Движение по окружности

48

Движение по окружности

Кандидат физико-математических наук
Ю. А. САМАРСКИЙ

Движение тела по окружности часто встречается в природе и технике. Это полезный спутник Земли и движение автоматизин на закруглениях дороги, врашение шарика на нитке и движение заряженных частц в магнитном поле, врашение деталей различных механизмов и движение самолета при выполнении летчком «мертвой петли».

Если размеры тела много меньше радиуса окружности, тело можно считать матерIALной точкой. Напомним основные особенности движения матерIALной точки по окружности.

Как известно, скорость $\vec{v}$ тела всегда направлена по касательной к окружности и может изменяться как по модели, так и по направлению. Вектор ускорения тела при этом не совпадает с направлением скорости, а составляет с ней неокторный угол. Для анализа движения удобно вместо ускорения $\vec{a}$ рассматривать две его проекции — на направление скорости (по касательной к окружности) и на направление, перpendикулярное скорости (по радиусу окружности). Первую проекцию называют касательным ускорением $a_k$, а вторую — центростремительным ускорением $a_u$ (рис. 1). Касательное ускорение характеризует изменение модели скорости, а центростремительное — изменение направления скорости.

Модуль центростремительного ускорения в каждой точке траектории равен квадрату модуля скорости, деленному на радиус окружности: $a_u = v^2/R$. Модуль касательного ускорения зависит от характера движения тела по окружности. В частности, при равномерном движении $a_k = 0$ и полное ускорение совпадает с центростремительным, изменяющим только направление скорости. В этом случае бывают удобно выделить центростремительное ускорение через угловую скорость $\omega$ или период $T$ движения тела по окружности радиуса $R: a_u = \omega^2 R = 4\pi^2 R/T^2$.

Для тела, движущегося по окружности, так же как и для всякого движения, справедлив второй закон Ньютона: векторная сумма всех действующих на тело сил равна произведению массы тела на его ускорение. При движении по окружности тело все время остается в одной плоскости, поэтому второй закон Ньютона удобно представить системой двух скалярных уравнений, записанных для проекций всех векторов на направление вдоль радиуса окружности и перpendикулярное к нему.

Физическая природа сил, обеспечивающих движения матерIALной точки по заданной окружности, может быть веса разнообразной. Покаем это на несколько конкретных задачах. Почти все они в разные годы предлагались на вступительных экзаменах в Московский физико-технический институт.

Задание 1. Выезд с горки на горизонтальное плоскость представляет собой дугу окружности радиуса $R=4$ м (рис. 2). Горка гладкая, а горизонтальная плоскость шероховатая, с коэффициентом треня $\mu=0.2$. Санкт-Петербург

49

сорки, оставились на расстоянии $l=30$ м от ее конца. На какой высоте санки давли наорку с силой, в два раза превышает по modulo их силу тягости?

Пусть искомая высота $h$ соответствует точке $A$, как показано на рисунке 2. Рассмотрим силы, действующие на санки в этой точке. Это сила притяжения к Земле (сила тягости) $m\vec{g}$ и сила реакции горки $\vec{N}$. По третьему закону Ньютона сила реакции горки равна по modulo силе давления санок:

$$N = F_\pi = 2mg.$$

Напишем уравнение движения санок (второй закон Ньютона), приняв за положительное направление оси $OX$ направление центристремительного ускорения $\vec{a}_u$:

$$N - mg \cos \alpha = ma_u.$$

Здесь $\cos \alpha = (R-h)/R$ и $a_u = v_A^2/R$. Подставляя значения $N$, $\cos \alpha$ и $a_u$, имеем

$$2mg - mg \frac{R-h}{R} = \frac{mv_A^2}{R}.$$

(1)

Скорость $v_A$ можно определить из закона сохранения и превращения энергии — работа сил тягости на участке $l$ равна полной энергии санок в точке $A$:

$$\mu mgl = \frac{mv_A^2}{2} + mgh.$$

(2)

Решая уравнения (1) и (2), получим

$$h = \frac{2\mu l - R}{3} \approx 2.7 \text{ м}.$$

Задача 2. Шарик радиуса $r$ высит на нити длины $l$ и касается вертикально расположенного вала электродвигателя (рис. 3). Радиус вала $R$. При какой угловой скорости врачи «системы» шарик перестанет давить на вал?

Рассмотрим силы, действующие на шарик при небольшей угловой скорости врачи, пока шарик еще оказывает давление на вал (см. рис. 3). На него действуют силы тягости $m\vec{g}$, сила натяжения нити $\vec{T}$ и силы реакции вала $\vec{N}$. С увеличением угловой скорости должны расти и центристремительное ускорение шарика, что возможно только за счет уменшения modula силы реакции $\vec{N}$, поскольку силы $m\vec{g}$ и $\vec{T}$ остаются постоянными.

При некоторой угловой скорости $\omega_0$ взаимодействие шарика с валом прекра-

Рис. 3.

Рис. 4.

тится, и сила $N$ исчезнет (обратится в нуль). Запишем уравнение движения шарика в этот момент в проекциях на оси координат $OX$ и $OY$:

$$T \sin \alpha = m\omega_0^2(R + r),$$

$$T \cos \alpha - mg = 0.$$

Решая их, найдем искомую угловую скорость:

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{g tg u}{R + r}}.$$

Используя рисунок 3, легко определить, что

$$tg \alpha = \frac{R + r}{((l + r)^2 - (R + r)^2)^{1/2}}.$$

Тогда окончательно

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{((l + r)^2 - (R + r)^2)^{1/2}}}.$$

Задача 3. На полное некоторой планеты тело высит ввода большие, чем на экваторе. Определите период обращения планеты вокругруе собственной оси. Планету снитать шаром. Плотность вещества планеты $\omega_0$.

Напомним, что весом тела $\vec{P}$ называется сила, с которой тело вследствие притяжения к планете действует на неподвижную относительно него опорили подвеся. По третьему закону Ньютона со стороны опоры на тело действует