Избранные школьные задачи

22

Избранные школьные задачи

Восьмой класс

1. Докажите, что ни при каком натуральном $n$ число $n^4+2n^3+2n^2+2n+1$ не может быть точным квадратом.
2. Постройте отрезок с серединой в данной точке так, чтобы его концы лежали на данной прямой и данной окружности.
3. Найдите все натуральные числа $n$, для которых число $n^3+3$ делится на $n+3$.
4. Существует ли треугольник с высотами $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{2}+\sqrt{3}$?
5. Автомобильист собирается пересечь пустую. Его машина траит 1 л бензина на 10 км пути. Автомобильист имеет 450 л бензина, но может взять с собой не более 150 л. Оdnako он может преодолеть более 1500 км, оставляя по пути следования часть бензина и возвращаясь обратно для пополнения бензобака. Пустinho какой наиболее ширины может пересечь автономicit?

Девятый класс
6. Что больше: $7\sqrt{5}$ или $5\sqrt{7}$?
7. Двумя отрезками длины 1 отсеке от данного угла четырехугольник наиболее площади.

Наша обложка

Тринадцать шаров в одной клетке

Хорошо известно, что на плоскости к одному кругу радиуса 1 можно приложить 6 кругов того же радиуса так, чтобы они его касались и друг друга не пересекали (рис. 1). При этом центры шести кругов лежат в вершинах правильного шестиугольника, а центр перого круга является центром этого шестиугольника. Не очень трудно строить доказать, что больше 6 кругов приложить нельзя.

А в пространстве? Сколько одинаковых материалов?

шаров можно приложить к таким же шару? Многие знают, что ответ — 12. Но можно ли столь же наглядно и четко, как с кругами, представить себе картину расположения 12 шаров, приложенных к одному шару? Оказывается — можно (см. 4-ю с. обложки).

Для начала представим себе шар, который касается всех 12 ребер неокоторого куба (рис. 2). Такой шар называется полуписанным в куб. Теперь изготовим «клетку» для 13 шаров. Для этого разобем больший куб на 27 одинаковых кубков. Остов этого разбиения, то есть ребра всех составляющих кубков, и образует искому «клетку». Мысленно закрасим это разбиение в «шахматном порядке» так, чтобы черными были центральный кубик и те

12 кубков, которые имеют с нимровно одно общее ребро, а белыми — остальные 14. В каждый «черный» кубик получится шар (рис. 3). Шары касаются ребер клеток и через них касаются друг друга. Двенадцать внешних шаров касаются центрального шара.

12 шаров можно приложить к таким же шару и других способами. В связи с этим возникет вопрос: а нельзя ли приложить 13? По этому вопросу возникли знания спор еще у Исаака Ньютона и английского монаха и математика Грегори. Но этот спор был решен в пользову Ньютона (нельзя!) лишь в 1953 году в совместной стате Шютте и Ван-дер-Вардана.

В. В. Произволь