Tính phi lý và tính không thể rút gọn

6

phần không hình sự $\sqrt{2} = a/b$, thì
$$2 = \frac{a^2}{b^2}, \quad 2b^2 = a^2.$$
Rõ ràng số $a$ chia hết cho 2, $a^2$ —
với 4 và do đó $b$ bằng 2. Vậy
$a/b$ - phân đoạn co thắt.

Phân số $a/b = \sqrt{2}$ không thể co lại và không có tính chất đồng thời, điều đó có nghĩa là đại lượng $\sqrt{2}$ không phải là một phân số. Phẩm chất này đã khiến $\sqrt{2}$ trở thành một vị khách không mời mà đến trong thế giới của những con số, nơi ngự trị sự hài hòa và trật tự, sự đơn giản và hoàn hảo.

$\sqrt{2}$ có vẻ ngoài là do đường chéo của hình vuông đơn vị và những nỗ lực đo lường nó bằng các phân số hữu tỉ không thành công. Vận rủi khiến người Hy Lạp cổ đại vô cùng lo lắng, khiến tâm trí họ lên men. Hiện thực, được thể hiện dưới dạng hình học, đã thực sự gõ cửa thế giới của sự thuần khiết và tươi đẹp.

Nhiều thế kỷ trôi qua, $\sqrt{2}$ giành được vị trí trong số các con số, trở thành một hiện thực khác - nghiệm của phương trình $x^2 - 2 = 0$, và hóa ra là

số $\sqrt{2}$ là vô tỉ

bởi vì

đa thức $x^2 - 2$ là tối giản.

Câu chuyện của chúng tôi là về mối liên hệ giữa sự phi lý và tính tối giản.

tính bất khả quy

đa thức

$$P(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n$$

lũy thừa $n$ bằng $x$ với hệ số nguyên

$$a_0, a_1, \ldots, a_n; \quad a_n \neq 0$$

được gọi là không hợp lý nếu nó không thể được biểu diễn dưới dạng sản phẩm

$$P(x) = L(x) \cdot Q(x)$$

đa thức $L(x)$ và $Q(x)$ cũng có hệ số nguyên nhưng độ nhỏ hơn $n$. Nếu điều này có thể xảy ra thì $P(x)$ được gọi là vô tỷ.

Ví dụ: đa thức $x^3 + x^2 + x + 1$ có thể rút gọn (nó bằng $(x+1)(x^2+1)$ - kiểm tra!), và đa thức $x^2 + 1$ có ​​thể rút gọn (hãy nghĩ xem tại sao).

Nhị thức tuyến tính $a_0 + a_1x$ cung cấp ví dụ đơn giản nhất về đa thức vô tỉ. Căn duy nhất của nó $x = -a_0/a_1$ là một số hữu tỉ. Nhưng

giữa các nghiệm của một đa thức vô tỉ $n \geq 2$ không thể hữu tỉ.

7

Tính chất này suy ra từ một thực tế tổng quát hơn:

ĐỊNH LÝ. Nếu số a là nghiệm của hai đa thức đồng thời $P(x)$ và $Q(x)$ và một trong số chúng, chẳng hạn như $Q(x)$, là khả quy, thì đa thức $d \cdot P(x)$ chia hết cho $Q(x)$ đối với một số nguyên $d \neq 0$:

$$d \cdot P(x) = L(x) \cdot Q(x).$$

THEOPEMA này gắn liền với tên tuổi của nhà toán học nổi tiếng người Đức K. F. Gauss (1777-1855).

Nó sẽ được chứng minh trên p. 10, và tính chất trên suy ra từ nó, vì nhị thức tuyến tính không thể chia cho đa thức bậc $n \geq 2$.

Cơ hội mở ra để có được nhiều số vô tỷ mới. Chúng nên được tìm kiếm trong số các nghiệm của đa thức tối giản. Đưa tôi đến vùng đất bí ẩn của đa thức tối giản.

Dấu hiệu Eisenstein. Nếu đối với đa thức $P(x)$ người ta có thể chỉ định một số nguyên tố $p$ sao cho hệ số dẫn đầu $a_n$ không chia hết cho $p$, và tất cả các hệ số khác $a_k$ đều chia hết cho $p$, $k=0, 1, \dots, n$, nhưng số hạng tự do $a_0$, chia hết cho $p$, thì không chia hết cho $p^2$ thì đa thức $P(x)$ là tối giản.

F. G. M. Eisenstein (1823-1852), cũng là nhà toán học người Đức, đã trải qua sự bất lợi của số phận và sự thờ ơ của những người cùng thời với ông. Ý tưởng của ông chỉ được chấp nhận nhiều năm sau đó.

Bằng chứng

Giả sử, trái ngược với phát biểu, đa thức $P(x)$ với tính chất đã chỉ ra của các hệ số có thể rút gọn và do đó phân rã thành tích

$$P(x) = L(x) \cdot Q(x)$$

đa thức

Trong đẳng thức đầu tiên, số hạng tự do $a_0$ được chia cho $p$; điều đó có nghĩa là $b_0$ hoặc $c_0$ chia hết cho $p$; chúng không thể chia hết cho $p$ cùng một lúc hoặc $a_0 = b_0 c_0$ không chia hết cho $p^2$.

Cho $b_0$ chia hết cho $p$ và cho $c_0$ không chia hết. Sau đó, chúng ta chuyển sang đẳng thức thứ hai: $a_1$ chia cho $p$, $b_0 c_1$ chia cho $p$; vậy $b_1 c_0$ cũng chia hết cho $p$ và $b_1$ chia hết cho $p$…

…Và vì vậy chúng ta tiến tới đẳng thức thứ $l+1$ (tại $x^l$): $a_l$ chia cho $p$, tất cả $b_0, \dots, b_{l-1}$ chia cho $p$; thì $b_l c_0$ chia hết cho $p$ và do đó $b_l$ chia hết cho $p$.

Và bây giờ chúng ta hãy chuyển sang đẳng thức cuối cùng: điều này có nghĩa là hệ số dẫn đầu $a_n = b_1 c_m$ chia hết cho $p$, điều này là không thể theo điều kiện của dấu.

Nếu trong đẳng thức thứ nhất $c_0$ chia hết cho $p$, nhưng $b_0$ không chia hết, thì bắt đầu lại từ đầu, chúng ta chuyển sang đẳng thức thứ $m+1$ (tại $x^{m+1}$), rồi lại chuyển sang đẳng thức cuối cùng.

Điều này có nghĩa là việc khai triển $P(x) = L(x) \times Q(x)$ là không thể và đa thức $P(x)$ là khả quy. Dấu hiệu đã được thiết lập, nhưng chúng ta đã bị giết

Gốc vô tỷ

Đa thức $x^2-2$ là tối giản theo tiêu chuẩn Eisenstein (lấy $p=2$).

9

Hơn nữa, ở đây cũng vậy, bài kiểm tra Eisenstein không thể được coi là đã hết - người ta chỉ nên “tách” $P(x)$ bằng cách thay đổi biến $x$.

Câu hỏi về tính tối giản của đa thức

$$P(x) = x^2 + 1$$

quy về tiêu chuẩn Eisenstein như sau. Nếu $P(x)$ có thể rút gọn được thì $P(x+1)$ sẽ có thể rút gọn được. Nhưng $P(x+1) = x^2 + 2x + 2$ là khả quy theo tiêu chuẩn của Eisenstein cho $p=2$. Các đa thức $x^4 + 1$, $x^6 + x^3 + 1$ là tối giản vì lý do tương tự. Một phép biến đổi tương tự giải quyết được câu hỏi về tính tối giản của đa thức

$$P(x) = x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + 1$$

gọi là đa thức “chia đường tròn”.

Đa thức $P(x)$ có thể rút gọn nếu $n=p \cdot k$ là hợp số, vì $P(x) = \frac{x^n-1}{x-1} = \frac{(x^p)^k-1}{x-1} = \frac{(x^p-1)(x^p(k-1)+x^p(k-2)+\dots+1)}{x-1} = (x^{p-1}+x^{p-2}+\dots+1) \times (x^{p(k-1)+x^p(k-2)+\dots+1})$ và không thể rút gọn nếu $n=p$ là số nguyên tố.

Thật vậy, nếu $P(x)$ có thể rút gọn được trong trường hợp này, thì $P(x+1)$ sẽ có thể rút gọn được. Nhưng

$$P(x+1) = \frac{(x+1)^p-1}{(x+1)-1} = x^{p-1} + x^{p-2} + \dots + 1$$

tử số chia hết cho $p$, nhưng mẫu số không chia hết. Ngoài ra, số hạng giả là $C_p^{p-1} = p$ và không chia hết cho $p^2$. Khi đó, theo kiểm nghiệm của Eisenstein, $P(x+1)$ là khả quy, và do đó $P(x)$ cũng là khả quy.

Từ tính bất khả quy đã được chứng minh của $P(x)$, suy ra rằng trong số các nghiệm của phương trình chia đường tròn

*) Chúng tôi sử dụng hệ số nhị thức $C_k^i$ và công thức nhị thức Newton - xem «Kvant», 1986, số 1, tr. 23.

$$x^{p-1} + x^{p-2} + \dots + 1 = 0$$

với mọi số nguyên tố $p \geqslant 3$ đều không thể hợp lý.

Người ta có thể chứng minh rằng phương trình chia đường tròn không có nghiệm thực—chúng đều là số phức—và đặt ra một câu hỏi khó hơn: khi nào những gốc này “không quá vô tỷ”, tức là khi nào chúng có thể biểu diễn được bằng các căn thức khác nhau (nghĩa là, chúng có thể thu được bằng cách áp dụng bốn phép tính số học và phép tính trích căn bậc hai cho số nguyên)? Về bản chất, câu hỏi này được các nhà toán học Hy Lạp cổ đại quan tâm, vì nó tương đương với bài toán trong cách xây dựng: để $p$ người ta có thể dựng một $p$-giác đều đặn bằng một la bàn và thước kẻ?

Một cách nhất quán, Gauss đã giải quyết vấn đề này và chứng minh*) rằng các nghiệm của phương trình chia đường tròn được biểu thị bằng căn bậc hai khi (và đứng đầu**)) khi $p$ là số Fermat nguyên tố, $p=3, 5, 17, 257, \dots, 2^{2k}+1, \dots$. Gauss rất tự hào về khám phá của mình và thậm chí còn “bày tỏ mong muốn gon thứ mười bảy sẽ được bất tử trên mộ của ông”.

Những thành tựu khác khiêm tốn hơn của Gauss bao gồm

Bổ đề về đa thức áp dụng

Bổ đề này sẽ giúp chúng ta chứng minh tổng quát định lý. đa thức

$$P(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$$

được gọi là áp dụng nếu các hệ số $a_0, a_1, \dots, a_n$ của nó không có thừa số nguyên tố chung.

Bổ đề Gauss phát biểu rằng

Tích của hai đa thức áp dụng lại là đa thức áp dụng.

Bổ đề này sử dụng nhiều định lý về số và đại số. Bạn đọc nào đã hoàn thành chứng minh bài kiểm tra của Eisenstein (ở trang 7) sẽ dễ dàng nắm vững cách chứng minh dưới đây, hoặc những cái tên có nhiều điểm chung với nhau.

*) Chi tiết về sự kiện này được S. G. Gindikin phản ánh trong “Những câu chuyện về Vật lý và Toán học” (M.: Nauka, 1981. - Bible Series. «Kvant», số 14).

*) Phần khẳng định này đã được chứng minh bởi P. L. Vanzel (1814-1848), gia sư tại Trường Bách khoa ở Paris.