Sai lầm ở đâu?

21

Dễ dàng nhận thấy công thức (3) tương đương với công thức Heron: vì $S=pr$ nên xét (1) và (3) ta thu được $S^2=p^2r^2=pxyz=p(p-a)(p-b)(p-c)$.

Bằng chứng thứ hai. Gọi $O_1$ và $r_1$ là tâm và bán kính của đường tròn tiếp xúc với cạnh $BC$ và các cạnh mở rộng $AC$ và $AB$, $F$ điểm tiếp tuyến của đường tròn này với đường thẳng $AB$ (hình 4). Sau đó (xem công thức (2)) $BF=p-c=z$. Hình tam giác $ODB$ và $O_1BF$ tương tự nhau ($ODB=BFO_1=90^\circ$, $FBO_1=\frac{1}{2}CBF=\frac{1}{2}(180^\circ-CBD)=90^\circ-OBD=DOB$). Do đó, $OD:BF=DB:O_1F$, tức là $r:z=y:r_1$, từ đó $r_1=yz/r$. Các tam giác vuông $AO_1F$ và $AOD$ cũng đồng dạng, do đó $AF:AD=O_1F:OD$, do đó $p:x=r_1:r$. Thay $r_1=yz/r$ vào đẳng thức này, chúng ta thu được $p:x=yz/r^2$, tức là $pr^2=xyz$, như được trình bày ở cuối chứng minh đầu tiên, tương đương với công thức Heron.

Bằng chứng thứ ba. Trước tiên chúng ta hãy chứng minh rằng trong mọi tam giác

$$\text{ctg} (\hat{A}/2) + \text{ctg} (\hat{B}/2) + \text{ctg} (\hat{C}/2) = \text{ctg} (\hat{A}/2) \text{ctg} (\hat{B}/2) \text{ctg} (\hat{C}/2).$$

Thật sự,

$$\text{ctg} (\hat{C}/2) = \text{ctg} ((180^\circ - \hat{A} - \hat{B})/2) = \frac{\text{tg} (\hat{A}/2) + \text{tg} (\hat{B}/2)}{1 - \text{tg} (\hat{A}/2) \text{tg} (\hat{B}/2)},$$

tư thế

$$\text{ctg} (\hat{A}/2) + \text{ctg} (\hat{B}/2) + \text{ctg} (\hat{C}/2) = \frac{\text{tg} (\hat{A}/2) + \text{tg} (\hat{B}/2)}{1 - \text{tg} (\hat{A}/2) \text{tg} (\hat{B}/2)}$$

$$= \frac{\text{ctg} (\hat{A}/2) + \text{ctg} (\hat{B}/2)}{1 - \text{tg} (\hat{A}/2) \text{tg} (\hat{B}/2)}$$

$$= \frac{\text{ctg} (\hat{A}/2) + \text{ctg} (\hat{B}/2)}{1 - \text{tg} (\hat{A}/2) \text{tg} (\hat{B}/2)}$$

Đáp số: $\sqrt{2} < a < \sqrt{5}$ hoặc $-\sqrt{5} < a < -\sqrt{2}$.

2. ABCD là một khối đa diện đều. Điểm $X$ sao cho $XA=XC$, $XB=XD$, $XA=\sqrt{3}XD$. Đặt vị trí của điểm $X$ so với khối đa diện.

Đáp số: ranh giới.

3. Trong mỗi ranh giới trong số ba ranh giới của lăng kính $ABCD_1B_1C_1D_1$, ở đáy $ABCD$ là hình thoi, $AC=8$, $BD=6$, $AA_1=1$, một quả cầu nội tiếp chạm vào một hình nón có đỉnh tại điểm $O=(A_1C_1)\cap(B_1D_1)$ và đáy nội tiếp hình thoi $ABCD$. Tìm bán kính của quả bóng.

Đáp số: $\frac{12}{29}, \frac{6}{7}, \frac{12}{25}, \frac{3}{5}$.

P. P. Gornusha