Công thức hữu ích

Công thức hữu ích

Theo thông lệ trong huấn luyện, gọi $a, b, c$ là độ dài các cạnh của tam giác, $p$ nửa chu vi của nó, $m_a, m_b, m_c$ độ dài của các đường trung tuyến, $h_a, h_b, h_c$ độ dài của các đường cao, $R$ bán kính của danh dự được mô tả của các điểm đáng chú ý mà nó đi qua. Nó còn được gọi là “đường tròn Euler”, và “đường tròn Feuerbach” không phải đường tròn để vinh danh nhà toán học người Đức thế kỷ 19 K. Feuerbach (anh trai của nhà triết học nổi tiếng người Đức), người đã chứng minh rằng đường tròn này tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác và tất cả các đường tròn bên ngoài của nó (nghĩa là các đường tròn tiếp xúc với một cạnh và phần kéo dài của hai cạnh kia, hình 2). Bán kính của đường tròn chín điểm bằng một nửa bán kính của đường tròn ngoại tiếp, tâm của đường tròn chín điểm nằm ở giữa đoạn nối tâm đường tròn ngoại tiếp với giao điểm của các đường cao của ba điểm đó.

hình tròn, $r$ là bán kính của hình tròn nội tiếp, $S$ là diện tích của tam giác. Sau đó

$$S = \frac{ah_a}{2}; \quad S = pr;$$

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)};$$

$$S = \sqrt{\frac{Rh_a h_b h_c}{2}};$$

$$abc = 4SR;$$

$$ab + bc + ac = p^2 + r^2 + 4Rr;$$

$$\frac{1}{r} = \frac{1}{h_a} + \frac{1}{h_b} + \frac{1}{h_c};$$

$$m_a = \frac{\sqrt{2(b^2 + c^2) - a^2}}{2};$$

$$m_a^2 + m_b^2 + m_c^2 = \frac{3}{4}(a^2 + b^2 + c^2).$$

tôn vinh những điểm tuyệt vời mà nó đi qua. Nó còn được gọi là “đường tròn Euler”, và “đường tròn Feuerbach” không phải đường tròn để vinh danh nhà toán học người Đức thế kỷ 19 K. Feuerbach (anh trai của nhà triết học nổi tiếng người Đức), người đã chứng minh rằng đường tròn này tiếp xúc với đường tròn nội tiếp tam giác và tất cả các đường tròn bên ngoài của nó (nghĩa là các đường tròn tiếp xúc với một cạnh và phần kéo dài của hai cạnh kia, hình 2). Bán kính của đường tròn chín điểm bằng một nửa bán kính của đường tròn ngoại tiếp, tâm của đường tròn chín điểm nằm ở giữa đoạn nối tâm đường tròn ngoại tiếp với giao điểm của các đường cao của ba điểm đó.

hình vuông Đường thẳng thuộc đoạn này được gọi là Đường thẳng Euler. Đường này cũng thuộc giao điểm các đường trung tuyến của tam giác. (Bạn có thể đọc thêm về vòng tròn chín điểm trong «Kvant», 1981, số 8.)

Được biết, Napoléon đã dành một phần thời gian rảnh rỗi cho công việc toán học bận rộn. Ông được ghi nhận với định lý màu đỏ sau đây: “Nếu các tam giác đều được dựng trên các cạnh của tam giác hướng ra ngoài thì tâm của chúng sẽ là các đỉnh của tam giác đều”. Tam giác này được gọi là “tam giác Napoléon bên ngoài”. “Tam giác bên trong của Napoléon” được xây dựng theo cách tương tự.

Ngoài ra còn có những phát hiện về hình học của tam giác ở

thế kỷ thứ sáu. Do đó, vào năm 1904, nhà toán học người Mỹ F. Morley đã chứng minh rằng nếu một tia được vẽ từ mỗi đỉnh của một tam giác, chia góc tương ứng thành ba phần bằng nhau (triskris của góc), thì giao điểm của các triskris liền kề của các góc là các đỉnh của một tam giác đều (hình 3). Việc chứng minh khẳng định này hoàn toàn nằm trong khả năng của các nhà toán học Hy Lạp cổ đại. Họ đã thảo luận rất nhiều về thực tế này, rõ ràng là vì vào thời điểm đó, người ta thường chỉ xem xét các công trình xây dựng bằng la bàn và thước kẻ, và với sự trợ giúp của những công cụ này, việc phân chia như vậy trong trường hợp chung là không thể (điều này sau đó đã được chứng minh).

A.P.

Hình 3.

34

Cách đây một thời gian, tất cả những người tham gia vào một người có thể thấy mình ngồi theo thứ tự ngược lại (để hàng xóm bên trái của mọi người trở thành bên phải và ngược lại)? Giải bài toán này: a) cho $n=4$, 5 và 6; 6) với mọi $n \geqslant 3$.

V. V. Alekseev

F963. Các mặt phẳng $P$ và $Q$ cắt nhau vuông góc và mặt phẳng $P$ tạo một góc $\alpha$ với đường chân trời (hình 1). Từ một điểm $A$ không gian nào đó trên mặt phẳng $P$ một quả bóng nhỏ rơi tự do. Một quả bóng bị va chạm với mặt phẳng đàn hồi tuyệt đối. Trong điều kiện nào quả bóng quay trở lại điểm $A$? Vẽ một trong những quỹ đạo quay trở lại có thể.

G. S. Lapidus

F964. Điểm vật chất tạo thành một hệ thống khép kín. Giữa hai điểm bất kỳ của hệ có một lực hấp dẫn bằng $\vec{F}_{ij} = km_i m_j \vec{r}_{ij}$, trong đó $m_i, m_j$ là khối lượng của điểm, $|\vec{F}_{ij}|$ là lực tác dụng lên điểm $i$ tính từ điểm $j, |\vec{r}_{ij}|$ là khoảng cách giữa các điểm (hình 2), $k$ là một hệ số không đổi. Tại thời điểm ban đầu mọi hạt đều đứng yên. Chứng minh rằng sau một thời gian mọi điểm sẽ va chạm nhau. Xác định lần này nếu biết khối lượng của toàn bộ hệ $M = \sum_i m_i$ và hệ số $k$.

A. G. Samosvat

F965. Một bình hình trụ dài chứa đầy khí lý tưởng đến áp suất $p_0$. Đầu tiên, nhiệt độ của xi lanh được giữ không đổi và bằng $T_0$. Khi đó nhiệt độ của một trong các thành cuối của bình tăng $\Delta T$, và nhiệt độ của thành đối diện không đổi. Tìm áp suất không đổi trong bình và vị trí khối tâm của khí. Hãy xem xét điều đó $\Delta T \ll T_0$.

V. I. Komov

F966. Để minh họa sức căng bề mặt, một trong các màng xà phòng, được kéo dài trên các “dẫn hướng” song song và được phân cách bằng một sợi chỉ $AB$ (xem hình 3), bị xuyên thủng; Đồng thời, sợi $AB$ bị kéo căng. Xác định lực căng của sợi dây. Khoảng cách giữa các “dây dẫn” là $d$, chiều dài của sợi chỉ là $l$ ($l > \pi d/2$), hệ số căng bề mặt của dung dịch xà phòng là $\sigma$.

L. G. Markovich

F967. Một chồng các tấm kim loại rất mỏng đặt cách nhau một khoảng bằng nhau được sạc từ pin như sau. Cực âm của pin nối với tấm ngoài cùng bên phải, cực dương lần lượt nối với tấm ngoài cùng bên trái, sau đó nối với tấm thứ hai từ bên trái, đến tấm thứ ba, v.v. cho đến tấm thứ hai cuối cùng (thứ hai từ bên phải; hình 4). Tìm tỉ số điện tích ở tấm ngoài cùng bên phải và điện tích ở tấm thứ ba tính từ bên phải. Giả sử rằng độ dày của ngăn xếp nhỏ hơn nhiều so với kích thước tuyến tính của các tấm.

E. P. Sokolov