Bài toán M1106—M1110; F1118—F1122

25

Bài toán

M1106 — M1110, F1118 — F1122

M1106. Mỗi trong số ba đường thẳng nối trung điểm của các cạnh đối diện của một hình lục giác lồi chia diện tích của nó làm đôi. Chứng minh rằng ba đường thẳng đó cắt nhau tại một điểm.

V.V. tùy ý

M1107. Chứng minh rằng nếu $a, b$ và $c$ là độ dài cạnh của tam giác thì

$$2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + 3.$$

L. D. Kurlyandchik

M1108. Trong một $n$-giác lồi ($n > 4$), không có ba đường chéo nào đi qua cùng một điểm bên trong đa giác. Có thể kiểm tra số đường chéo tối đa là bao nhiêu để tất cả các phần mà chúng chia $n$-gon thành hình tam giác?

M. Khovanov, học sinh lớp 10, Mátxcơva

M1109. Trong một trong những bài tập hình học thứ hai, bài toán sau đây đã được đặt: tính độ dài cạnh của một tam giác vuông đặt trong parabol $y = x^2$. Trong gợi ý đến bài toán người ta nói rằng một trong các đỉnh của tam giác trùng với đỉnh của parabol. Điều này có đúng không gợi ý? độ dài cạnh của một tam giác vuông chèn vào parabol này có thể bằng a) 3; b) 1988?

V. S. Shevelev

M1110. Đối với một số tự nhiên nhất định $n > 1$, chúng ta viết ra các ước số chung nhất của tất cả các cặp số phân biệt có thể có từ 1 đến $n$. Chứng minh rằng a) trung bình số học của tất cả các số $n(n-1)/2$ được viết ra tăng không giới hạn với $n$, nhưng không vượt quá $\ln n + 1$; b) trung bình hình học của chúng không vượt quá 10 đối với bất kỳ $n$ nào.

V. F. Lev

F1118. Một ngư dân sống ở cửa sông chảy ra biển đã chuyển đến nơi ở mới cách thượng nguồn vài km. Trước sự ngạc nhiên của mình, ông phát hiện ra rằng thời gian từ khi bắt đầu thủy triều lên đến khi bắt đầu thủy triều xuống tăng lên và thời gian từ khi bắt đầu thủy triều xuống đến khi bắt đầu thủy triều lên lại giảm xuống. Làm thế nào để bắt buộc hoàn cảnh này?

A. S. Vugov

F1119. Một lượng bất đối xứng nhất định được áp dụng $O—O$ được đổ vào một cái lồng hẹp có các bức tường thẳng đứng song song. Ở một tốc độ quay nhất định, phần thứ $k$ của vùng đáy sẽ lộ ra. Lực ép lên đáy và trên các bức tường bên hẹp thay đổi như thế nào (so với trường hợp vịnh đứng yên)? Khi quay, chất lỏng không bắn ra ngoài. Bỏ qua sức căng bề mặt.

G. S. Lanuds

26

F1120. Để so sánh độ dẫn nhiệt của các vật liệu khác nhau, người ta đề xuất sử dụng các phương pháp sau. Hai hình trụ giống hệt nhau làm bằng vật liệu đang nghiên cứu được đặt trên một tấm nóng (hình 2). Một mảnh nước được đặt trên các xi lanh. Nơi sáp bắt đầu tan chảy nhanh nhất là nơi xi lanh có độ dẫn nhiệt tốt nhất. Phương pháp này có đúng không?

A. I. Vuzdin

F1121. Một quả cầu kim loại có bán kính $r$, được tách ra khỏi các vật thể khác, sau đó xuyên qua lực cản $R$. Một chùm electron có tốc độ ở xa quả bóng là $v$, chạm vào quả bóng. $n$ các electron chạm vào quả bóng mỗi giây. Độ dẫn nhiệt của quả bóng mỗi giây là bao nhiêu? Câu đố là gì?

I. F. Ginzburg

F1122. Đã có những trường hợp quan sát thế giới biển trong khoảng trống. Ảo ảnh như vậy xuất hiện ở khoảng cách nào từ người quan sát? Giả sử tốc độ ánh sáng ở lớp bề mặt trong không gian trống thay đổi theo định luật $c(z)=c_0(1-az)$, trong đó $c_0$ là tốc độ ánh sáng tại bề mặt trái đất, $z$ là độ cao so với bề mặt.

V. I. Klyachin

Problems

M1106 — M1110, P1118 — P1122

M1106. Each of the three lines joining the midpoints of the opposite sides of a convex hexagon divide its area in half. Prove that these lines intersect at one common point.

V. V. Proizvolov

M1107. Prove the inequality

$$2 \left( \frac{a}{b} + \frac{b}{c} + \frac{c}{a} \right) \geq \frac{a}{c} + \frac{c}{b} + \frac{b}{a} + 3,$$

where $a, b, c$ are the sides of a triangle.

L. D. Kurlyandchik

M1108. No three diagonals of a convex $n$ vertex polygon have a single common point inside it ($n \geq 4$). What largest number of diagonals may be drawn so that all the parts into which they split the polygon are triangles?

M. Khovanov, 10th form student, Moscow

M1109. An old geometry problem book contains the following exercise: compute the length of the sides of an equilateral triangle inscribed in the parabola $y=x^2$. As a hint for finding the solution, the authors claim that one of the vertices must coincide with the parabola’s vertex. Is this correct? Can the side of the inscribed equilateral triangle equal a) 3; b) 1988?

V. S. Shevelev

M1110. For a given integer $n>1$ select all the greatest common divisors of pairs of distinct integers from 1 to $n$.