Quay lại hình vuông một

24

TRỞ LẠI CHÍNH MÌNH
Điều gì sẽ xảy ra nếu…

Ứng viên Khoa học Vật lý và Toán học
A. P. SAVIN

Khi còn nhỏ, tôi thực sự yêu thích kính vạn hoa.
Bạn nhìn vào chiếc ống thần kỳ và thấy một bộ não tuyệt đẹp. Một ngã rẽ nhỏ - và một khuôn mẫu mới, một ngã rẽ khác - và lại là một khuôn mẫu mới và mới.

Khi lần đầu tiên chạm tay vào khối Rubik, ban đầu tôi chỉ thích quay nó, giống như trước đây tôi đã quay một chiếc kính vạn hoa, chiêm ngưỡng sự chơi đùa của màu sắc trên các mặt của nó. Tuy nhiên, tôi nhanh chóng cảm thấy nhàm chán với việc quay ngẫu nhiên. Sau vài giờ cố gắng tự mình mở “máy cắt” giải khối lập phương, tôi lấy ra số «Kvant» *) và sau khi dành khoảng một giờ nữa, khối lập phương đã được giải.

Bây giờ tôi bắt đầu xử lý khối lập phương cẩn thận hơn để có thể dễ dàng đưa nó trở lại vị trí “đã lắp ráp”. Tôi vặn một bên một lần (hình 1), hết lần này đến lần khác - khối lập phương lại được giải.

Điều gì xảy ra nếu bạn lần lượt xoay hai mặt liền kề theo cùng một hướng? Lần đầu tiên giây, giây đầu tiên hai, giây đầu tiên ba… (hình 2). Lúc này tôi đã biết rằng sau một vài cặp xoay, khối lập phương sẽ “lắp ráp” lại. Các ngón tay của tôi bắt đầu đặt lại, tôi không đếm được, nhưng khối lập phương vẫn không “lắp ráp được”.

Chỉ sau 105 cặp lần quay, khối lập phương mới thu được màu sắc trên các mặt.

Nhưng làm sao tôi biết được khoảnh khắc đó sẽ đến? Trước đó tôi chỉ suy nghĩ một chút thôi. Mặc dù khối lập phương có nhiều vị trí khác nhau nhưng vẫn có một số lượng hữu hạn. Nếu vậy thì không thể lúc nào nó cũng ở một vị trí mới; sớm hay muộn một vị trí mà khối lập phương đã có sẽ xuất hiện. Chúng ta hãy biểu thị vị trí này bằng chữ A và vị trí “được lắp ráp” bằng chữ E (hình 3, trang 27). Sau một vài lần quay, khối lập phương chuyển từ trạng thái A sang trạng thái B, rồi từ trạng thái B sang trạng thái C, v.v., cho đến khi nó lại ở vị trí A và mọi thứ bắt đầu lặp lại. Như các nhà toán học nói, vị trí của khối lập phương sẽ được lặp lại theo chu kỳ.

Hãy xây dựng kết quả thu được bằng cách trừu tượng hóa từ khối lập phương - đối tượng mà nó thu được.

Nếu một đối tượng có thể ở một số trạng thái hữu hạn và có một thao tác nhất định biến đổi rõ ràng trạng thái đó sang trạng thái mới, thì bằng cách áp dụng nhất quán thao tác này, chúng ta thu được một chuỗi lặp lại định kỳ về trạng thái của đối tượng.

*) Xem «Kvant», 1983, số 9, tr. 33-36.

25

Tuyên bố này nghe có vẻ giống như một quy luật tự nhiên hoặc một định lý toán học. Trên thực tế, nó là như vậy. Hơn nữa, với tuyên bố này, chúng ta có thể nhận được kết quả rất thú vị.

Nhưng trước tiên, tôi sẽ thảo luận về định luật khối Rubik. Chúng ta hãy lưu ý thêm một đặc điểm nữa trong hoạt động của chúng ta: đối với bất kỳ trạng thái nào có định nghĩa rõ ràng, trạng thái “trước đó”. Cụ thể, bạn nên quay theo hướng khác, đầu tiên là mặt thứ hai, sau đó là mặt thứ nhất của khối lập phương. Hãy xem hình 4 (tr. 27). Di chuyển từ vị trí A “ngược lại”, bắt đầu từ vị trí đầu tiên A, sau vài bước chúng ta sẽ đến vị trí E; Điều này có nghĩa là từ vị trí thứ hai A với cùng số bước chúng ta sẽ đến vị trí E. Như vậy, giữa vị trí thứ nhất và thứ hai của khối A, chúng ta phải tìm vị trí E - khối của chính chúng ta.

Đây là những suy nghĩ lóe lên trong đầu tôi trước khi tôi bắt đầu xoay khối lập phương theo quy tắc được mô tả. Tất nhiên, số cặp phép quay có thể rất lớn, vì khối Rubik có số phần tử cực kỳ lớn - 43.252.003.274.489.856.000. Tôi đã cố gắng xoay các mặt theo các hướng khác nhau - mặt thứ nhất theo chiều kim đồng hồ và mặt thứ hai ngược chiều kim đồng hồ. Trong trường hợp này, quá trình quay lại xảy ra sau 63 cặp di chuyển và nếu bạn lần lượt xoay ba mặt liền kề theo một hướng, chu kỳ sẽ kết thúc sau 80 lượt.

Bất cứ ai có khối Rubik đều có thể làm quen với các lượt chơi khác. Chà, đối với những người chưa có, hãy lấy giấy, bút chì và chúng ta sẽ bắt đầu thử nghiệm các con số. Tất nhiên, nó sẽ không phù hợp với máy tính vi mô hoặc máy tính cá nhân, nhưng bạn có thể làm mà không cần chúng.

Hãy chia 136 cho 11. Nhân tiện, bạn có biết phép thử chia hết cho 11 không? KHÔNG? Hãy nhớ rằng, điều này rất hữu ích. Một số chia hết cho 11 nếu hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí chẵn chia hết cho 11. Do đó, trong trường hợp của chúng ta (1+6)-3=4, 136 không chia hết cho 11.

Điều gì sẽ xảy ra nếu chúng ta bắt đầu chia sẻ một góc? Hãy xem hình 5 (tr. 26). Dễ dàng nhận thấy các số sau dấu thập phân được lặp lại theo chu kỳ. Phân số thập phân như vậy sẽ là vô hạn và được gọi là phân số thập phân tuần hoàn. Nó được viết như thế này: 12, (36) - một tập hợp các số lặp lại được đặt trong ngoặc đơn.

Khi chia những số nguyên nào khác thì phân số thập phân tuần hoàn xuất hiện? Bất kỳ, miễn là số chia khác 0 và chúng ta sẽ coi phân số thập phân cuối cùng là vô hạn, tiếp tục nó sau chữ số cuối cùng bằng số 0. Tại sao? Để chứng minh điều này, sẽ rất thuận tiện cho chúng ta sử dụng mệnh đề tổng quát đã được xây dựng trước đó. Là đối tượng đang được xem xét, hãy lấy sự khác biệt bên dưới dòng. Trong ví dụ của chúng tôi, đầu tiên nó sẽ là 2, sau đó là 4, rồi 7, lại là 4, lại là 7, v.v. Hãy xem xét thao tác chúng tôi đang thực hiện

26

với đối tượng này. Đầu tiên, bạn nên cộng thêm một chữ số, sau đó trừ đi bội số lớn nhất của số chia từ số kết quả, nhưng không vượt quá số này, viết ra hiệu - đây sẽ là số được chuyển đổi.

Lúc đầu, phép toán phụ thuộc vào số bị chia, vì chúng ta gán số phụ thuộc vào số bị chia, nhưng sau một vài bước (trong trường hợp của chúng ta là từ bước thứ hai), chỉ có số 0 được gán ở bên phải. Sau đó, chúng ta thấy mình đang ở trong những điều kiện vận hành của định luật mà chúng ta đã xây dựng. Một đối tượng là một số, nó có thể ở một số trạng thái hữu hạn: các giá trị nguyên không âm được chấp nhận, nhỏ hơn số chia. Hoạt động được xác định; nó chuyển đổi rõ ràng số này sang số khác. Điều này có nghĩa là dãy số thu được sẽ được lặp lại định kỳ. Theo đó, các số trong phần sẽ bắt đầu lặp lại theo định kỳ. Tuyên bố của chúng tôi đã được chứng minh.

Điều gì xảy ra nếu bạn lấy tổng các chữ số của nó từ một số, lấy lại tổng các chữ số của nó từ số kết quả, v.v.? Hãy cộng nó lại, với con số 1987 thì mọi thứ đều rõ ràng:
1987→25→7→7→7→…

Còn những con số khác thì sao? Dễ dàng nhận thấy mọi số đều lớn hơn tổng các chữ số của nó (ngoại lệ duy nhất là số có một chữ số), do đó, sau khi áp dụng thao tác lấy tổng các chữ số, số đó sẽ giảm dần cho đến khi trở thành một chữ số và số có một chữ số với thao tác của chúng ta sẽ trở thành một số bằng nhau. Như vậy, chúng ta đã nhận được bằng chứng về tính tuần hoàn (với chu kỳ 1), chúng ta thu được các chuỗi bắt đầu từ một vị trí nhất định.

Số nào sẽ được lặp lại? Câu hỏi này rất dễ trả lời mà không cần viết ra trình tự. Đây sẽ là số dư của số đầu tiên chia cho 9 nếu số đó không chia hết cho 9 và 9 nếu chia hết cho 9. Tại sao? Dựa trên khả năng chia hết cho 9. Đúng, bạn biết nó ở dạng “cắt ngắn”: “để một số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 9”. Tuy nhiên, có một phát biểu mạnh mẽ hơn: bản thân số đó và tổng các chữ số của nó có cùng số dư khi chia cho 9.

Bây giờ rõ ràng là mỗi số tiếp theo sẽ có cùng số dư khi chia cho 9 như số đầu tiên. Trong số các số có một chữ số, tất cả đều có số dư khác nhau khi chia cho 9, ngoại trừ 0 và 9, nhưng một số khác 0 thì có tổng các chữ số cũng khác 0. Đây là nơi tuyên bố của chúng tôi theo sau. Dãy số tuần hoàn có chu kỳ 1 được gọi là dãy điểm cố định.

Điều gì xảy ra nếu một số không có tổng các chữ số mà có tổng bình phương các chữ số? Hãy thử lại với số 1987 (hình 7). Chúng tôi thấy rằng chuỗi 145, 42, 20, 4, 16, 37, 58, 89 sẽ được lặp lại định kỳ.

Hãy lấy số 133 (hình 8). Ở đây “điểm cố định” là 1 (chu kì của dãy là 1).

Nhưng có cần thiết phải xuất hiện các chuỗi tuần hoàn khi tính tổng bình phương các chữ số không? Và nếu vậy, cái nào?