Cảm ứng điện từ

47

Cảm ứng điện từ

Tiến sĩ Vật lý và Toán học
S. M. KOZEL

Hiện tượng cảm ứng điện từ được Faraday phát hiện vào năm 1831. Phát hiện này cho thấy có một công nghệ giao tiếp giữa điện trường và từ trường - từ trường thay đổi theo thời gian sẽ tạo ra điện trường. Khoảng 30 năm sau, Maxwell đã có thể chứng minh rằng một điện trường biến thiên sẽ lần lượt tạo ra một từ trường. Trong hai khám phá vĩ đại này, nhiều thế kỷ sau, về cơ bản tất cả khoa học hiện đại về trường điện từ đều được chứa đựng. Họ đã có thể dự đoán sự tồn tại của sóng vô tuyến, tiết lộ bản chất điện từ của ánh sáng.

Là kết quả của nhiều thí nghiệm đa dạng và nhiều, Faraday đã thiết lập được mối quan hệ định lượng giữa sức điện động cảm ứng $E_{\text{ind}}$ và tốc độ thay đổi của từ thông $\Phi$, vòng khép kín tùy ý của nó (định luật Faraday):

$$E_{\text{ind}} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t}.$$

Trong một ký hiệu toán học chặt chẽ hơn, $E_{\text{ind}}$ được biểu thị thông qua từ thông tùy ý đầu tiên trong thời gian: $E_{\text{ind}} = -\Phi'(t)$.

Các công trình về cảm ứng điện từ do Faraday đưa ra có thể được chia thành hai nhóm. Nhóm đầu tiên bao gồm các thí nghiệm với dây dẫn chuyển động trong từ trường. Trong trường hợp này, lực điện động cảm ứng sẽ xảy ra do tác động của lực Lorentz. Khi một vật dẫn chuyển động thì các điện tích tự do của nó cũng chuyển động theo. Lực Lorentz tác dụng lên các điện tích này làm cho chúng chuyển động so với vật dẫn.

hình 1 hiển thị sơ đồ của một thí nghiệm như vậy. Trong từ trường của nam châm vĩnh cửu có một khung dây kín, trong mạch có điện kế G. Khung di chuyển ra xa với tốc độ $\vec{v}$ khỏi mặt bích phía nam của nam châm và mặt phẳng của nó vẫn vuông góc với trục của nam châm. Khi di chuyển trong khung sẽ xuất hiện dòng điện cảm ứng. Công thức Faraday cho phép bạn tìm hướng của dòng điện cảm ứng.

Câu 1. Ý nghĩa vật lý của dấu “—” trong công thức tính $E_{\text{ind}}$ là gì?

Để xác định chiều dòng điện cảm ứng ta cần

48

trước hết đặt chiều dương của dòng điện trong khung và hướng pháp tuyến dương so với mặt phẳng của khung (xác định dấu của từ thông). Hai hướng này phải được phối hợp theo đúng nguyên tắc vinata (gimlet). Vì vậy, nếu ở hình 1 chúng ta chọn hướng của pháp tuyến dương $n$ đối với mặt phẳng của khung từ trái sang phải, thì hướng dương của dòng điện phải được chọn ngược chiều kim đồng hồ (nếu bạn nhìn khung ở trạng thái từ tính). Với lựa chọn này, từ thông của một đường viền khung tùy ý là $\Phi > 0$, nhưng khi khung di chuyển ra xa nam châm, từ thông sẽ giảm và do đó, $\Delta \Phi / \Delta t < 0$. Từ định luật Faraday suy ra $\mathcal{E}_{\text{инд}} > 0$.

Nếu khung có điện trở tác dụng $R$ thì dòng điện cảm ứng là $I = \mathcal{E}_{\text{инд}} / R > 0$. Điều này có nghĩa là dòng điện sẽ chạy ngược chiều kim đồng hồ.

Quy tắc về các dấu hiệu được thảo luận ở đây thường khiến người nộp đơn khó hiểu. Trong khi đó, dấu “—” trong định luật Faraday đảm bảo sự thoả mãn định luật bảo toàn năng lượng. Trong ví dụ của chúng tôi, mỗi phần tử của khung mà dòng điện cảm ứng chạy qua sẽ chịu tác dụng của lực Ampe $F$. Thành phần nằm ngang của lực này hướng vào chuyển động của khung. Như vậy, theo định luật bảo toàn và biến đổi năng lượng, khung sẽ bị hãm và một vật thể Joule sẽ được giải phóng trong chính khung.

Dòng điện cảm ứng trong khung sẽ xuất hiện không chỉ khi nó chuyển động về phía trước mà còn xuất hiện khi khung quay hoặc biến dạng trong từ trường. Điều quan trọng là từ thông thay đổi theo hệ quy chiếu tùy ý.

Kinh nghiệm cho thấy rằng nếu khung được để yên và nam châm chuyển động thì hiện tượng cảm ứng xảy ra giống hệt như khi khung chuyển động. Dòng điện cảm ứng chỉ phụ thuộc vào chuyển động tương đối của khung và nam châm. Định luật Faraday cũng được áp dụng trong trường hợp này, nhưng cách giải thích hiện tượng này hóa ra lại hoàn toàn khác. Trong mạch điện đứng yên, lực Lorentz không thể gây ra chuyển động của các điện tích dọc theo dây dẫn. Nguyên nhân xảy ra $\mathcal{E}_{\text{инд}}$ trong trường hợp này là điện trường phát sinh khi từ trường thay đổi. Trường này được gọi là trường xoáy vì không giống như trường tĩnh điện, các đường sức của nó có thể bị đóng lại.

Câu 2. Mối liên hệ giữa điện trường xoáy và $\mathcal{E}_{\text{инд}}$ là gì?

Theo định nghĩa, lực điện khí hóa bằng công của các lực tác dụng lên một đơn vị điện tích dương khi nó di chuyển dọc theo một đường kín. Trong trường tĩnh điện, công này luôn bằng 0 (các trường như vậy được gọi là thế năng). Trong điện trường xoáy, nó có thể khác 0. Công này bằng $\mathcal{E}_{\text{инд}}$.

Ví dụ, hãy xem xét từ trường giữa các vị trí của nam châm điện (hình 2). Để đơn giản, chúng ta hãy giả sử rằng chúng có dạng hình trụ, do đó từ trường trong vùng gần trục có thể được coi là đơn cực. Nếu từ trường thay đổi theo thời gian thì trong cuộn xoáy của nam châm điện sẽ xuất hiện một điện trường xoáy, các đường sức của nó tập trung

49

vòng tròn tri giác. Chọn hình tròn có bán kính $r$. Công của điện trường xoáy khi di chuyển một điện tích dương đơn vị dọc theo đường tròn này có thể viết dưới dạng

$$E(r) \cdot 2\pi r = \mathcal{E}_{\text{инд}} = -\frac{\Delta \Phi}{\Delta t} = -\frac{\Delta B}{\Delta t} \pi r^2.$$

Từ đây

$$E(r) = -\frac{r}{2} \frac{\Delta B}{\Delta t}.$$

Hướng cường độ tuyến tính $\vec{E}$ của điện trường xoáy trên hình 2 được thể hiện trong trường hợp chỉ báo $\vec{B}$ của từ trường quay trở lại theo thời gian.

Khái niệm điện trường xoáy được đưa ra bởi Maxwell. Theo Maxwell, sự tồn tại của cảm ứng điện từ bao gồm sự xuất hiện của một điện trường xoáy, điện trường này có thể không nhất thiết quay trở lại trong dây dẫn. Nó cũng có thể xảy ra trong không gian không có dây dẫn. Điện trường xoáy được tạo ra bởi từ trường biến thiên có thể tác dụng lên các hạt tích điện riêng lẻ trong chân không, chẳng hạn như máy gia tốc đầu máy điện - betatron (xem bài toán 4).

Bây giờ chúng ta xét dãy bài toán của hiện tượng cảm ứng ở vật dẫn chuyển động và vật dẫn đứng yên.

Bài toán 1. Một thanh CD, chiều dài $l=10$ cm và khối lượng $m=10$ g (hình 3), trượt dọc theo hai thanh thẳng đứng song song, đóng ở phần trên thông qua một điện trở có điện trở $r=1,1$ Ohm và một cục pin có emf $E=1$ V, không ma sát. Hệ nằm trong từ trường đều có cảm ứng $B=1$ T. Vector $\vec{B}$ vuông góc với mặt phẳng vẽ và hướng về phía người đọc. Tìm tốc độ ổn định của thanh. Tốc độ ổn định sẽ hướng lên trên ở mức độ tương ứng nào giữa các tham số bài toán?

Hãy xem xét đường viền ACDK, được tô bóng ở hình 3. Khi thanh di chuyển, $\mathcal{E}_{\text{инд}}$ sẽ xuất hiện trong đó. Đối với chiều dương của dòng điện trong mạch này ta chọn chiều ngược chiều kim đồng hồ. Sau đó, pháp tuyến dương của mặt phẳng đường viền được hướng về phía đầu đọc và do đó, từ thông

$$\Phi > 0.$$ Khi thanh Vism di chuyển, từ thông qua mạch tăng: $\Delta \Phi/\Delta t > 0$. Nếu tốc độ rơi được ký hiệu là $v$ thì $\mathcal{E}_{\text{инд}} = -\Delta \Phi/\Delta t = -vlB$.

Bây giờ chúng ta viết định luật Ohm cho mạch ACDK:

$$Ir = -\mathcal{E} + \mathcal{E}_{\text{инд}} = -\mathcal{E} - vlB.$$

Đối với phương trình này, cần thêm các điều kiện về tốc độ không đổi: trong quá trình chuyển động ổn định, lực của thanh $m\vec{g}$ được bù bởi lực ampe $\vec{F}$ tác dụng lên thanh từ phía của từ trường. Áp dụng quy tắc bàn tay trái, dễ dàng chứng minh được lực của ampe kế sẽ hướng lên trên khi dòng điện trong thanh chạy từ phải sang trái, tức là ở mức $I < 0$. Kể từ đây,

$$mg = F = -IBl.$$

Từ đây

$$v = \frac{1}{BL} \left( \frac{mgr}{Bl} - \mathcal{E} \right).$$

Thay thế dữ liệu số, chúng ta tìm thấy: $v = 1$ m/s > 0 - thanh của chuyển động hiệu dụng.

Để tốc độ ổn định hướng lên trên thì điều kiện phải được thỏa mãn

$$\mathcal{E} > \frac{mgr}{Bl} = 1,1$$ V.

Chúng ta hãy chú ý đến thực tế là mối quan hệ năng lượng rất quan trọng được rút ra từ các công thức được viết:

$$I^2r = -\mathcal{E}I - vlBI = -\mathcal{E}I + mgv.$$

Nhiệt lượng Joule $I^2r$, được giải phóng trên một đơn vị thời gian ở điện trở $r$, bằng tổng công của pin - $\mathcal{E}I$ (công này là dương, vì $I < 0$) và lực hấp dẫn $mgv$ trong cùng thời gian. Từ trường không hoạt động!

51

Nhiệm vụ 4. Gia tốc các electron - trong betatron - vai trò của trường gia tốc được thực hiện bởi điện trường xoáy, bị kích thích bởi sự thay đổi từ thông tạo ra quỹ đạo của các electron. Giả sử bán kính quỹ đạo của electron không thay đổi, hãy xác định sự tương ứng cần thiết cho điều này tại một thời điểm nhất định giữa từ trường trung bình $B_{cp}$, tạo ra quỹ đạo electron và từ trường trong quỹ đạo $B$. Từ trường song song với trục đối xứng của buồng chân không betatron.

Tính chất vật lý của bài toán này là điện trường xoáy $E$ và tốc độ $v$ do trường này truyền tới electron được xác định bởi sự thay đổi giá trị trung bình của từ trường tạo ra quỹ đạo và lực Lorentz giữ electron phụ thuộc vào từ trường trong chính quỹ đạo.

Dây dẫn có cùng lý do như đối với lời giải của bài toán trước đó, chúng tôi viết

$$|E| = \frac{r}{2} \frac{\Delta B_{cp}}{\Delta t}, \quad v(t) = \frac{er}{2m} B_{cp}(t).$$

Từ điều kiện chuyển động của electron trên quỹ đạo $evB = mv^2/r$ ta thu được

$$B(t) = \frac{mv(t)}{er} = \frac{B_{cp}(t)}{2}.$$

Vì vậy, để betatron hoạt động ổn định, từ trường trung bình bên trong quỹ đạo tại bất kỳ thời điểm nào cũng phải lớn gấp đôi từ trường trên quỹ đạo. Do đó, từ trường ở phần trung tâm của quỹ đạo phải lớn hơn từ trường trong chính quỹ đạo. Điều này đạt được nhờ sự lựa chọn đặc biệt về cấu hình nam châm.

Cuối cùng, chúng ta hãy xem xét một ứng dụng thú vị của định luật cảm ứng điện từ vào cuộn dây siêu dẫn. Chất siêu dẫn được sử dụng rộng rãi để tạo ra nam châm điện mạnh. Trong cuộn dây siêu dẫn kín, dòng điện có thể lưu thông trong thời gian dài mà không cần nguồn năng lượng.

Giả sử rằng chúng ta có một vòng ngắn mạch được làm bằng chất siêu dẫn. Cho dòng điện trong khung bằng 0. Chúng ta hãy đưa khung vào một từ trường đều bên ngoài có cảm ứng $B$ hướng vuông góc với mặt phẳng của khung.

Câu 4. Từ thông nào xuyên qua khung?

Phải trả lời rằng nhiều ứng viên trả lời câu hỏi này theo cách này: từ thông bằng tích $BS$, trong đó $S$ là diện tích của khung. đáp số này không chính xác. đáp số đúng là từ thông tạo ra quỹ đạo electron và từ trường trong quỹ đạo $B$. Từ trường song song với trục đối xứng của buồng chân không betatron.

Tính chất vật lý của bài toán này là điện trường xoáy $E$ và tốc độ $v$ do trường này truyền tới electron được xác định bởi sự thay đổi giá trị trung bình của từ trường tạo ra quỹ đạo và lực Lorentz giữ electron phụ thuộc vào từ trường trong chính quỹ đạo. Kết quả này tuân theo định luật Faraday. Thật vậy, đối với một mạch kín siêu dẫn, định luật Ohm được viết dưới dạng $0 = -\Delta \Phi/\Delta t$. Ở phía bên trái của sự tương ứng này là độ sụt điện áp ở điện trở bằng 0 của chất siêu dẫn, ở phía bên phải là suất điện động cảm ứng. Theo sau đó là $\Phi = const$. Như vậy, mạch siêu dẫn kín là chất bảo toàn kệ từ. Nó bảo toàn từ thông xuyên qua mạch tại thời điểm chuyển sang trạng thái siêu dẫn. Dòng chảy này không thể bị thay đổi bởi bất kỳ trường bên ngoài nào (miễn là tính siêu dẫn được duy trì).

Cơ chế vật lý đảm bảo sự bảo toàn từ thông là khi lớp từ ngoài thay đổi sẽ xuất hiện một dòng điện cảm ứng trong mạch, từ trường của nó bù đắp hoàn toàn cho sự thay đổi của lớp từ ngoài.

Nhiệm vụ 5. Dòng điện thay đổi bao nhiêu trong một vòng tròn của chất siêu dẫn nếu bạn đặt nó trên một cuộn dây điện từ dài nối với pin có suất điện động $\mathcal{E}$, như trong hình 5? Tổng điện trở của mạch mạch điện từ là $r$, độ tự cảm của vòng dây là $L$, độ tự cảm của mạch điện cực là $L_0$, số vòng dây của nó là $N$.

Đặt $I_0$ và $I$ là giá trị ban đầu và cuối cùng của dòng điện trong vòng lặp. Lưu ý rằng dòng điện đi vào nút điện từ không thay đổi và giữ nguyên bằng $\mathcal{E}/r$, do đó từ thông tự từ của nút điện từ bằng $L_0\mathcal{E}/r$. Trong trường hợp này, mỗi vòng của nút điện từ sẽ ghi lại một từ thông $L_0\mathcal{E}/(rN)$. Dòng tương tự (bên ngoài vòng lặp) cũng chảy qua vòng đặt trên cuộn dây. Nhưng từ thông tổng cộng trong vòng dây phải không đổi. Đó là lý do tại sao

$$LI \pm L_0\mathcal{E}/(rN) = LI_0,$$

hoặc

$$I_0 - I = \pm L_0\mathcal{E}/(LrN).$$

Sự mơ hồ trong các công thức này là do