Избранные школьные задачи

30

Задание
7. Найдите все простые числа $p$, для которых число $2p^4 - p^2 + 16$ является квадратом целого числа.
8. Найдите все натуральные $n$, для которых число $3^n + 55$ является квадратом целого числа.
9. Натуральное число $n$ такое, что число $n^2 + 1$ десятиначное. Докажите, что в записи этого десятиначного числа встречаются две одинаковые цифры.
10. Натуральное число $n$ такое, что число $n^{n+1} + (n+1)^n$ делится на 3. Докажите, что $n-1$ делится на 6.
11. Докажите, что куб целого числа равен 0, 1 или — 1 по модулю 7.
12. Докажите, что уравнение $15x^3 + 13y^3 = 101$ не имеет решений в целых числах.

Школа в «Кванте»

Избранные школьные задания

Восьмой класс

1. Вычислите:
   $$\frac{1}{\sqrt{8} - \sqrt{7}} + \frac{2}{\sqrt{10} + \sqrt{8}} - \frac{3}{\sqrt{10} - \sqrt{7}}$$
2. a) Диагонали выпуклого четырехугольника разбивают его на 4 треугольника, площади которых равны $S_1, S_2, S_3, S_4$ (рис. 1). Докажите, что $S_1S_3 = S_2S_4$.
3. В трапеции $ABCD$ проведены диагонали (рис. 2). Известно, что $S_{BOC} = S_1, S_{AOD} = S_2$. Найдите $S$ — площадь треугольника $ABO$.
4. Докажите, что в любом треугольнике
   $$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c},$$
   где $r$ — радиус вписанной в треугольник окружности, $h_a, h_b, h_c$ — его высоты.
5. Решите систему уравнений:
   $$\begin{cases} x^2 + 2y + 1 = 0, \\ y^2 + 2z + 1 = 0, \\ z^2 + 2y + 1 = 0. \end{cases}$$
   Рис. 1.
   Рис. 2.

Девятый класс
6. Даны два неоклипнеарных вектора $\vec{a}$ и $\vec{b}$ равной длины. Найдите угол между векторами $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$.
7. Вычислите:
$$\left(1 - \frac{1}{2^2}\right)\left(1 - \frac{1}{3^2}\right)\left(1 - \frac{1}{4^2}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{1984^2}\right).$$
8. Докажите irrationalность чисел: a) $\sqrt{6}$; b) $\sqrt{2} + \sqrt{3}$.
9. Решите уравнения:
a) $(x+1)(x+2)(x+4)(x+5) = 40,$
b) $(x+1)^4 + (x+3)^4 = 82.$
10. Могут ли: a) четная, b) нечетная, b) периодическая функция — имеет $n$ точек экстремума, если $n=0$; 1; 3; 4?

Десятый класс
11. Докажите, что если $a, b, c$ — положительные действительные числа и $abc=1$, что $a+b+c+ab+ac+bc \geq 6$.
12. Докажите, что в сечении любого выпуклого четырехугольного угла плоскостю можно получить параллелограмм.
13. Докажите, что в любом треугольной параллелограмме
$$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_1} + \frac{1}{h_2} + \frac{1}{h_3} + \frac{1}{h_4},$$
где $r$ — радиус вписанной в треугольник окружности, $h_1, h_2, h_3, h_4$ — его высоты.
14. Решите уравнения:
a) $x^4 - 2x^3 - 13x^2 - 2x + 1 = 0,$
b) $x^4 + 3x^3 - 2x^2 - 6x + 4 = 0.$
15. В трехгранном угле все плоские углы при вершине $O$ прямы. На ребрах этого угла выбирается по точке: $A, B, C$. a) Докажите, что треугольник $ABC$ — остроугольный. b) Докажите, что точки $A, B$ и $C$ можно выбрать так, чтобы треугольник $ABC$ был конгруэнтен данному остроугольному треугольнику.

Публикацию подготовил Б. М. Ивлев