах с жесткостью $k$, катится по горизонтальном участку пути со скоростью $v_0$. После прохождения прямолинейного наклонного участка пути с перепадом высот H, составляющего угол α с горизонтом (рис. 2), вагон прибретает скорость $v_x$. Определить значение $v_x$, преобразая тренем в колесах. Считать, что период колебаний варона на рессорах много меньше времени прохождения наклонного участка пути и много больше времени прохождения скругленной, сопрягающих наклонный и горизонтальные участки пути; рессоры «пружинят» только в направлении, перpendикулярном плоскости рельсов.

И. П. Крылов

Ф880. Клещи состоит из двух одинаковых частей, скрепленных осью в точке O (рис. 3). Какова сила, действующая на ось, если свободные концы kleшей скжимают с силой F? Трене в оси отсутствует.

Л. Г. Маркович

Ф881. Над газом совершают два тепловых процесса, нагрева его из одного и того же состояния до одной и той же конечной температуры. На $p$—V-диаграмме процессы изображаются прямыми линяями (рис. 4). При каком из процессов газу сообщается большее количество теплла?

А. И. Буздин, С. С. Кротов

Ф882. В схеме, приведенной на рисунке 5, $R_1 = R_2 = R_3 = R$, $C_1 = C_2 = C$. Определить величины тока через источник с ЭДС $\beta$ a) в первый момент времени после замыкания ключа K; 6) спустя большей промежуток времени.

С. К. Строков

Problems

M866—M870; P878—P882

M866. a) A toy soldier stands in each little square of a 20 by 20 square. For what largest $d$ can we interchange the soldiers so that each is moved a distance no less than $d$? The distance is the one between the centres of the corresponding little squares, whose sides are 1. Solve the same problem

b) for a 21 by 21 square;
c) for an $m$ by $n$ rectangle.

S. S. Krotov

37

вательно,
$$|AX| + |AY| = (|AP| + |PT|) + (|AQ| + |QT|) = |AP| + |AQ| + |PQ| = 2,$$
то есть $|AX| = |AY| = 1$ или $X = B, Y = D$. Тоqua $P$ равноудалена от прямых $CB$ и $CT$ ($|PB| = |PT|$), поэтому $CP$ — биссектриса угла $BCT$, аналогично, $CQ$ — биссектриса угла $DCT$. Отсюда вытекает, что $\widehat{QCP} = \widehat{DCB}/2 = 45^\circ$.

А. В. Ходулев

M852. Пусть $x, y, z$ — длины сторон треугольника. Доказите, что величины
$$\left| \frac{x-y}{x+y} + \frac{y-z}{y+z} + \frac{z-x}{z+x} \right|$$
меныше $a)$ 1; $b)$ $^*$ 1/8.

◆

Докажем сначала, что расматриваемая сумма трех дробей по абсолотной величины равна их произведению. Заменяя числитель последней дроби $z-x$ на $(z-y) + (y-x)$, получим:

$$\frac{x-y}{x+y} + \frac{y-z}{y+z} + \frac{z-x}{z+x} =$$
$$= (x-y) \left( \frac{1}{x+y} - \frac{1}{z+x} \right) + (y-z) \left( \frac{1}{y+z} - \frac{1}{z+x} \right) =$$
$$= \frac{(x-y)(y-z)}{z+x} \left( -\frac{1}{x+y} + \frac{1}{y+z} \right) =$$
$$= \frac{(x-y)(y-z)(x-z)}{(x+y)(y+z)(z+x)}.$$

Тепер будем оценивать это произведение.

a) Поскольку $x, y, z$ — положительные числа, справедливые неравенства $|x-y| < x+y, |y-z| < y+z, |z-x| < z+x$, поэтому

$$\left| \frac{x-y}{x+y} \cdot \frac{y-z}{y+z} \cdot \frac{z-x}{z+x} \right| < 1.$$

(Для этого пункта условие, что $x, y, z$ — длины сторон треугольника, несущественно.)

b) Длины сторон треугольника удовлетворяют следующим неравенствам: $|x-y| < z, |y-z| < x, |z-x| < y$, поэтому

$$\left| \frac{x-y}{x+y} \cdot \frac{y-z}{y+z} \cdot \frac{z-x}{z+x} \right| < \frac{zxy}{(x+y)(y+z)(z+x)} =$$
$$= \frac{\sqrt{xy}}{x+y} \cdot \frac{\sqrt{yz}}{y+z} \cdot \frac{\sqrt{zx}}{z+x} \leqslant \frac{1}{8}$$

(в последнем перехode мы использовали неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим: $\sqrt{ab} \leqslant (a+b)/2$ при $a > 0, b > 0$).

Более подробное исследование средств математического анализа позволяет установить точную оценку:

$$\left| \frac{x-y}{x+y} + \frac{y-z}{y+z} + \frac{z-x}{z+x} \right| < \frac{16\sqrt{2}-10\sqrt{5}}{3} \approx 0,089;$$

равенство в этой оценке достигается для вырожденного треугольника со сторонами $z=1, y=(\sqrt{10} + \sqrt{5} + \sqrt{2})/2, x=z+y$. Попробуйте получить эту точную оценку самостояльно.

A. В. Ermилов

39

Остается еще доказать, что указаный набор можно восстановить по результатам размера. Действительно, среди меди имеется только одна монета достоинством 1 коп., поэтому в исходном наборе все монеты, кроме одной, должны быть десятикопеечными, а оставшаяся, очевидно, может быть только пятнадцатикопеечной.

Б. И. Бегун

M855. Можно ли жесткий правильный тетраэдр с ребром 1 протацить сквозь обруч диаметра a) 1; б) 0,95; в) 0,9; е) 0,85?

a) Ответ: можно. Для этого располагаем тетраэдр так, чтобы прямая, проходящая через середины двух его скрещивающихся ребер, была перпендикулярна плоскости окружности и проходила через ее центр (рис. 1).

6. Ответ: можно. Покажем, что тетраэдр можно протацить сквозь окружность диаметра $3/\sqrt{11} \approx 0,905 < 0,95$; это диаметр окружности, проходящий через вершину тетраэдра и середины двух ребер основания.

Наденем такую окружность на вершину $A$ тетраэдра $ABCD$ и продвинем ее так, чтобы она прошла через вершину $B$ и середины $M$ и $N$ ребер $AC$ и $AD$ (рис. 2). После этого будем поворачивать окружность вокруг оси $MN$ за вершину $B$. Плоскость окружности будет пересекать тетраэдр по трапеции $MNL_1K_1$. Диаметр окружности, описанной около этой трапеции, равен $|NK_1|/\sin NMK_1$; нетрудно подсчитать, что при врашении он уменьшается ($|NK_1|$ уменьшается, а $\sin NMK_1$ растет). Поэтому окружность можно поворачивать беспрепятственно, пока она не попадет в плоскость $MNLK$, где $K$ и $L$ — середины ребер $BC$ и $BD$. Теперь ее можно снять с тетраэдра через ребро $CD$ точно так же, как мы надели ее через $AB$ (осью врашения, аналогичной $MN$, при этом будет прямая $MK$ или $NL$).

b) Ответ: можно. Поступаем примерно так же, как в случае 6), но точки $M$ и $N$ берем на расстояниях $|AM| = |AN| = 1/3$ от вершины $A$ (на тех же ребрах). тогда диаметр окружности, описанной около треугольника $BMN$, равен $14/9\sqrt{3} \approx 0,898 < 0,9$. Последовательность протаскивания чут-чут изменяется: после того как в результате врашения вокруг $MN$ плоскость окружности станет параллельной ребру $AB$, окружность нужно параллельно переести так, чтобы она коснулась ребер $CA$ и $CB$ в точках,

40

отстоящих от вершины $C$ на расстояние 1/3, а затем «обратным порядком» снимает окружность через $CD$.

г) Ответ: нельзя. Равносторонний треугольник со стороны 1 нельзя протащить сквозь окружность, диаметр которого меньше высоты этого треугольника, то есть меньше $\sqrt{3}/2>0,85$. Но тогда тем более сквозь окружность диаметра 0,85 нельзя протащить тетраэдр, все грани которого — такие равносторонние треугольники.

В. В. Произвольов

Отредакции. После того как эта задача была подготовлена к печати и независямо от этого, она появилась в только чтоышедшей в серии Библиотека «Квант» книге И. Ф. Шарыгина «Задачи по геометрии (стереометрия)» (М., 1984, задача 261). Там же приводится вычисление диаметра наименьшей окружности, сквозь которого можно протащить тетраэдр с ребром длины 1. Этот диаметр примерно равен 0,896; протаскивание осуществляется по тому же принципу, что в решении задачи в).

Ф862. Линза с фокусным расстоянием $F$ и диаметром $d$ вставлена в отверстие такого же диаметра в экране из светополощацоцезо материала $(d/F<2)$. Экран расположен так, что оптическая ось линии совпадает с биссектральной плоскостью и перpendикулярна ребру двуугранного прямого угла (рис. 1). Грани уела посередében. Рассмотрение от ребра уела до фокуса линии равно $a(a>F)$. Экран освещается широким пучком, параллельным оси линии. Какая доля светового пучка, отраженного от зерка, выйдет наружу, пройдет через линия? На каком расстоянии от линия эти пучки дают изображение?

Пучок лучей, прошедших через линзу, собирается в ее фокусе (рис. 2). Лучи, индические фокуса, падают на зеркала под тупыми углами (так как $d/F<2$). Поэтому после первого отражения от одного из зеркала лучи падают на второе зеркало. После отражения от двух зеркал все лучи (все световой поток) падают на экран с линзой.

Для линзы источником этих лучей является минимое изображение $S$ фокуса линзы, создаваемое зеркальными гранями угла на расстоянии $2a+F$ от линзы. Сквозь линзы наружу проходит лишь лучи, лежащие внутри телесного угла $\Omega$ (на рисунке 2 показаны лучи, ограничивающие выходящий пучок).

Доля $k$ светового потока, отраженного от зеркал и проходшего повторно через линзу, равна относительной светового потока, распространяющего внутреннюю телесного угла $\Omega$, к световому потоку, отраженной от зеркал. Но световой поток, распространяющий внутреннюю телесного угла $\Omega$, равен световому потоку, входящему в линзу внутренний пучка диаметра $\delta$ (рис. 2), а световой поток, отраженный от зеркал, равен световому потоку, входящему в линзу, то есть световому потоку внутренний пучок.

41

пучка диаметра $d$. Следовательно,

$$k = \left( \frac{\delta}{d} \right)^2.$$

Каждай прошедший через линзу луч после двукратного отражения от зеркал меняет свое направление на обратное. Следовательно (см. рис. 2),

$$\frac{\delta}{d} = \frac{F}{F+2a}$$

и

$$k = \left( \frac{F}{F+2a} \right)^2.$$

Действительное изображение $S_1$ источника $S$, создаваемое линзой, находится на главной оптической оси линзы. Расстояние $x$ от $S_1$ до линзы определяется по формуле линзы:

$$\frac{1}{F} = \frac{1}{F+2a} + \frac{1}{x} \Rightarrow x = \frac{F(F+2a)}{2a}.$$

A. A. Лапидес

Ф863. В концепской лунке с углом 2а при вершине прыгает шарик, упруго отражаясь от стенки лунки. Точки соударения шарика со стенкой лежат на одной и той же высоте (рис. 1); время от удара до удара постоянно и равно $T$. Чему равна средняя уловая скорость движения шарика вокруг оси лунки, если максимальная скорость шарика $v$ лежит в диапазоне от $\frac{1}{2}gT$ до $\frac{gT}{2\sin \alpha}$?

На рисунке 2 изображены: 1 — плоскость, в которой лежат векторы скоростей падающего и отраженного шарика, 2 — горизонтальная плоскость, 3 — плоскость, касательная к поверхности лунки в точке удара. Время от удара до удара будет оставаться постоянным только в том случае, когда плоскость 1 будет перpendикулярна плоскости 3, а угол $\varphi$ — угол между вектором скорости шарика сразу же после удара и горизонтальной плоскостью — будет таким, что sin $\varphi = gT/2v$. В этом случае cos $\gamma$ (γ — положина угла между проекциями скоростей шарика до и после удара на горизонтальной плоскости) можно определить по формуле

$$\cos \gamma = \frac{tg \varphi}{tg \alpha} = \left( tg^2 \alpha \cdot \left( 1 - \frac{g^2 T^2}{4v^2} \right) \right)^{-1/2}.$$

Рис. 1.

Рис. 2.

Рис. 3.

Но cos $\gamma = \sin \gamma_1$ (рис. 3; $2\gamma_1 = (\pi - 2\gamma)$ — угол поворота плоскости движения шарика вокруг оси лунки за время $T$). Значит, средняя уловая скорость шарика равна

$$\omega = \frac{2}{T} \arcsin \left( tg^2 \alpha \cdot \left( 1 - \frac{g^2 T^2}{4v^2} \right) \right)^{-1/2}.$$

О. Я. Савченко

Ф864. Мальчик медленно поднимается на снежную горку и

42

тацит за собой на веревке санки. Веревка все время паралельна касательной к горке в той точке, в которой находится малый. Вершина горки расположена на высоте H и на расстоянии l от ее основания (рис. 1). Какую работу совершит малый при поднятии санок на горку? Масса санок m, коэффициент треня санок о снег μ.

Рис. 1.

Рис. 2.

Ф865. Оцените размер atoma рути, если известны: σ — коэффициент поверхностного натяжения рути (в единицах энергия / площадь), q — плотность рути, r — удельная теплота парообразования рути.

и работы против силы треня $A_2$. Чтобы найти $A_2$, рассмотрим небольшие перемещение $\Delta s$ санок вдоль горки. Пусть касательная к горке в этом месте составляет угол α с горизонтом (рис. 2). Поскольку подъем медленный и сила натяжения ввервики T направлена вдоль касательной (вдоль $\Delta s$), можно считать, что санки все время находятся в равновесии, и

$$f_{\tau p} = \mu N = \mu mg \cos \alpha.$$

Работа $\Delta A_2$, совершаемая против силы треня при перемещении на $\Delta s$, равна

$$\Delta A_2 = \mu mg \cos \alpha \cdot \Delta s.$$

Как видно из рисунка 2, $\Delta s \cdot \cos \alpha = \Delta x$ — перемещение санок в горизонтальном направлении. Так что ясно, что результатирующая работа против силы треня при поднятии санок на высоту H равна

$$A_2 = \mu m g l,$$

так как $l$ — суммарное горизонтальное перемещение санок при подъеме.

Таким образом, полная работа, совершаемая малымом, равна

$$A = A_1 + A_2 = mg H + \mu m g l = mg (H + \mu l)$$

и не зависит от профиля горки.

А. И. Буздин

◆ При плотной упаковке молекул (что в полне справедливо для жидкости) каждый молекula имеет 12 соседей. (Показите это самостояльно. Подсказка: рассмотните телесные углы, в которых видны из центра молекулы ее соседи.) Из этих 12 молекул 6 окружают ее колыстом, а еще по три молекулы находятся с каждой стороны от плоскости колыста. Когда мы создаем плоскую свободную поверхность, мы отрываем от молекулы по 3 молекулы из 12, то есть разрываем четверть всех связей.

Итак, создавая свободную поверхность площади S, мы совершаем работу

$$A = \sigma S = \frac{1}{4} r m = \frac{1}{4} r V \varrho = \frac{1}{4} r S d \varrho,$$

где $d$ — диаметр молекул («высота» одного слоя). Отсюда

$$d = \frac{4 \sigma}{r \varrho}.$$

Для рути $\sigma = 0,47$ Дж/$m^2$, $\varrho = 13,6 \cdot 10^3$ кг/$m^3$, $r = 2,82 \cdot 10^5$ Дж/$\mathrm{kg}$, и $d \approx 5 \cdot 10^{-10}$ м.

Оценим диаметр молекулы стандартным способом — по объему, занимаемому 1 молекам: на 1 молекул прихождения объем

$$v = \frac{\mu}{\varrho N_A} = \frac{1}{6} \pi d^3,$$

откуда

$$d = \left( \frac{6 \mu}{\pi \varrho N_A} \right)^{1/3}.$$

Для рути $\mu = 0,2$ кг/$\mathrm{mol}$, и $d \approx 3,6 \cdot 10^{-10}$ м, то есть наша оценка по энергии связывает полне разумна.

43

Подумайте, годится ли такой способ оценки (по энергии связи) для многоатомных молекул.
Ю. А. Родионов, А. Я. Яковлев

Ф866. Электропolitическаяванна подключаена через идеальный диод к сети переменного напряжения (рис. 1). Найти показание теплового амператора (A), если известно, что за время t=1 ч на katode выделяется m=1,078 г меди. Электрохимический эквивалент меди k=0,33 · 10⁻⁶ кЕ/КЛ.

Рис. 1.

Рис. 2.

Согласно I закону Фарадея, m=kq, открывая

$$q = \frac{m}{k},$$

(1)

где q — заряд, прошедший через электролит за время t.

На рисунке 2 показано изменение тока в цепи с идеальным диодом. Как видно из рисунка, суммарный заряд, прошедший по цепи за время t, равен

$$q = q_{T/2} \cdot \frac{t}{T},$$

где $q_{T/2}$ — заряд, проходящий по цепи за половину периода колбаний тока в сети, равный

$$q_{T/2} = \int_{0}^{T/2} I_m \sin \omega t dt = -\frac{I_m}{\omega} \cos \omega t \Bigg|_{0}^{T/2} = \frac{I_m}{\pi} T.$$

Таким образом,

$$q = \frac{I_m}{\pi} T \cdot \frac{t}{T} = \frac{I_m}{\pi} t.$$

(2)

Из (1) и (2) находится значение тока в сети:

$$I_m = \frac{\pi m}{kt}.$$

(3)

Количество тела, выделяющего на ампературе за время t, равно Q=Q_{T/2} \cdot \frac{t}{T}, где Q_{T/2} — тепло, выделяющего за половину периода изменения тока, равное

$$Q_{T/2} = \frac{I_m^2}{2} R \frac{T}{2}.$$

Следовательно,

$$Q = \frac{I_m^2}{4} R t.$$

При установившемся тепловом равновесии средняя мощность, выделяющая на ампературе, равна

$$\bar{p} = \frac{I_m^2}{4} R.$$

Тепловой амператор проградируван по действующему значению тока. Значит, показание амператора I_A определяется соответствием

$$\bar{p} = I_A^2 R = \frac{I_m^2}{4} R \Rightarrow I_A = \frac{I_m}{2}.$$

Подставляя найденное выражение для I_m (см. (3)), находим:

$$I_A = \frac{\pi m}{2kt} = \frac{3,14 \cdot 1,078 \text{ r}}{2 \cdot 0,33 \cdot 10^{-3} (\text{r/KJ}) \cdot 3600 \text{ c}} \approx 1,43 \text{ A}.$$

Б. А. Мукушёв