Chuyển động tròn

48

Chuyển động tròn

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
Y. A. SAMARSKY

Chuyển động của vật thể theo vòng tròn thường được tìm thấy trong tự nhiên và công nghệ. Đây là một vệ tinh hữu ích của Trái đất và chuyển động của các máy tự động trên các đường cong trên đường, chuyển động quay của một quả bóng trên dây và chuyển động của các hạt tích điện trong từ trường, chuyển động quay của các bộ phận của các cơ chế khác nhau và chuyển động của máy bay khi phi công thực hiện một vòng lặp chết chóc.

Nếu kích thước của vật nhỏ hơn nhiều so với bán kính của hình tròn thì vật có thể được coi là một điểm vật chất. Chúng ta hãy nhớ lại các đặc điểm chính của chuyển động của một điểm vật chất dọc theo một vòng tròn.

Như đã biết, tốc độ $\vec{v}$ của một vật luôn hướng tiếp tuyến với đường tròn và có thể thay đổi cả về kiểu dáng lẫn hướng. Trong trường hợp này, vectơ gia tốc của vật không trùng với hướng của vận tốc mà tạo một góc với hướng của vận tốc. Để phân tích chuyển động, thay vì gia tốc $\vec{a}$, sẽ thuận tiện khi xem xét hai hình chiếu của nó - theo hướng vận tốc (tiếp tuyến với đường tròn) và hướng vuông góc với tốc độ (dọc theo bán kính của đường tròn). Hình chiếu đầu tiên được gọi là gia tốc tiếp tuyến $a_k$, và hình chiếu thứ hai được gọi là gia tốc hướng tâm $a_u$ (Hình 1). Gia tốc tiếp tuyến đặc trưng cho sự thay đổi trong kiểu vận tốc và gia tốc hướng tâm đặc trưng cho sự thay đổi hướng của vận tốc.

Mô đun gia tốc hướng tâm tại mỗi điểm của quỹ đạo bằng bình phương mô đun vận tốc chia cho bán kính đường tròn: $a_u = v^2/R$. Mô đun gia tốc tiếp tuyến phụ thuộc vào bản chất chuyển động tròn của vật. Cụ thể, với chuyển động đều $a_k = 0$ và gia tốc toàn phần trùng với gia tốc hướng tâm, chỉ thay đổi hướng của vận tốc. Trong trường hợp này, thuận tiện là tách gia tốc hướng tâm thông qua vận tốc góc $\omega$ hoặc chu kì $T$ của chuyển động của vật dọc theo một đường tròn bán kính $R: a_u = \omega^2 R = 4\pi^2 R/T^2$.

Đối với một cơ thể chuyển động theo đường tròn, cũng như đối với bất kỳ chuyển động nào, định luật thứ hai của Newton có giá trị: tổng vectơ của tất cả các lực tác dụng lên cơ thể bằng tích của khối lượng cơ thể và gia tốc của nó. Khi chuyển động trong một vòng tròn, vật luôn nằm trong một mặt phẳng, do đó định luật thứ hai của Newton được biểu diễn một cách thuận tiện bằng hệ hai phương trình vô hướng được viết cho hình chiếu của tất cả các vectơ lên ​​phương dọc theo bán kính của đường tròn và vuông góc với nó.

Bản chất vật lý của các lực đảm bảo cho sự chuyển động của một điểm vật chất dọc theo một vòng tròn nhất định có thể có trọng lượng khác nhau. Hãy minh họa điều này bằng một vài vấn đề cụ thể. Hầu như tất cả chúng đều được đưa ra trong kỳ thi tuyển sinh vào Viện Vật lý và Công nghệ Moscow vào các năm khác nhau.

Nhiệm vụ 1. Lối ra từ đồi xuống mặt phẳng nằm ngang là một cung tròn có bán kính $R=4$ m (Hình 2). Trượt trơn tru, và mặt phẳng ngang gồ ghề, có hệ số ma sát $\mu=0.2$. Saint Petersburg

49

chim ác là vẫn ở khoảng cách $l=30$ m tính từ đầu của nó. Ở độ cao nào chiếc xe trượt đã ép naorka với một lực gấp đôi mô-đun lực hấp dẫn của nó?

Đặt chiều cao mong muốn $h$ tương ứng với điểm $A$, như trong Hình 2. Hãy xem xét các lực tác dụng lên xe trượt tại điểm này. Đây là lực hút của Trái đất (lực hấp dẫn) $m\vec{g}$ và phản lực của cầu trượt $\vec{N}$. Theo định luật thứ ba của Newton, phản lực của cầu trượt có mô đun bằng lực ép của xe trượt:

$$N = F_\pi = 2mg.$$

Viết phương trình chuyển động của xe trượt (định luật II Newton), lấy hướng gia tốc hướng tâm $\vec{a}_u$ là chiều dương của trục $OX$:

$$N - mg \cos \alpha = ma_u.$$

Đây $\cos \alpha = (R-h)/R$ và $a_u = v_A^2/R$. Thay các giá trị $N$, $\cos \alpha$ và $a_u$, ta có

$$2mg - mg \frac{R-h}{R} = \frac{mv_A^2}{R}.$$

(1)

Tốc độ $v_A$ có thể được xác định từ định luật bảo toàn và biến đổi năng lượng - công của lực hấp dẫn trong tiết diện $l$ bằng tổng năng lượng của xe trượt tại điểm $A$:

$$\mu mgl = \frac{mv_A^2}{2} + mgh.$$

(2)

Giải phương trình (1) và (2), ta thu được

$$h = \frac{2\mu l - R}{3} \approx 2.7 \text{ м}.$$

Bài toán 2. Một quả bóng có bán kính $r$ bay lên trên một sợi dây có chiều dài $l$ và chạm vào trục nằm thẳng đứng của động cơ điện (Hình 3). Bán kính trục $R$. Với tốc độ góc nào quả bóng sẽ ngừng ép vào trục?

Chúng ta hãy xem xét các lực tác dụng lên quả bóng ở vận tốc góc thấp trong khi quả bóng vẫn còn tác dụng áp suất lên trục (xem Hình 3). Nó chịu tác dụng của lực hấp dẫn $m\vec{g}$, lực căng chỉ $\vec{T}$ và phản lực trục $\vec{N}$. Khi vận tốc góc tăng, gia tốc hướng tâm của quả bóng cũng phải tăng, điều này chỉ có thể thực hiện được bằng cách giảm mô đun của phản lực $\vec{N}$, vì các lực $m\vec{g}$ và $\vec{T}$ không đổi.

Tại một vận tốc góc nhất định $\omega_0$ tương tác của quả bóng với trục dừng lại

Hình 3.

Hình 4.

tích tắc và lực $N$ biến mất (về 0). Ta hãy viết phương trình chuyển động của quả bóng lúc này dưới dạng hình chiếu trên trục tọa độ $OX$ và $OY$:

$$T \sin \alpha = m\omega_0^2(R + r),$$

$$T \cos \alpha - mg = 0.$$

Giải chúng, chúng ta tìm được vận tốc góc mong muốn:

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{g tg u}{R + r}}.$$

Dựa vào Hình 3, dễ dàng xác định được rằng

$$tg \alpha = \frac{R + r}{((l + r)^2 - (R + r)^2)^{1/2}}.$$

Rồi cuối cùng

$$\omega_0 = \sqrt{\frac{g}{((l + r)^2 - (R + r)^2)^{1/2}}}.$$

Bài toán 3. Trên một hành tinh nào đó vật thể có độ cao cao hơn trên đường xích đạo. Xác định chu kỳ quay của hành tinh quanh trục của nó. Bắn hành tinh bằng một quả bóng. Mật độ vật chất của hành tinh là $\omega_0$.

Chúng ta hãy nhớ lại rằng trọng lượng của một vật $\vec{P}$ là lực mà vật đó, do bị hành tinh hút, tác dụng lên một giá đỡ đứng yên lơ lửng so với nó. Theo định luật III Newton, vật tác dụng vào phía tựa