Trường học yêu thích bài toán

22

Trường học yêu thích bài toán

lớp tám

1. Chứng minh rằng không có số nguyên dương $n$ thì số $n^4+2n^3+2n^2+2n+1$ có thể là số chính phương.
2. Xây dựng một đoạn có trung điểm tại một điểm cho trước sao cho các đầu của nó nằm trên một đường thẳng cho trước và một đường tròn cho trước.
3. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ mà số $n^3+3$ chia hết cho $n+3$.
4. Có tam giác nào có đường cao $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{2}+\sqrt{3}$ không?
5. Một người lái xe sắp băng qua một con đường vắng. Xe của anh ấy tiêu thụ 1 lít xăng trên 10 km. Người lái xe ô tô có 450 lít xăng, nhưng không thể mang theo quá 150 lít. Tuy nhiên, nó có thể đi được hơn 1.500 km, để lại một ít xăng dọc đường và quay trở lại để bổ sung bình xăng. Khoảng trống rộng nhất mà xe tự hành có thể vượt qua là bao nhiêu?

lớp chín
6. Cái nào lớn hơn: $7\sqrt{5}$ hay $5\sqrt{7}$?
7. Hai đoạn thẳng có chiều dài 1 ngăn từ một tứ giác góc cho trước có diện tích lớn nhất.

bìa của chúng tôi

Mười ba quả bóng trong một lồng

Người ta biết rằng trên một mặt phẳng, 6 đường tròn có cùng bán kính có thể gắn vào một đường tròn có bán kính 1 sao cho chúng tiếp xúc với đường tròn đó và không cắt nhau (hình 1). Trong trường hợp này, tâm của sáu hình tròn nằm ở các đỉnh của một hình lục giác đều và tâm của hình tròn thứ nhất là tâm của hình lục giác này. Không khó để xây dựng để chứng minh rằng không thể áp dụng nhiều hơn 6 vòng tròn.

Còn trong không gian thì sao? Có bao nhiêu vật liệu giống hệt nhau?

quả bóng có thể được gắn vào cùng một quả bóng? Nhiều người biết rằng đáp số là 12. Nhưng liệu có thể tưởng tượng, rõ ràng và rõ ràng như với các vòng tròn, một bức tranh về sự sắp xếp của 12 quả bóng được gắn vào một quả bóng không? Hóa ra là có thể (xem trang 4 của trang bìa).

Để bắt đầu, hãy tưởng tượng một quả bóng chạm vào tất cả 12 cạnh của một khối lập phương nhất định (hình 2). Quả bóng như vậy được gọi là viết một nửa thành hình lập phương. Bây giờ chúng ta hãy làm một “cái lồng” cho 13 quả bóng. Để làm điều này, chúng ta chia khối lập phương lớn hơn thành 27 chiếc cốc giống hệt nhau. Bộ xương của vách ngăn này, tức là các cạnh của tất cả các cốc thành phần, tạo thành “ô” mong muốn. Chúng ta hãy tưởng tượng vách ngăn này theo “hình bàn cờ” sao cho khối trung tâm và những thứ đó

12 chiếc cốc có một cạnh chung và 14 chiếc còn lại có màu trắng. Mỗi khối “đen” sẽ tạo thành một quả bóng (hình 3). Các quả bóng chạm vào các cạnh của tế bào và chạm vào nhau qua chúng. Mười hai quả bóng bên ngoài chạm vào quả bóng trung tâm.

12 quả bóng có thể được gắn vào cùng một quả bóng theo những cách khác. Về vấn đề này, câu hỏi được đặt ra: có thể thêm 13 không? Đã có một cuộc tranh luận về vấn đề này giữa Isaac Newton và nhà sư và nhà toán học người Anh Gregory. Nhưng tranh chấp này chỉ được giải quyết theo hướng có lợi cho Newton (không thể!) vào năm 1953 trong một bài báo chung của Schutte và Van der Waardan.

V.V. tùy ý