Điện trở của các cạnh của khối lập phương nhiều chiều

22

tức giận - có thể thực hiện được một tài khoản như vậy không?

Trong khi đó, những mô hình hình học và đại số tuyệt đẹp ẩn chứa trong những bài toán này (không phải vô ích mà bài toán dường như vật lý này được xem xét trong các vòng tròn toán học), cho phép chúng được giải mà không bị “tê liệt”, cũng như khái quát chúng theo một cách không ngờ tới.

Trường hợp hình khối ba chiều và bốn chiều

Hãy bắt đầu với một quan sát hình học rõ ràng: mẫu trên hình 1 là mẫu của các cạnh của một hình lập phương tổng quát (so sánh hình 1 và 3, a). Là một mô hình khối lập phương của chúng ta, hãy xem xét một khối đơn tiêu chuẩn trong hệ tọa độ $Oxyz$, liên kết các điểm $O$ và $I$ với các đỉnh (0; 0; 0) và (1; 1; 1), ngụ ý sự hiện diện của điện trở 1 Ohm trên tất cả các cạnh của khối. Lưu ý rằng tọa độ các đỉnh của hình lập phương (và chỉ tọa độ của 6 điểm này) sẽ chỉ bao gồm các số 0 và số 1. Chúng ta hãy xác định tổng tọa độ của bất kỳ đỉnh nào bằng $p$ang của nó. Nếu một điện thế được tạo ra giữa các điểm $O$ và $I$, thì điện thế của các đỉnh có cùng hạng là như nhau (đây rất giống một thông điệp đối xứng). Do đó, có thể làm ngắn mạch các đỉnh cùng cấp mà không cần thay đổi điện trở của mạch để thu được mạch gồm ba nhóm điện trở song song liên tiếp (hình 4). Đối với mạch như vậy, bài toán được giải bằng miệng (xem hình 4): điện trở $R_3$ là 5/6 Ohm.

Để tính điện trở của mạch thứ hai (xem hình 2), chúng ta lưu ý rằng mạch này là mạch gồm các cạnh của khối lập phương bốn chiều *). Đây là một quan sát hình học ít rõ ràng hơn. Người đọc có thể tạo ra nó bằng cách so sánh hình 2 với hình 7 trên trang. 6. Tiếp theo, phép tính được thực hiện theo cách tương tự như trường hợp khối lập phương thông thường. Phép tính (hiển thị ở hình5) lợi dụng thực tế là các đỉnh cùng hạng có cùng điện thế và do đó có thể bị đoản mạch (mà không làm thay đổi tổng điện trở giữa các điểm $O$ và $I$). Đáp số hóa ra như thế này: $R_4 = 2/3$ Ohm.

Bài 1. Tính điện trở của các cạnh $R_5$ của hình lập phương năm chiều giữa các đỉnh đối diện theo đường kính của nó, với điều kiện điện trở của mỗi cạnh là 1 Ohm.

Điện trở của các cạnh của khối lập phương $n$ chiều

Bài toán về điện trở của các cạnh của hình lập phương có thể được khái quát hóa hơn nữa bằng cách xem xét các khối có kích thước $n=5, 6, 7, 8$, v.v. Điều này có thể được thực hiện theo sơ đồ tương tự như đối với $n=2, 3, 4$, tuy nhiên, chúng ta sẽ không có quyền coi mình là nhà toán học nếu chúng ta không thể quản lý ngay điện trở của khối lập phương $R_n$ $n$ chiều giữa các đỉnh đối diện của nó đối với bất kỳ $n$ nào (để biết định nghĩa về khối lập phương $n$, xem trang 7).

Người đọc có thể hỏi liệu công thức bài toán như vậy có hợp lý hay không, vì một khối lập phương $n$ chiều với $n>3$ chỉ là

*) Bạn có thể làm quen với khái niệm hình lập phương bốn chiều trong bài viết của S.V. Duzhin và V.N. Rubtsov trong số này «Kvant».

23

Xếp hạng 0 1 2 Σ

Số đỉnh 1 + 2 + 1 = 4
Số cạnh 2 + 2 = 4
Cơ chế
Điện trở 1/2 + 1/2 = 1

Xếp hạng 0 1 2 3 Σ

Số đỉnh 1 + 3 + 3 + 1 = 8
Số cạnh 3 + 6 + 3 = 12
Cơ chế
Điện trở 1/3 + 1/6 + 1/3 = 5/6

Hình 4.

Xếp hạng 0 1 2 3 Σ

Số đỉnh 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16
Số cạnh 4 + 12 + 12 + 4 = 32
Cơ chế
Điện trở 1/4 + 1/12 + 1/12 + 1/4 = 2/3

Hình 5.

Hình 6.

Xếp hạng 0 1 2 … k - 1 k … n - 1 n

Số đỉnh 1 + n + $\frac{n(n-1)}{2}$ + … + $C_n^k$ + … + n + 1 = $2^n$

Số cạnh n + n(n-1) + … + (n-k) $C_n^k$ + … + n = ?

Điện trở $\frac{1}{n}$ + $\frac{1}{n(n-1)}$ + … + $\frac{1}{n C_{n-1}^k}$ + … + $\frac{1}{n}$ = ?

24

là một sự trừu tượng toán học, nó không “thực sự” tồn tại, vì vậy không rõ mục đích tính toán lực cản của các xương sườn của nó là gì. Chúng tôi trả lời. Có một ý nghĩa, bài toán đã nêu là một bài toán vật lý rất thực tế. Vấn đề là mặc dù bản thân khối $n$ với $n > 3$ không thể được đặt trong không gian ba chiều, nhưng sơ đồ các cạnh của nó có thể dễ dàng được đặt trong không gian thông thường. Vì vậy, trên hình 2 (hoặc 5), bạn có thể thấy cách thực hiện điều này đối với khối lập phương bốn chiều và bìa tạp chí thậm chí còn hiển thị sơ đồ các cạnh của khối lập phương tám chiều! Trong trường hợp tổng quát ($n$ - bất kỳ), việc ánh xạ các cạnh của khối lập phương $n$ chiều vào không gian ba chiều là một định lý toán học đơn giản, chúng ta sẽ không đề cập đến bằng chứng của nó.

Điều thú vị cần lưu ý là mẫu các cạnh của hình lập phương ba chiều có thể được đặt trên một mặt phẳng mà không có giao điểm (xem hình 1), tuy nhiên, người ta đã chứng minh (đây vốn là một định lý khó) rằng mẫu các cạnh của khối bốn chiều (và nói chung là $n$ chiều cho $n \geq 4$) không thể được đặt trên một mặt phẳng mà không có giao điểm.

Như người đọc có thể đã đồng ý, $R_n$ được tính theo cách tương tự như $R_3$ và $R_4$. Bạn có thể theo dõi nó trước hình 6. Đáp số là:

$$R_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(n-k)C_k^n},$$

trong đó $C_k^n$ là hệ số nhị thức (xem «Kvant», 1986, Số 1, trang 23).

Khi đếm, chúng ta lợi dụng thực tế là các đỉnh cùng cấp có cùng tiềm năng, và do đó tất cả các tính chất đếm số cạnh nối các đỉnh của các cấp lân cận. Rõ ràng số đỉnh của hạng $k$ bằng $C_k^n$ (cột của chúng, có bao nhiêu cách $k$ có ​​chữ số 1 ở $n$ vị trí) và số cạnh phát ra từ mỗi đỉnh của hạng $k$ là $n-k$ (tại sao?); Điều này có nghĩa là số cạnh có đỉnh xếp hạng $k$ và $(k+1)$ là $(n-k)C_k^n$. Các cạnh này có thể được coi là được kết nối song song, vì vậy chúng tôi nhận được (1).

Bài toán

2. Kiểm tra xem $(n-k)C_k^n = nC_{n-1}^k$, từ đó chứng minh sự tương ứng.

$$R_n = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{C_{n-1}^k}.$$

3. Sử dụng công thức (2), chứng minh rằng

$$R_n = \sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{(n-k)2^k}.$$

4. Thiết lập mối quan hệ lặp lại

$$R_n = \frac{1}{n} + \frac{1}{2} R_{n-1}$$

đại số (sử dụng công thức (3)) và hình học. Kiểm tra các tính toán của chúng tôi về $R_3, R_4, R_5$ dựa trên tỷ lệ này và các đẳng thức $R_1 = R_2 = 1$.

Những khái quát khác

Các phương pháp đếm được đề xuất ở đây có thể được áp dụng cho các bài toán khác, ví dụ như bài toán này:

Bài 5. Tính điện trở của hình lập phương ba chiều giữa các đỉnh liền kề với điều kiện điện trở mỗi cạnh là 1 ohm. Tổng quát hóa cho bất kỳ $n$ nào.

Điều thú vị hơn là thay đổi không phải các điểm ứng dụng của đồng hồ đo mà là cấu hình của mạch đang xem xét. Lý luận của chúng tôi vẫn đúng đối với bất kỳ mạch nào có cùng số cạnh (điện trở 1 ohm) được kết nối với mỗi nút.

Bài 6. Chứng minh rằng điện trở giữa các nút liền kề của mạch gồm $m$ nút, mỗi nút chứa $s$ điện trở 1 ohm, bằng

$$R = \frac{2}{s} \left(1 - \frac{1}{m}\right).$$

Ví dụ: đối với lưới vuông hai chiều vô hạn, kết quả là đáp số đơn giản: $R = 1/2$ ($s = 4, m = \infty$). Đối với lưới lượng giác ($s = 6, m = \infty$) $R = 1/3$, đối với lưới lục giác ($s = 3, m = \infty$) $R = 2/3$, đối với lưới tứ diện ($s = 3, m = 4$) $R = 1/2$. Đối với khối $n$, chúng ta nhận được ($s = n, m = 2^n$):

$$R = \frac{2}{n} \left(1 - \frac{1}{2^n}\right).$$

Thú vị hơn nữa (nhưng, than ôi, không phải là sơ cấp!) bài toán là về việc tính toán điện trở giữa các nút liền kề theo đường chéo của một lưới điện trở vuông vô hạn 1 Ohm. Đáp số hóa ra bằng $2/\pi$ Ohm, mặc dù không có gợi ý nào về hình tròn trong sơ đồ!