Иррациональность и неприводимость

6

нескратийной дроби $\sqrt{2} = a/b$, то
$$2 = \frac{a^2}{b^2}, \quad 2b^2 = a^2.$$
Ясно, что число $a$ делится на 2, $a^2$ —
на 4 и, значит, $b$ — на 2. Так что
$a/b$ — дробя сократия.

Дробь $a/b = \sqrt{2}$ не может одновременно быть сократиюй и нескратийной, значит, величина $\sqrt{2}$ — не дробь. Это качество делало $\sqrt{2}$ нежеланным гостем в мире чисел, где царили гармония и порядок, простота и совершенство.

Своим появлением $\sqrt{2}$ был обязан диагонали единчного квадрата и неудачным попыткам измерить ее рациональныеми отрезками. Недача сильно беспокоила древних греков, вызывая брожение умов. Реальность, выраженная геометрическим образом, настоящую стучалась в мир чистого и прекрасного.

Прошло много веков, $\sqrt{2}$ завоевал себе место среди чисел, став другой реальностью — корнем уравнения $x^2 - 2 = 0$, и оказалось, что

число $\sqrt{2}$ инрационально

потому, что

многочлен $x^2 - 2$ неприводим.

О связи инрационального и неприводимости — наш рассказ.

Неприводимость

Многочлен

$$P(x) = a_0 + a_1x + \ldots + a_nx^n$$

степени $n$ по $x$ с целыми коэффициентами

$$a_0, a_1, \ldots, a_n; \quad a_n \neq 0$$

называется инрационным, если он не может быть представлен в виде произведения

$$P(x) = L(x) \cdot Q(x)$$

многочленов $L(x)$ и $Q(x)$ также с целыми коэффициентами, но степеней меньше, чем $n$. Если же подобное возможно, то $P(x)$ называется инрационным.

Например, многочлен $x^3 + x^2 + x + 1$ приводим (он равен $(x+1)(x^2+1)$ — проверте!), а многочлен $x^2 + 1$ приводим (подумайте, почему).

Линейный двучлен $a_0 + a_1x$ дает простейший пример инрационного многочлена. Его единственный корень $x = -a_0/a_1$ есть число рационального. Но

среди корней инрационного многочлена $n \geq 2$ не может быть рациональным.

7

Это свойство вытекает из более общого факта:

ТЕОРЕМА. Если число а является корнем одновременного двух многочленов $P(x)$ и $Q(x)$ и один из них, скажем $Q(x)$, неприводим, то многочлен $d \cdot P(x)$ при некотором целом $d \neq 0$ делится на $Q(x)$:

$$d \cdot P(x) = L(x) \cdot Q(x).$$

Эта TEOPЕМА связана с именем прославленного немецкого математика К. Ф. Гаусса (1777—1855).

Она будет доказана на с. 10, а указанное выше свойство вытекает из нее, поскольку линейный двучлен не может делиться на многочлен степени $n \geq 2$.

Открывается возможность получить много новых irrationalных чисел. Их следует искать среди корней неприводимых многочленов. В загадочную страну неприводимых многочленов насводит.

Признак Эйзенштейна. Если для многочлена $P(x)$ можно указать такое простое число $p$, что старший коэффициент $a_n$ не делится на $p$, а все остальные коэффициенты $a_k$ делятся на $p$, $k=0, 1, \dots, n$, но свободный член $a_0$, делясь на $p$, не делится на $p^2$, то такой многочлен $P(x)$ неприводим.

Ф. Г. М. Эйзенштейн (1823—1852) — тоже немецкий математик — испытал немилость судьбы и равнодушие современников. Его идеи были восприняты лишь много лет спустя.

Доказательство

Пусть, в противоречие с утверждением, многочлен $P(x)$ с указанным свойством коэффициентов приводим и потому разлагается в произведение

$$P(x) = L(x) \cdot Q(x)$$

многочленов

В первом из написанных равенств свободный член $a_0$ делится на $p$; значит, или $b_0$, или $c_0$ делится на $p$; они не могут делиться на $p$ одновременно, либо $a_0 = b_0 c_0$ не делится на $p^2$.

Пусть $b_0$ делится на $p$, а $c_0$ не делится. Тогда переходим к второму равенству: $a_1$ делится на $p$, $b_0 c_1$ делится на $p$; значит, $b_1 c_0$ также делится на $p$ и $b_1$ делится на $p$…

…И так ием до $l+1$-го равенства (при $x^l$): $a_l$ делится на $p$, все $b_0, \dots, b_{l-1}$ делится на $p$; тогда $b_l c_0$ делится на $p$ и, значит, $b_l$ делится на $p$.

А теперь переносимся в последнее равенство: значит, старший коэффициент $a_n = b_1 c_m$ делится на $p$, что невозможно по условию признака.

Если же в первом равенстве $c_0$ делится на $p$, а $b_0$ не делится, то, начав все сначала, идем до $m+1$-го равенства (при $x^{m+1}$), а затем опять переносимся в последнее.

значит, разложение $P(x) = L(x) \times Q(x)$ невозможно, и многочлен $P(x)$ неприводим. Признак установлен, а нас уже джут

Иrrациональные радикалы

Многочлен $x^2-2$ неприводим по признаку Эйзенштейна (возьмите $p=2$).

9

менее и здесь признак Эйзенштейна нельзя считать исчерпанным — следует только «расщевлять» $P(x)$, меняя переменную $x$.

Вопрос о неприводимости многочлена

$$P(x) = x^2 + 1$$

сводится к признаку Эйзенштейна следующим образом. Если бы $P(x)$ был приводим, то и $P(x+1)$ был приводим. Но $P(x+1) = x^2 + 2x + 2$ неприводим по признаку Эйзенштейна при $p=2$. Многочлены $x^4 + 1$, $x^6 + x^3 + 1$ неприводимы по той же причине. Аналогичное преобразование решает вопрос о неприводимости многочлена

$$P(x) = x^{n-1} + x^{n-2} + \dots + 1$$

называемого многочленом «деления круга».

Многочлен $P(x)$ приводим, если $n=p \cdot k$ — составное число, так как $P(x) = \frac{x^n-1}{x-1} = \frac{(x^p)^k-1}{x-1} = \frac{(x^p-1)(x^p(k-1)+x^p(k-2)+\dots+1)}{x-1} = (x^{p-1}+x^{p-2}+\dots+1) \times (x^{p(k-1)+x^p(k-2)+\dots+1})$, и неприводим, если $n=p$ — простое число.

Дейстительно, если бы $P(x)$ был приводим в этом случае, то и $P(x+1)$ был приводим. Но

$$P(x+1) = \frac{(x+1)^p-1}{(x+1)-1} = x^{p-1} + x^{p-2} + \dots + 1$$

числитель делится на $p$, а знаменатель не делится. Кроме того, свободный член равен $C_p^{p-1} = p$ и не делится на $p^2$. Тогда, согласно признаку Эйзенштейна, $P(x+1)$ неприводим, а значит, неприводим и $P(x)$.

Из доказанной неприводимости $P(x)$ следует, что среди корней уравнения деления круга

*) Мы пользовемся биномialesми коэффициентами $C_k^i$ и формулой бинома Ньютона — см. «Квант», 1986, № 1, c 23.

$$x^{p-1} + x^{p-2} + \dots + 1 = 0$$

при любом простом $p \geqslant 3$ не может быть рациональны.

Можно доказать, что уравнение деления круга не имеет и действительных корней — все они комплексные числа, — и задать более трудный вопрос: когда эти корни «не слишком irrationalны», то есть когда они представимы в разничными радиkalами (это значит, что их можно получить, применяя к целым числам четыре арифметических действия и операцию извлечения квадратных корней)? Этот вопрос, в существии, интересовал еще древнегреческий математиков, так как он равносил такой задаче на построение: при каких $p$ можно построить правильный $p$-угольник циркулем и линейкой?

В консти Гаусс справился с этой задачей и доказал*), что корни уравнения деления круга выражаются квадратными радиkalами тогда (и головко тогда**)), когда $p$ есть простое число Ферма, $p=3, 5, 17, 257, \dots, 2^{2k}+1, \dots$. Гаусс очень гордился своим открытом и даже «выразил желание, чтобы в памятике на его могиле был увековен семнадцатуюгольник».

К другим, более скромным достижением Гаусса относится

Лемма о примененных многочленах

Эта лемма поможет нам дать общанное доказательство теоремы. Многочлен

$$P(x) = a_0 + a_1x + \dots + a_nx^n$$

называется примененным, если его коэффициенты $a_0, a_1, \dots, a_n$ не имеют общих простых делителей.

Лемма Гаусса утвердает, что

Произведение двух примененных многочленов есть снова применный многочлен.

Эта лемма использует во многох теореми чисел и алгебры. Читатель, прошедший доказательство признака Эйзенштейна (на с. 7), легко освоит и доказательство, приведенное ниже, либо имена между собой много общего.

*) Подробности этого события отражены С. Г. Гиндикиным в «Рассказах о физике и математике» (М.: Наука, 1981. — Серия Библи. «Квант», вып. 14).

*) Эта часть утверждения доказана П. Л. Ванцелем (1814—1848) — репетитором Политехнической школе в Париже.