Thử thách của Van Rowman

18

Gọi
Văn Rowman
Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
Y. P. SOLOVIEV

Vào đầu tháng 10 năm 1594, Vua Henry IV của Pháp đã tiếp phái viên của Cộng hòa Thống nhất Hà Lan tới Fontable, nơi thường được gọi là Hà Lan theo tên tỉnh lớn nhất của nó. Nổi lên nhờ cuộc đấu tranh lâu dài và bền bỉ chống lại sự cai trị của Tây Ban Nha, nền cộng hòa này còn rất non trẻ - mới chỉ ở thập kỷ thứ hai. Cuộc chiến với Tây Ban Nha vẫn chưa dừng lại - chính phủ Hà Lan hiện đang truy lùng những kẻ đồng mưu. Và ở Pháp, ngọn lửa ủng hộ quốc tế trong nhiều năm, được người Tây Ban Nha ủng hộ, vừa được dập tắt; ông trở thành vua Pháp. Henry không che giấu sự quan tâm của mình đến Hà Lan với tư cách là kẻ đồng mưu trong cuộc chiến chống lại Tây Ban Nha, nhưng hơn hết ông quan tâm đến ngành công nghiệp, thương mại và hàng hải đang phát triển nhanh chóng của Hà Lan. Vì vậy, khi dạo bộ qua công viên ở Fontable, anh chăm chú lắng nghe câu chuyện của phái viên về các nhà máy sản xuất tơ lụa mới ở Rotterdam, các nhà máy giấy ở Utrest và các xưởng đóng tàu ở Zaandam.

Đặc phái viên cho biết: “Hiện nay ở Hà Lan có rất nhiều kỹ sư và nhà khoa học tài năng. “Nhà toán học và thợ cơ khí Simon Stevin đang phát triển các hệ thống khóa và đập mới, các pháo đài đang được xây dựng theo thiết kế của nhà toán học Ludolf Zeilen, nhà toán học Andrien Van Rowmen nổi tiếng với những phép tính khó hiểu”. Nhân tiện,” phái viên tiếp tục, “cách đây không lâu Van Rowmen đã đưa ra một thách thức đối với các nhà toán học trên khắp thế giới. Ông đã gửi một lá thư tới nhiều quốc gia trong đó ông đề xuất giải quyết bài toán mà ông đã phát minh ra. Nhưng cho đến nay vẫn chưa có ai thành công.

“Người Pháp sẽ là người chiến thắng vĩnh viễn,” phái viên nói, “Tôi sẽ mang lá thư này đến, nhưng

20

Mỗi số ở đây có được bằng cách cộng các số ở phía trước và phía trên nó. Điều đáng chú ý là Việt không biểu thị sin $nx$ và cos $nx$ dưới dạng sin $x$ và cos $x$ như chúng ta mà biểu thị 2sin $nx$ và 2cos $nx$ theo 2sin $x$ và 2cos $x$. Nếu trong các biểu thức được hình thành theo cách này, chúng ta coi các đại lượng 2sin $nx$ hoặc 2cos $nx$ là đã biết, thì chúng ta thu được phương trình bậc $n$ đối với các ẩn số 2sin $x$ và 2cos $x$.

Mục đích ban đầu mà Việt rút ra công thức tính sin của nhiều cung là để tính sin của cung thông qua sin của cung nhỏ, tức là lập bảng sin. Sau đó, những công thức này được ứng dụng trong đại số và hình học. Đặc biệt, Viète đã kết nối hình học bài toán về phân số của góc $\alpha$ với phương trình $3x-x^3=a$, được thỏa mãn bởi các giá trị $a=2\sin \alpha$, $x=2\sin(\alpha/3)$. Vieth giải thích hai dương lời giải của phương trình này là các dây cung tương ứng với các cung $2\alpha/3$ và $(360^\circ-2\alpha)/3$. Theo quan điểm chung của thời đại ông, ông không hề tính đến gốc rễ tiêu cực. Tương tự, bài toán, về việc chia một góc thành năm phần bằng nhau, Viète nối với phương trình $5x-5x^3+x^5=a$ thỏa mãn các giá trị $a=2\sin \alpha$, $x=2\sin(\alpha/5)$.

Từ những gì đã nói, có thể thấy rõ Việt đã chuẩn bị sẵn sàng đến mức nào để giải quyết ngay bài toán của Van Routen. Anh ta ngay lập tức thấy rằng giá trị được đề xuất $a$ là cạnh dài của một hình mười giác đều nội tiếp trong vòng tròn đơn vị (kiểm tra cái này!), hay, điều tương tự là gì, dây cung tương ứng với cung $24^\circ$. Các hệ số của số hạng đầu tiên và áp chót của vế trái cho phép ông giả định rằng vế trái không gì khác hơn là biểu thức 2sin $45\alpha$ đến 2sin $\alpha$. Nhưng vì $a=2\sin 12^\circ$, nên $\alpha=12^\circ/45=4^\circ/15$, và do đó $x=2\sin(4^\circ/15)$. Chính lời giải này đã được Việt truyền đạt cho sứ thần Hà Lan.

Sau buổi tiếp kiến, Việt thử nghiệm đề xuất của mình. Tuy nhiên, sau khi tiếp tục các tính toán cần thiết, ông phát hiện ra rằng vế trái của phương trình đề xuất không trùng với khai triển 2sin $45\alpha$ theo lũy thừa của 2sin $\alpha$!

Có lẽ anh ấy không cảm thấy thoải mái lắm vào lúc đó, rất có thể chỉ là tệ thôi.

Chuyện gì đã xảy ra thế? Có lẽ đó chỉ là một lỗi trong một phép tính rất tẻ nhạt? Rõ ràng, lúc này Việt đã tìm được một cách khác - hình học - để biểu diễn 2sin $45\alpha$ đến 2sin $\alpha$: để chia cung thành 45 phần, trước tiên bạn cần chia thành năm phần, sau đó mỗi phần thành ba và lại thành ba. Nói cách khác, vế trái của phương trình Van Routen có thể thu được từ hệ
$$\begin{cases} 3z-z^3=a, \\ 3y-y^3=z, \\ 5x-5x^3+x^5=y. \end{cases}$$

Chỉ sau khi phân tích những đáp số mà Van Routen báo cáo cho hai giá trị còn lại $a$, Việt mới tin rằng mình thật trẻ con khi chia các cung thành 45 phần và mạnh dạn sửa lỗi trong điều kiện. Nhưng Việt chưa dừng lại ở quyết định này. Hai mươi hai lời giải khác được báo cáo cho anh ta vào ngày hôm sau đều có dạng
$$2\sin \frac{360^\circ k+12^\circ}{45}=2\sin \frac{120^\circ k+4^\circ}{15},$$
$k=1, 2, ..., 22$.

Vì vậy, Việt lên đường đi tìm tất cả những gốc rễ tích cực (hãy nhớ rằng ở thời của ông chỉ có chúng mới được coi là giải pháp).

Người ta có thể chấm dứt chuyện này ở đây, nhưng sự hoàn hảo về mặt toán học giữa Việt và Văn Routen chưa dừng lại ở đó. Sau một thời gian ngắn, Vieth đề nghị Routen dựng một đường tròn tiếp xúc với ba đường tròn cho trước bằng compa và thước (bài toán Apollonius). Ngay sau đó Việt đã chỉ ra một cách xây dựng hình học tinh tế mà chỉ có thể thực hiện được bằng compa và thước kẻ.

Người ta kể rằng, sau thất bại thứ hai, Vân Routen đã thực sự ngưỡng mộ Việt và thậm chí còn đến học cùng anh.