Cực và cực so với đường tròn

32

Khóa học toán

Polis và các cực so với một vòng tròn

S.Ts. KHARALAMPIEV (NRB)

Từ biên tập viên. Trong ghi chú này, chúng ta nói về những bài toán rất hay có thể được giải bằng cách sử dụng khái niệm polis và các cực so với đường tròn. Tuy nhiên, học sinh Bulgaria đã quen thuộc với những nhân chứng này, những người này không được đưa vào chương trình giảng dạy ở trường học ở Liên Xô. Do đó, các biên tập viên đã cung cấp cho ghi chú một số thông tin về các đặc tính cơ bản của chính sách và phân cực.

Giới thiệu: polis, Polara và tính chất của chúng

Hai điểm $P$ và $Q$ được gọi là liên hợp thành đường tròn $(k)$ nếu đường tròn có đường kính $PQ$ trực giao với đường tròn $(k)$ (hình 1). Tập hợp tất cả các điểm liên hợp với điểm $P$ so với đường tròn $k(O; r)$ được gọi là

điểm lar $P$ so với $(k)$. Tiếp theo, chúng ta sẽ sửa hình tròn $k(O; n)$ và do đó chúng ta sẽ bỏ qua các từ “quan hệ $(k)$”.

Tính chất I (xây dựng cực). Cực của điểm $P$ thẳng; nó có thể được xây dựng như trong hình 2. Nếu đường thẳng $l$ đóng vai trò là cực của điểm $P$, thì chúng ta cũng nói rằng $P$ là cực của đường thẳng $l$.

Thuộc tính II (cấu trúc của cột). Bất kỳ đường thẳng nào không đi qua tâm đường tròn đều có một cực; nó có thể được xây dựng như trong hình 3.

Tính chất III (có đi có lại). Cực $l_p$ của điểm bất kỳ $P$ thuộc cực $l_Q$ của điểm $Q$ đi qua $Q$.

Thuộc tính IV (thuộc tính đặc trưng). Đối với điểm $M$ cực $l_P$ điểm $P$ và chỉ đối với chúng thì sự tương ứng mới được thỏa mãn

$$OM^2 - PM^2 = 2r^2 - OP^2.$$ (1)

Chúng tôi để lại việc chứng minh các tính chất này cho bạn đọc.

Ứng dụng của các cực và cực đã hiểu

Ví dụ 1 (tính chất cực của tiếp tuyến). Nếu từ điểm $P$ người ta rút

Hình 1.

Hình 2.

Hình 4

34

Hình 8.

Q và R, P và R, P và Q lần lượt nằm trên các cực của các điểm P, Q và R, đó là điều tôi khẳng định.

Một loại tóm tắt của các ví dụ được phân tích là hình 7. Nó cho thấy có bao nhiêu điểm thay thế khác nhau nằm trên cực: các điểm tiếp tuyến (T và T′), giao điểm của các đường chéo (Q), các cạnh đối diện (R) và tiếp tuyến (M, N).

Ví dụ 3 (Định lý Brucard). Gọi P, Q và R lần lượt là giao điểm của các đường chéo và các cạnh đối diện của tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn k(O; r). Khi đó trực tâm tam giác PQR trùng với tâm O.

Bằng chứng. Từ bài toán trước đó, các điểm P=(AC)∩(BD), Q=(AB)∩(CD) và R=(AD)∩(BC) so với đường tròn (k) lần lượt có các đường thẳng QR, PR và PQ là các cực. Khi đó OP⊥QR, OQ⊥PR, OR⊥PQ, tức là O là trực tâm.

Ví dụ 4. Cho X₁X₂X₃X₄ là tứ giác nội tiếp đường tròn (k), và Xᵢᵣ là giao điểm của các tiếp tuyến (k) tại các điểm Xᵢ và Xᵣ (i≠j, i, j=1, 2, 3, 4). Khi đó các đường chéo của tứ giác X₁X₂X₃X₄, X₁₂X₂₃X₃₄X₁₄ có chung một điểm giao nhau.

Bằng chứng. Đặt P=(X₁X₃)∩(X₂X₄), Q=(X₁X₂)∩(X₃X₄) và R=(X₁X₄)∩(X₂X₃) (hình 8). Nhưng X₁X₂ và X₃X₄ là các đường tròn cát tuyến (k) đi qua điểm O, do đó giao điểm của X₁₂ và X₃₄ của các cặp tiếp tuyến với (k) tại các điểm (X₁, X₂) và (X₃, X₄) sẽ nằm trên cực PR của điểm Q. Bằng cách tương tự, người ta xác định rằng các điểm X₂₃ và X₁₄ nằm trên cực PQ của điểm R, hệ quả của nó là (X₁₄X₂₃)∩(X₁₂X₃₄)=(PR)∩(PQ)=P.

Ví dụ 5. Trên một đường tròn cho trước có các đường đi của các điểm: U, V, A, B, C. Xây dựng ba cặp điểm: M=(UA)∩(VB) và M₁=(UB)∩(VA), N=(UB)∩(VC) và N₁=(UC)∩(VB), P=(UC)∩(VA) và P₁=(UA)∩(VC). Khi đó các đường thẳng MM₁, MN₁ và PP₁ có điểm chung hoặc song song (“Toán học ở trường”, 1982, số 2, bài toán 2480).

Bằng chứng. Đặt K=(MM₁)∩(NN₁) và K₁=(MM₁)∩(PP₁). Tứ giác ABVU và BCVU nội tiếp trong (k) (hình 9) nên cực của điểm K đi qua giao điểm của các cặp đường thẳng UV, AB và UV, BC, tức là cực K là đường thẳng UV. Tương tự, tứ giác ABVU và ACVU nội tiếp trong (k) nên cực của điểm K₁ đi qua giao điểm của các cặp đường thẳng UV, AB và UV, AC, tức là cực K₁ là đường thẳng UV. Điểm K và K₁ có cùng cực nên K≡K₁. Nếu các đường MM₁ và MN₁ song song (điểm giao nhau K của chúng là điểm “ở vô cực”), thì UV là đường kính của đường tròn (k), do đó PP₁∩MN₁.

Nhiệm vụ

1. Vòng tròn dữ liệu (k) và dòng p. Dựng đường tròn (k₁) có tâm O₁∈p và bán kính bằng độ dài tiếp tuyến từ O₁ đến (k) cắt (k) tại các điểm P và Q. Chứng minh rằng khi O₁ mô tả p thì giếng PQ song song hoặc đi qua một điểm không đổi.

2. Các đường tròn k₁(O₁; r₁) và k₂(O₂; r₂) cắt nhau tại các điểm A và B sao cho ⊥AO₂=⊥BO₂=90°. Một đường tròn được dựng có tâm O∈AB và bán kính bằng đoạn tiếp tuyến từ O đến một trong các đường tròn (k₁) và (k₂), cắt (k₁) và (k₂) lần lượt tại các điểm P₁, Q₁ và P₂, Q₂. Chứng minh rằng P₁Q₁ và P₂Q₂ đi qua các điểm O₂ và Q₁.