Kvant
Tài liệu thi cử

Bài toán kỳ thi tuyển sinh vào các trường đại học khác nhau vào năm 1987

Егоров А. А., Тихомирова В. А.

Kvant 1988, số 6tr. 71, 73, 74, 75, 76, 78, 79, 80Thẻ 06ZW

Bản dịch tự động sơ bộ, chất lượng thấp: có thể còn lỗi và câu chữ chưa tự nhiên. Bản này sẽ được thay bằng bản dịch tốt hơn. Bản gốc →

71

Bài toán
kỳ thi tuyển sinh
ở nhiều loại khác nhau
vào năm 1987

Chúng tôi cung cấp tuyển chọn bài toán kỳ thi tuyển sinh môn toán và vật lý cho một số trường đại học - Gorky (1), Donetsk (2), Omsk (3), Saratov (4), Tbilisi (5) và các học viện - Bách khoa Gorky (6), Sư phạm Kiev (7), Kỹ thuật vô tuyến Minsk (8), Kiến trúc Moscow (9), Bách khoa Tomsk (10), Sư phạm Yaroslavl (11).

Toán học

đại số

1(2). Tìm một số có hai chữ số, biết rằng số hàng chục của nó lớn hơn số hàng đơn vị của nó là 4 và tích của số này với số kết quả của các chữ số của nó là 153.

2(11). MotoshikLIST đi từ điểm A đến điểm B, cách A 120 km. Anh lái xe về với tốc độ tương tự nhưng một giờ sau khi xuất phát anh phải rời đi trong 10 phút. Sau khi dừng lại, người đó tiếp tục đi về A, tăng vận tốc thêm 6km/h. Tốc độ ban đầu của motoshikLIST là bao nhiêu, nếu biết rằng thời gian trên đường về của anh ta là bằng nhau như trên đường từ A đến B?

3(7). Dọc theo một đường tròn có chiều dài 60 m, hai điểm chuyển động đều và cùng chiều. Một người thực hiện một vòng quay hoàn toàn nhanh hơn người kia 5 giây, đồng thời đuổi kịp điểm thứ hai mỗi phút. Tìm vận tốc của các điểm.

4(7). Tìm tốc độ và chiều dài của đoàn tàu nếu nó đi qua một người quan sát đứng yên với tốc độ không đổi trong 7 s và mất 25 s để chuyển động với cùng tốc độ dọc theo một sân ga dài 378 m.

5(7). Hai miếng đồng có tổng khối lượng là 30 kg. Mảnh thứ nhất chứa 5 kg đồng nguyên chất, mảnh thứ hai chứa 4 kg. Miếng đồng thứ nhất chứa bao nhiêu phần trăm đồng nếu miếng thứ hai chứa nhiều hơn miếng thứ nhất 15%?

6(6). Để vận chuyển 60 tấn hàng hóa phải sử dụng nhiều xe tải. Do đoạn đường lên cao nên mỗi xe tải phải chở ít hơn dự kiến ​​0,5 tấn nên cần thêm 4 xe nữa. Ban đầu bạn dự định sử dụng bao nhiêu xe tải?

7(6). Tử số của một phân số lớn hơn giá trị của nó 2 đơn vị. Nếu bạn cộng phân số này vào nghịch đảo của nó, bạn sẽ có 74/35. Tìm phân số ban đầu.

8(6). Tìm tổng của tất cả các số có hai chữ số là bội số của 5.

9(6). Chứng minh chính xác

sin⁡α−tgα2=cos⁡αtgα2.\sin \alpha - \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2} = \cos \alpha \mathrm{tg} \frac{\alpha}{2}.

  1. Giải các phương trình:

a)(2) 1+4x−x2=x−1\sqrt{1+4x-x^2} = x-1;
b)(1) lg⁡5+(x−2)lg⁡0,2=lg⁡(26−5x−1)\lg 5 + (x-2)\lg 0,2 = \lg (26-5^{x-1});
b)(1) log⁡5x2+log⁡5x=2log⁡5x+1\sqrt{\log_5 x^2} + \sqrt{\log_5 x} = \sqrt{2} \log_5 x + 1;
r)(3) 2x1gx+3x−1gx=52x^{1g x} + 3x^{-1g x} = 5;
d)(3) 2lg⁡2+(1+12x)lg⁡3−lg⁡(31x+27)=02\lg 2 + \left(1 + \frac{1}{2x}\right)\lg 3 - \lg \left(3^{\frac{1}{x}} + 27\right) = 0;
e)(6) (3)x+(3)x−10=84(\sqrt{3})^x + (\sqrt{3})^{x-10} = 84;
jx)(9) 2log⁡3(x−2)+log⁡3(x−4)2=02\log_3 (x-2) + \log_3 (x-4)^2 = 0;
3)(9) 3lg⁡x+2lg⁡1x=23\sqrt{\lg x} + 2\lg \sqrt{\frac{1}{x}} = 2;
i)(11) sin⁡x(sin⁡x+cos⁡x)=1\sin x (\sin x + \cos x) = 1;
k)(9) sin⁡xcos⁡xcos⁡2x=18\sin x \cos x \cos 2x = \frac{1}{8};
l)(9) cos⁡2x+cos⁡2x=0\cos 2x + \cos^2 x = 0;
m)(9) sin⁡2x+3(sin⁡x−cos⁡x)−32=0\sin 2x + \sqrt{3} (\sin x - \cos x) - \frac{3}{2} = 0;
n)(6) ctg42x+1sin⁡42x=25\mathrm{ctg}^4 2x + \frac{1}{\sin^4 2x} = 25;
o)(7) 2log⁡3(−sin⁡x)+log⁡3(1−sin⁡x×cos⁡x)+1=02\log_3 (-\sin x) + \log_3 \left(1 - \sin x \times \cos x\right) + 1 = 0;
p)(7) 23+2cos⁡2x+4=9⋅4cos⁡22x2^{3+2\cos 2x} + 4 = 9 \cdot 4\cos^2 2x;
p)(3) 23(tgx−ctgx)=tg2x+ctg2x−2\frac{2}{\sqrt{3}} (\mathrm{tg} x - \mathrm{ctg} x) = \mathrm{tg}^2 x + \mathrm{ctg}^2 x - 2;
c)(3) sin⁡22x+sin⁡24x=sin⁡26x\sin^2 2x + \sin^2 4x = \sin^2 6x;

73

hình nón có bán kính RR và chiều cao HH.

6(2). Trong số tất cả các hình nón ngoại tiếp một quả cầu có bán kính RR, hãy tìm hình nón có thể tích nhỏ nhất.

Hình học

1(11). Tổng các góc ở đáy của hình thang là 90∘90^\circ. Chứng minh rằng đoạn nối trung điểm các đáy bằng nửa hiệu hai đáy.

2(6). Diện tích của một tam giác vuông là 54 và các cạnh của nó có tỷ lệ 3:4. Xác định diện tích hình tròn được bao quanh bởi hình tam giác.

3(9). Trong một tam giác, độ dài hai cạnh aa và bb và góc giữa chúng aa đã biết. Tìm độ dài phân giác của góc này.

4(6). Tổng chiều dài đường chéo của hình thoi là 5 và diện tích của hình thoi là 2. Tìm cạnh của nó.

5(9). Một tam giác vuông được bao quanh một hình tròn có bán kính là 4, cạnh huyền là 36. Tìm chu vi của tam giác đó.

6(1). ABAB là đường kính của hình tròn có bán kính rr, MNMN là một dây cung. Các đoạn ABAB và MNMN không giao nhau. Các đường AMAM và BNBN cắt nhau tại điểm CC, nằm bên ngoài đường tròn và AC=aAC=a, BC=bBC=b. Tìm MNMN.

7(9). Một hình tam giác đều nội tiếp trong một hình tròn có bán kính RR, trong đó một hình tròn nội tiếp và trong hình tròn này là một hình vuông. Xác định cạnh của hình vuông.

8(9). Bán kính của các hình tròn đồng tâm có tỉ lệ 7:4, chiều rộng của hình cầu là 12. Xác định bán kính nhỏ hơn hình tròn.

9(3). Độ dài hai đáy của hình thang là aa và bb. Tìm độ dài của đoạn thẳng song song với đáy hình thang và chia nó thành hai hình đều (a>ba>b).

10(3). Trong hệ số tương đương của các bazơ là 0,75; đường giữa của hình thang bằng chiều cao của nó và bằng 7. Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp hình thang.

11(3). Ở đáy của paramid có một hình chữ nhật. Mỗi cạnh bên của paramid bằng ll và tạo các góc aa và β\beta với các cạnh liền kề của hình chữ nhật. Tìm thể tích của paramid.

12(11). Đáy của paramid là hình thoi, cạnh bằng aa và góc nhọn bằng aa. Mỗi góc vuông ở các cạnh của đáy bằng ϕ\phi. Tìm thể tích của paramid.

13(7). Các cạnh bên của một paramid tam giác đều vuông góc với nhau. Xác định góc nghiêng của sườn bên với mặt phẳng đáy.

14(1). Trong tam giác vuông ABCABC độ dài của chân aa và bb đã biết. Điểm OO nằm trong mặt phẳng của tam giác và cách các đỉnh của góc nhọn một khoảng bằng 58\frac{5}{8} chiều dài cạnh huyền và cách xa đỉnh của góc vuông - ở khoảng cách lớn hơn. Tìm khoảng cách từ điểm OO đến đỉnh của góc vuông.

15(6). Trong nhận dạng ABCA1B1C1ABCA_1B_1C_1, điểm MM nằm trên đoạn [B1C1][B_1C_1] sao cho sự tương ứng ∣B1M∣∣B1C1∣=23\frac{|B_1M|}{|B_1C_1|} = \frac{2}{3} được thỏa mãn. Phân tách vectơ AM→\overrightarrow{AM} thành vectơ AB→,AC→,AA→\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AA}.

16(7). Một quả cầu có bán kính RR được nội tiếp trong một hình nón; từ tâm quả bóng, có thể nhìn thấy đường sinh của hình nón ở một góc α\alpha. Tìm thể tích của hình nón.

17(6). Một hình nón được nội tiếp thành một paramid tứ giác đều từ cạnh đáy aa và phần apphema mm. Tìm tổng diện tích bề mặt của nó.

18(7). Xác định cạnh của hình lập phương nội tiếp trong hình nón có đường sinh bằng ll và nghiêng với mặt phẳng đáy một góc α\alpha.

19(1). Hai quả cầu có bán kính rr và RR chạm vào nhau được ghi trong một hình nón. Tìm diện tích phần bề mặt của hình nón nằm giữa các đường tiếp xúc của hình nón với các quả bóng.

Vật lý

Cơ khí

1(3). Quá trình phanh của tàu điện ngầm bắt đầu ở khoảng cách l0=200l_0=200 m tính từ ga. Ở cuộc đua nào

74

Khi rời ga sẽ có một đoàn tàu chuyển động với vận tốc v0=30v_0=30 m/s, t=7t=7 s sau khi bắt đầu phanh với gia tốc a=−5a=-5 m/s²?

2 (1). Âm thanh của một phát súng và một viên đạn đồng thời đạt tới độ cao H=680H=680 m. Cú bắn được bắn thẳng đứng hướng lên trên; Không có lực cản đối với chuyển động của viên đạn từ phía không trung. Tốc độ ban đầu của viên đạn là bao nhiêu nếu tốc độ âm thanh là v=340v=340 m/s?

3 (4). Trong vở hài kịch “Khốn nạn từ Wit” của A. S. Griboyedov có những câu thoại:

Tôi đang xây dựng bzantrell cho các quý ông này
Lái xe đến thủ đô để chụp ảnh.
Biểu thị khoảng cách này bằng mét trong trường hợp viên đạn được bắn từ pháo theo góc α=30∘\alpha=30^\circ so với đường chân trời và điểm trên cùng của đường bay của đạn ở độ cao H=3125H=3125 m. Bỏ qua sức cản của không khí, lấy gia tốc rơi tự do bằng g=10g=10 m/s2.

4 (5). Các phương trình động học của chuyển động của vật được cho: x=Rsin⁡ωtx=R \sin \omega t, y=Rcos⁡ωty=R \cos \omega t. Tìm quỹ đạo và gia tốc (mô đun và hướng) của nó. Ý nghĩa của RR và ω\omega tích hợp là gì?

5 (6). Một ô tô có khối lượng m=16m=16 t, chuyển động theo quán tính với tốc độ v=36v=36 km/h, dừng lại sau khi đi được quãng đường l=0,5l=0,5 km. Tính lực ma sát.

6 (10). Một ô tô có khối lượng m=2⋅103m=2 \cdot 10^3 kg, chuyển động từ trạng thái đứng yên dọc theo một đường nằm ngang, đạt tốc độ v=20v=20 m/s sau t=10t=10 s kể từ khi bắt đầu chuyển động. Hệ số ma sát μ=0,1\mu=0,1. Xác định lực của hệ thống đẩy tự động. Trình bày kết quả bằng kilonewton (kN). Lấy g=10g=10 m/s².

7 (5). Tìm lực ma sát nếu hệ số ma sát là μ=0,5\mu=0,5, khối lượng cơ thể là m=0,6m=0,6 kg và lực tác dụng một góc α=30∘\alpha=30^\circ so với đường chân trời là F=2F=2 N (hình 1).

8 (1). Xuống một mặt phẳng nghiêng tạo một góc α\alpha với đường chân trời thì tải có thể trượt đều. Tải trọng này sẽ di chuyển bao xa trước khi dừng lại nếu nó được cho tốc độ ban đầu v0v_0 hướng lên trên trên mặt phẳng nghiêng?

9(1). Một vật có khối lượng mm trượt dọc theo một mặt bàn nằm ngang nhẵn và một lò xo được gắn vào tường (hình 2). Tìm gia tốc cực đại của vật nếu vận tốc của nó với lò xo không bị uốn bằng v0v_0. Độ cứng của lò xo kk.

10 (1). Một quả cầu có khối lượng mm quay với tốc độ góc không đổi ω\omega trong mặt phẳng nằm ngang trên một thanh có chiều dài ll, đóng cứng trên trục ABAB (hình 3). Với lực tác dụng lên thanh là bao nhiêu?

11 (11). Bán kính tay cầm của cổng gỗ lớn gấp 3 lần bán kính của trục nơi quấn cáp. Tốc độ tuyến tính của đầu tay cầm khi nâng thùng từ độ sâu h=10h=10 m trong t=20t=20 s là bao nhiêu?

12 (6) Xác định công suất do máy kéo sinh ra nếu nó chuyển động lên dốc với độ dốc α=30∘\alpha=30^\circ với tốc độ v=10v=10 m/s. Trọng lượng máy kéo m=5m=5 t, hệ số ma sát μ=0,3\mu=0,3.

13(4). Máy bay có khối lượng m=1000m=1000 kg phải đạt tốc độ v=25v=25 m/s để cất cánh trên đường băng dài l=100l=100 m. Giả sử chuyển động có gia tốc đều, hãy ước tính giá trị nhỏ nhất của công suất động cơ tại thời điểm cất cánh. Hệ số ma sát μ=0,02\mu=0,02.

14 (10). Một hòn đá được ném từ một bazni nằm ngang có độ cao h=30h=30 m. Tìm thế năng của hòn đá

75

t=2t=2 s sau khi bắt đầu chuyển động. Khối lượng của hòn đá là m=200m=200 g. Trình bày kết quả theo đơn vị SI. Chấp nhận g=10g=10 m/c2^2.

15 (8). Một quả bóng có khối lượng mm được treo trên những sợi dây có chiều dài ll. Một con lắc như vậy bị lệch khỏi vị trí cân bằng một góc 90∘90^\circ và được thả ra. Ở góc nào giữa sợi dây và đường thẳng đứng thì sợi dây sẽ đứt nếu biết rằng nó có thể đỡ được trọng lượng gấp đôi quả bóng?

16 (8). Một quả bóng đàn hồi rơi từ độ cao h=2h=2 m. Sau mỗi lần va chạm, quả bóng giữ lại k=81%k=81\% năng lượng. Sau bao lâu quả bóng sẽ dừng lại?

17 (5). Ba quả bóng đàn hồi giống hệt nhau bay lên trên những sợi dây song song có chiều dài bằng nhau và chạm vào nhau. Một trong hai quả bóng bị lệch vuông góc với đường thẳng nối tâm của hai quả bóng còn lại và được thả ra. Tìm vận tốc của hai quả bóng sau va chạm nếu lúc va chạm hai quả bóng đang bay có vận tốc v0v_0.

18 (4). Năng lượng tích trữ trong một lò xo kẹp giữa hai vật là W=100W=100 J. Khối lượng của một vật là m1=900m_1=900 g, và vật kia là m2=100m_2=100 g. Năng lượng sẽ được phân bổ như thế nào sau khi lò xo được thả ra? Người ta cho rằng lò xo giải phóng năng lượng từ khối lượng này.

19(4). Lượng nhiệt toả ra tối đa là bao nhiêu khi một quả cầu có khối lượng m=200m=200 g, chuyển động với tốc độ v=10v=10 m/s, va chạm với một quả cầu đang đứng yên có khối lượng như vậy?

20 (1). Một vật có khối lượng mm, chìm trong chất lỏng có mật độ ρ1\rho_1, ấn vào đáy một lực F1F_1. Bộ phận nào của cơ thể sẽ được đưa vào chất lỏng có mật độ ρ2\rho_2, trên bề mặt mà nó nổi?

21 (10). Sau khoảng thời gian nào kể từ khi bắt đầu dao động thì độ dời của điểm so với vị trí cân bằng bằng một nửa biên độ, nếu chu kỳ dao động là T=24T=24 s thì pha ban đầu bằng 0 và dao động xảy ra theo định luật hình sin? Trình bày kết quả theo đơn vị SI.

22 (11). Một con lắc có khối lượng mm bị lệch khỏi phương thẳng đứng một góc α\alpha. Lực căng của sợi dây khi nam châm đi qua vị trí cân bằng là bao nhiêu?

Vật lý phân tử

1 (11). Phân tử hơi bạc có tốc độ bao nhiêu nếu góc trộn trong mẫu Stern là φ=5,4∘\varphi=5,4^\circ tại tần số quay của thiết bị n=150n=150 s−1^{-1}? Khoảng cách giữa xi lanh bên trong và bên ngoài là d=2d=2 cm.

2 (6). Sự khác biệt tối đa giữa và trong mùa hè ở áp suất khí quyển bình thường (p=105p=10^5 N/m2^2) trong khối không khí lấp đầy một căn phòng có thể tích V=100V=100 m3^3 là bao nhiêu, nếu vào mùa hè, nhiệt độ trong phòng tăng lên t1=30t_1=30 °C và vào mùa đông giảm xuống t2=10t_2=10 °C? Khối lượng của một kilomol không khí là M=29M=29 kg/kmol, hằng số khí phổ quát là R=8,31⋅103R=8,31\cdot10^3 J/(kmol K).

3 (3). Khí vảy đẳng nhiệt có thể tích ban đầu từ V1=0,15V_1=0,15 m3^3 đến V2=0,1V_2=0,1 m3^3. Trong trường hợp này, áp suất tăng Δp=20\Delta p=20 Pa. Áp suất ban đầu của khí là bao nhiêu?

4 (6). Một bình có thể tích V=500V=500 cm3^3 chứa không khí được làm nóng đến nhiệt độ t1=227t_1=227 ° C, sau đó hạ cổ xuống trong nước. Khối lượng nước sẽ được hút vào bình khi nhiệt độ của bình giảm xuống t2=27t_2=27 °C là bao nhiêu? Bỏ qua sự thay đổi thể tích của bình.

5 (8). Hai bình có cùng phần mở rộng chứa không khí: một bình có nhiệt độ T1T_1 và áp suất p1p_1, bình kia có nhiệt độ T2T_2 và áp suất p2p_2. Các bình được kết nối với nhau và sau khi cân bằng áp suất và nhiệt độ, không khí được làm nóng đến nhiệt độ TT. Áp lực nào được đặt ra trong trường hợp này?

6 (8). Chúng tôi đã trộn V1=1V_1=1 m3^3 không khí với độ ẩm φ1=20%\varphi_1=20\% và V2=2V_2=2 m3^3 không khí với độ ẩm φ2=30%\varphi_2=30\%. Hơn nữa, cả hai phần đều được lấy ở cùng nhiệt độ. Xác định độ ẩm tương đối của hỗn hợp.

7 (10). Mưa đá phải rơi từ độ cao nào (với nhiệt độ 00 °C) để hạt mưa đá tan chảy khi chạm đất? Sức cản của không khí không

76

coi như. Nhiệt dung riêng của sự tan chảy của băng λ=3,3⋅105\lambda=3,3 \cdot 10^5 J/kg, rễ rơi tự do g=10g=10 m/s2^2.
Đáp số tính bằng km (km).

Điện động lực học

1 (3). Tại các đỉnh của hình vuông ở cạnh aa có bốn điện tích: hai điện tích bằng +q+q và hai điện tích bằng −q-q. Xác định hướng của điện trường tại giao điểm của hình vuông chéo. Khoảng cách thay đổi tùy theo từng trường hợp.

2 (5). Hai quả cầu kim loại giống nhau có bán kính aa mỗi quả tạo thành một tụ điện. Khoảng cách rr giữa các quả bóng lớn đến mức có thể coi sự phân bố điện tích trên bề mặt của chúng là đồng đều. Tính điện dung của tụ điện như vậy, trường hợp giới hạn khoảng cách r→∞r \rightarrow \infty.

3 (11). Các điện tích q1=40q_1=40 và q2=−10q_2=-10 ikl nằm cách nhau l=10l=10 cm. Cần lấy điện tích thứ ba nào và đặt nó ở đâu để hệ cân bằng? Trạng thái cân bằng sẽ ổn định hay không ổn định?

4 (10). Một quả bóng có khối lượng m=0,4m=0,4 g và điện tích q=4,9⋅10−7q=4,9 \cdot 10^{-7} C được treo trên một sợi dây trong một điện trường đều, các lực của lực đó là tuyến tính và nằm ngang. Dây lệch một góc bao nhiêu so với phương thẳng đứng nếu hướng của từ trường là E=8,0⋅103E=8,0 \cdot 10^3 V/m? Trình bày kết quả theo độ. Chấp nhận g=9,8g=9,8 m/c2^2.

5 (6). Dây dẫn được nối với vòng dây. Các điểm nối chia chu vi theo tỷ lệ nào nếu tổng điện trở của mạch thu được nhỏ hơn 6,25 lần điện trở của vòng?

6 (8). Một ampe kế và một vôn kế mắc nối tiếp với một cục pin có suất điện động E=6\mathcal{E}=6 V. Khi một điện trở mắc song song với vôn kế, số chỉ của ampe tăng gấp đôi và số chỉ của vôn kế giảm đi một nửa. Xác định số chỉ vôn kế trước khi nối điện trở. Không biết điện trở của điện trở và thiết bị cũng như điện trở trong của nguồn.

7 (10). Với cường độ dòng điện I1=4I_1=4 A, công suất P1=18P_1=18 W được giải phóng trong mạch ngoài của pin và với cường độ dòng điện I2=2I_2=2 A - tương ứng là P2=10P_2=10 W. Xác định suất điện động của pin. Trình bày kết quả theo đơn vị SI.

8 (1). Khi một điện tích q=20q=20 C di chuyển qua một dây dẫn có điện trở R=0,5R=0,5 Ohm thì công việc được thực hiện A=100A=100 J. Tìm thời gian dòng điện chạy qua dây dẫn, coi nó không đổi.

9 (11). Một xe buýt có khối lượng m=11m=11 t chuyển động đều với vận tốc v=36v=36 km/h. Tìm dòng điện trong cuộn dây động cơ nếu hướng là U=550U=550 V và hiệu suất là η=80%\eta=80\%. Hệ số cản chuyển động μ=0,02\mu=0,02.

10 (4). Lò sưởi samovar điện bao gồm hai yếu tố. Khi phần tử đầu tiên được kết nối với mạng, nước trong samovar sẽ sôi trong t1=15t_1=15 phút, khi chỉ phần tử thứ hai được kết nối - trong t2=20t_2=20 phút. Sẽ mất bao lâu để nước sôi trong ấm đun nước nếu cả hai phần tử được kết nối với mạng: a) nối tiếp, b) song song?

11(3). Một viên pin có EMF E=60\mathcal{E}=60 V và điện trở trong r=4r=4 Ohm được đóng vào mạch ngoài tiêu thụ điện năng P=200P=200 W. Xác định cường độ dòng điện trong mạch, độ giảm hướng trong mạch ngoài, điện trở của mạch ngoài.

12 (6). Một cuộn dây có đường kính d=0,4d=0,4 m nằm trong từ trường xen kẽ. Khi cảm ứng từ trường thay đổi ΔB=127,4\Delta B=127,4 T trong Δt=2\Delta t=2 s, một sức điện động cảm ứng E=200\mathcal{E}=200 V được kích thích trong cuộn dây. cuộn dây có bao nhiêu vòng?

13 (11). Tốc độ của máy bay với động cơ phản lực là v=950v=950 km/h. Tìm lực điện động cảm ứng phát sinh ở hai đầu cánh của một chiếc máy bay như vậy nếu thành phần thẳng đứng của cảm ứng từ trường trái đất là B=5⋅10−5B=5 \cdot 10^{-5} T và sải cánh của máy bay là l=12,5l=12,5 m.

14 (4). Nối với một tụ điện có điện tích q=2,5⋅10−10q=2,5 \cdot 10^{-10} C

78

Hình 1.

e) (0; log⁡34/3\log_3 4/3); e) [−29/9; −5/3]; g) (0; 1/4) ∪ (1; 8); h) (−3; −2) ∪ (0; 2); i) (1; 3/2) ∪ (2; 5/2) ∪ (3; ∞); j) (2−2^{-\sqrt{2}}; 1/2) ∪ (1; 22^{\sqrt{2}}); k) (1000; ∞); m) (1−5\sqrt{5}; −1) ∪ (2; 1+5\sqrt{5}); n) (0, (3−5\sqrt{5})/2) ∪ ((3+5\sqrt{5})/2; 3) với 0 < a < 1; (−∞; 0) ∪ (3; +∞) với a > 1; (0; (3−5\sqrt{5})/2) ∪ ((3+5\sqrt{5})/2; 3) với a = 0; ∅ cho phần còn lại a.
12. a) {(−5; −7); (7; 5)}; b) {(2; 1)}; c) {(5,5; 0,5)}; d) {(4−2^{-2}; 4−1^{-1}; (4−1^{-1}; 4−2^{-2})}; k) {(4; 1)}; f) {(11; 5)}; g) {(5; 27); (−3; 3−2^{-2})};
h) {(π4(4k±1);π3(6n±1))}\left\{\left(\frac{\pi}{4}(4k \pm 1); \frac{\pi}{3}(6n \pm 1)\right)\right\}, k, n ∈ Z;
i) {(π2+πk;±π3+2πl)}\left\{\left(\frac{\pi}{2} + \pi k; \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi l\right)\right\}, k, l ∈ Z.
13. (1−2a21−a2;a1−a2)\left(\frac{1-2a^2}{1-a^2}; \frac{a}{1-a^2}\right) cho a ≠ ±1.
14. a = −4. 15. a = 2. 16. −9, 1.

Phân tích

  1. Xem hình 1 (a, b, f).
  2. a) xmin⁡=1/4x_{\min} = 1/4; b) xmax⁡=3x_{\max} = 3; c) xmin⁡=1/6x_{\min} = 1/6.
  3. a) (−∞; 0) và (3; 12) - khoảng giảm (0; 8) và (12; ∞) - khoảng tăng, x = 0 và x = 12 - điểm tối thiểu, x = 8 - điểm tối đa;
  1. (−∞; 0) và (2; ∞) là các khoảng tăng, (0; 1) và (1; 2) là các khoảng giảm, xˉ=0\bar{x} = 0 là điểm tối đa, x=2x = 2 là điểm tối thiểu.
  1. f(x)=f(2)=42f(x) = f(\sqrt{2}) = 4\sqrt{2}, f(x)=f(3)=−9f(x) = f(3) = -9.
  2. πR2H/27\pi R^2 H/27. 6. Hình nón có chiều cao 4R và bán kính đáy R2R\sqrt{2}.

Hình học
2. 56,25π. 3. 2abcos⁡τ/2a+b\frac{2ab \cos \tau/2}{a+b}. 4. 17/2\sqrt{17}/2. 5. 80.
6. r(a2+b2−4r2)/abr(a^2+b^2-4r^2)/ab. 7. R/2R/\sqrt{2}. 8. 16.
9. (a2+b2)/2\sqrt{(a^2+b^2)/2}. 10. 5.
11. 43l3cos⁡αcos⁡βsin⁡2α−cos⁡2β\frac{4}{3} l^3 \cos \alpha \cos \beta \sqrt{\sin^2 \alpha - \cos^2 \beta}.
12. a36sin⁡2αtgφ\frac{a^3}{6} \sin^2 \alpha \mathrm{tg} \varphi. 13. arccos 2/3\sqrt{2}/3.
14. 1825(a2+b2)+48ab\frac{1}{8} \sqrt{25(a^2+b^2)+48ab}.
15. AM→=13AB→+23AC→+AA→\overrightarrow{AM} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} + \frac{2}{3} \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA}.

  1. −13πR3tg3αtg2α-\frac{1}{3} \pi R^3 \mathrm{tg}^3 \alpha \mathrm{tg} 2\alpha. 17. πa4(a+2m)\frac{\pi a}{4} (a+2m).
  2. l2sin⁡α2+tgα\frac{l\sqrt{2} \sin \alpha}{\sqrt{2} + \mathrm{tg} \alpha}. 19. 4πRr4\pi Rr.

Vật lý
Cơ học

  1. l=l0−(v0t0+at02)/2=110l = l_0 - (v_0 t_0 + at_0^2)/2 = 110 m, trong đó t0=−v0/a=6t_0 = -v_0/a = 6 s là thời gian cho đến khi tàu dừng hẳn.
  2. v0=v+gH/(2v)≈350v_0 = v + gH/(2v) \approx 350 m/c.
  3. l=4Hctgα≈21650l = 4H \mathrm{ctg} \alpha \approx 21 650 m.
  4. Phương trình quỹ đạo: x2+y2=R2x^2 + y^2 = R^2. Đây là phương trình của một đường tròn, bán kính của nó bằng R. Gia tốc của vật hướng dọc theo bán kính đến tâm đường tròn và có độ lớn bằng a = ω2R\omega^2 R, trong đó ω\omega là tần số vòng tròn.
  5. Fтр=mv2/(2l)=1,6F_{\text{тр}} = mv^2/(2l) = 1,6 kN.
  6. Fτ=m(μg+v/t)=6F_{\tau} = m(\mu g + v/t) = 6 kN.
  7. Fтрπρcos⁡α=Fcos⁡α≈1,7F_{\text{тр}} \pi \rho \cos \alpha = F \cos \alpha \approx 1,7 N.
  8. l=v02/(4gsin⁡α)l = v_0^2/(4g \sin \alpha).
  9. amax⁡=v0k/ma_{\max} = v_0 \sqrt{k/m}.
  10. F=mg2+ω2l2F = m\sqrt{g^2 + \omega^2 l^2}.
  11. v=3h/t=1,5v = 3h/t = 1,5 m/c.
  12. N=mgv(sin⁡α+μcos⁡α)≈380N = mgv(\sin \alpha + \mu \cos \alpha) \approx 380 kW.
  13. Nmin⁡=mv(μg+v2/(2l))≈83N_{\min} = mv(\mu g + v^2/(2l)) \approx 83 kW.
  14. W=mg(h−gt2/2)=20W = mg(h - gt^2/2) = 20 J.
  15. α=arccos⁡2/3≈48∘\alpha = \arccos 2/3 \approx 48^\circ.
  16. t=2hg1+k1−k≈12t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \frac{1 + \sqrt{k}}{1 - \sqrt{k}} \approx 12 tr.
  17. v1=−v0/5;v2=v3=23v0/5v_1 = -v_0/5; v_2 = v_3 = 2\sqrt{3}v_0/5.
  18. W1=Wm2/(m1+m2)=10W_1 = W_m^2/(m_1 + m_2) = 10 J;
    W2=Wm2/(m1+m2)=90W_2 = W_m^2/(m_1 + m_2) = 90 J.
  19. Q=mv2/4=5Q = mv^2/4 = 5 J.
  20. V2V=ρ1ρ2mgmg−F1\frac{V_2}{V} = \frac{\rho_1}{\rho_2} \frac{mg}{mg-F_1}.
  21. t=T/12=2t = T/12 = 2 tr.
  22. T=mg(3−2cos⁡α)T = mg(3 - 2 \cos \alpha).

Vật lý phân tử

  1. v=2πnd/φ=200v = 2\pi nd/\varphi = 200 m/c.
  2. m2−m1=pVM(T1−T2)/(RT1T2)=8,1m_2 - m_1 = pVM(T_1 - T_2)/(RT_1 T_2) = 8,1 kg.
  3. p1=ΔpV2/(V1−V2)=40p_1 = \Delta pV_2/(V_1 - V_2) = 40 Bố.
  4. mB=ρBV(1−T2/T1)=0,2m_B = \rho_B V(1 - T_2/T_1) = 0,2 kg.
  5. p=T2(p1T1+p2T2)p = \frac{T}{2}\left(\frac{p_1}{T_1} + \frac{p_2}{T_2}\right).
  6. φ=(φ1V1+φ2V2)/(V1+V2)≈27%\varphi = (\varphi_1 V_1 + \varphi_2 V_2)/(V_1 + V_2) \approx 27\%.
  7. h=λ/g=33h = \lambda/g = 33 km.

Điện động lực học

  1. E = 0 nếu tại hai đầu đường chéo có

79

các điện tích cùng tên, và E=2q/(a2πε0)E = \sqrt{2}q / (a^2\pi\varepsilon_0), nếu có các điện tích ở hai đầu đường chéo.

  1. C=πε0a(1+a/r)C = \pi\varepsilon_0 a(1 + a/r).

  2. q3=40q_3 = 40 nCl; lần sạc này phải cách lần sạc thứ hai 10 cm và cách lần sạc thứ nhất 20 cm; không ổn định như nhau.

  3. α=arctgqEmg=45∘\alpha = \arctg \frac{qE}{mg} = 45^\circ.

  4. l1:l2=1:4l_1:l_2 = 1:4.

  5. U=2/3E=4U = 2/3E = 4 V.

  6. E=P2I12−P1I22I1I2(I1−I2)=5,5\mathcal{E} = \frac{P_2I_1^2 - P_1I_2^2}{I_1I_2(I_1 - I_2)} = 5,5 V.

  7. t=q2R/A=2t = q^2R/A = 2 tr.

  8. I=μmgv/(ηU)=50I = \mu mgv / (\eta U) = 50 A.

  9. a) t=t1+t2=35t = t_1 + t_2 = 35 phút; b) t=t1t2/(t1+t2)≈8,6t = t_1 t_2 / (t_1 + t_2) \approx 8,6 phút.

  10. Có thể xảy ra hai trường hợp: 1) I1=10I_1 = 10 A, U1=20U_1 = 20 B, R1=2R_1 = 2 Ohm; 2) I2=5I_2 = 5 A, U2=40U_2 = 40 B, R2=8R_2 = 8 Ohm.

  11. n=4Eπd2(ΔB/Δt)=25n = \frac{4\mathcal{E}}{\pi d^2(\Delta B/\Delta t)} = 25.

  12. E=Blv≈165\mathcal{E} = Blv \approx 165 mV.

  13. Im=2πvq≈0,06I_m = 2\pi vq \approx 0,06 A.

  14. δ≈41∘\delta \approx 41^\circ (tại cạnh AC, chùm tia bị phản xạ toàn phần).

  15. d=h=0,2d = h = 0,2 xem

  16. φ′=arcsin⁡(3/2sin⁡φ)=21∘\varphi' = \arcsin (3/2 \sin \varphi) = 21^\circ.

Các yếu tố của lý thuyết tương đối

  1. Δm=kx2/(2c2)=50\Delta m = kx^2 / (2c^2) = 50 acg.

Vật lý lượng tử

  1. λ=hc/(eU)=3⋅10−7\lambda = hc / (eU) = 3 \cdot 10^{-7} m.

Câu đố

(xem khu vực trang thứ 4)

  1. Để tháo con thoi ở vị trí B, trước tiên bạn phải luồn vòng (k−1)(k - 1) vào đó - việc này sẽ yêu cầu Lk−1L_{k-1} di chuyển - và tháo vòng kk (1 lần di chuyển). Kết quả sẽ là vị trí B, nhưng đối với meleda có vòng k−1k - 1. Bây giờ, để thả con thoi, bạn cần thực hiện một động tác Lk−1L_{k-1} khác. Vì vậy, Lk=2Lk−1+1L_k = 2L_{k-1} + 1. Nếu ở vị trí ban đầu con thoi đi qua tất cả các vòng kk (hình A), thì trước tiên bạn cần loại bỏ các vòng 1, 2, …, k−2k - 2 (Mk−2M_{k-2} di chuyển) khỏi nó, sau đó là vòng kk. Các nước đi Lk−1L_{k-1} cuối cùng giống như ở lần giao bóng đầu tiên. Vì vậy, Mk=Mk−2+1+Lk−1M_k = M_{k-2} + 1 + L_{k-1}.

  2. Viết lại sự tương ứng cho LkL_k thành Lk+1=2(Lk−1+1)L_k + 1 = 2(L_{k-1} + 1) và thay thế bằng L1=1L_1 = 1, chúng ta nhận được: Lk+1=2kL_k + 1 = 2^k, tức là Lk=2k−1L_k = 2^k - 1. Do đó, Mk=Mk−2+2k−1M_k = M_{k-2} + 2^{k-1} và M1=1M_1 = 1, M2=2M_2 = 2. Từ đây dễ dàng suy ra các công thức: Mk=(2k+1−1)/3M_k = (2^{k+1} - 1)/3 cho số lẻ kk, Mk=(2k+1−2)/3M_k = (2^{k+1} - 2)/3 cho số chẵn kk. Ta biểu thị bằng ii thao tác tháo vòng ii khỏi con thoi, bằng i′i' thao tác luồn vòng này vào con thoi, bằng fkf_k trình tự các bước di chuyển để thả con thoi ở vị trí B. Lập luận tương tự như ở bài toán 1), ta thu được fk=fk−1kfk−1f_k = f_{k-1} k f_{k-1}, trong đó fk−1=i′f_{k-1} = i' là phép toán nghịch đảo của fkf_k. Polyag f−1gf=f∗gf^{-1} gf = f * g, chúng ta có thể viết lại đẳng thức này dưới dạng fk=fk−1∗k=(fk−2∗(k−1))∗k=...=(...(1∗2)∗3)∗...∗(k−1))∗kf_k = f_{k-1} * k = (f_{k-2} * (k - 1)) * k = ... = (...(1 * 2) * 3) * ... * (k - 1)) * k; ví dụ: cho k=3k = 3 f3=1′2′131′21f_3 = 1'2'131'21. trình tự để loại bỏ con thoi ở vị trí A với số lẻ kk tùy ý trông như thế này: 13f25f4…kfk−113f_25f_4 \dots kf_{k-1} và với số chẵn k−214f36f5…kfk−1k - 214f_36f_5 \dots kf_{k-1}.

Lời giải bài toán 3) chúng tôi dành cho người đọc: ở đây không có sự khác biệt cơ bản nào so với trường hợp meleda.

Sức mạnh của Archimedes

trong tác phẩm văn học

(xem «Kvant» số 5)

  1. Lực của Archimedes không phát sinh vì dưới thuyền không có nước.

  2. Mật độ của nước mặn lớn hơn nước ngọt.

  3. Mật độ của nước cản trở sự gia tăng nhiệt độ.

  4. Điều kiện cân bằng của một tấm có tải trọng m−FA=mgm - F_A = mg, (chúng ta giả sử rằng khối lượng của tấm nhỏ hơn nhiều so với khối lượng của tải), tức là.

ρBgV=mg⇒ρBπd24⋅h2=m;\rho_B gV = mg \Rightarrow \rho_B \pi \frac{d^2}{4} \cdot \frac{h}{2} = m;

ở đây d≈2d \approx 2 m là đường kính của chiếc lá, h≈0,07h \approx 0,07 m là chiều cao của hàng rào, ρB≈103\rho_B \approx 10^3 kg/m3^3 là mật độ của nước. Do đó m≈110m \approx 110 kg.

  1. FA=(mπ+mK)gF_A = (m_\pi + m_K) g, tức là ρBVπ=ρπVπ+mK\rho_B V_\pi = \rho_\pi V_\pi + m_K. Thể tích tảng băng Vπ=ShV_\pi = Sh. Chúng ta chỉ đặt tảng băng có khối lượng bằng h≈0,5h \approx 0,5 m, khối lượng của con bò mK≈500m_K \approx 500 kg. Khi đó diện tích tảng băng là

S=mK(ρB−ρπ)h≈500(1⋅103−0,9⋅103)⋅0,5m2=10m2.S = \frac{m_K}{(\rho_B - \rho_\pi) h} \approx \frac{500}{(1 \cdot 10^3 - 0,9 \cdot 10^3) \cdot 0,5} m^2 = 10 m^2.

  1. Ratibor sẽ có thể chìm xuống đáy nếu lực hấp dẫn tác dụng lên nó lớn hơn lực Archimedean.

  2. FA=10m3g+ρπgVπ⇒Vπ=10m3ρB−ρπF_A = 10m_3g + \rho_\pi gV_\pi \Rightarrow V_\pi = \frac{10m_3}{\rho_B - \rho_\pi}.

Nếu khối lượng của thỏ rừng là m3≈3m_3 \approx 3 kg, mật độ của cây (thông) là ρπ=0,5⋅103\rho_\pi = 0,5 \cdot 10^3 kg/m3^3 thì thể tích tối thiểu của khúc gỗ là Vπ≈0,06V_\pi \approx 0,06 m3^3.

  1. Thân của kuggy chứa đầy các tế bào không khí.

  2. Áp suất khí quyển giết chết theo độ cao. Áp suất khí trong vỏ bong bóng cũng giảm khi nó tăng lên (nhiệt độ giảm), nhưng chậm hơn so với áp suất bên ngoài. Lực áp suất khí từ bên trong có thể làm giảm sức nén của vỏ.

  3. Khí cầu không cần năng lượng để duy trì chúng ở trên không.

«Kvant» cho học sinh nhỏ

(xem «Kvant» số 5)

  1. Để đánh bại Serpent-Gornych, Ivan Tsarevich phải chặt một số đầu chẵn. Đầu mới chỉ xuất hiện khi đuôi bị cắt đi. Vì có ba cái đuôi nên khi cắt hết đuôi thì có ít nhất hai cái đầu mọc ra. Điều này có nghĩa là số bàn thắng phải không ít hơn sáu. Bạn sẽ có được cái đầu thứ sáu nếu lần lượt chặt từng cái đuôi. Sau đó, bạn cần chặt những cái đầu rơi xuống ba lần. Chỉ có 9 lượt truy cập.

  2. Nếu chúng ta giả sử rằng phép cộng đã hoàn thành thì hai chữ số cuối cộng lại bằng 15, số thứ hai đến số cuối cộng lại thành 13, rồi 11, 15 và 13. Tổng của các số này là 67; nhưng số này gấp đôi tổng các chữ số của số đầu tiên nên sẽ không thu được số lẻ

80

Tổng biên tập -
Viện sĩ Yu. A. Osipyan

Phó tổng biên tập:
V. N. Borovishki, A. A. Varlamov,
V. A. Leshkovtsev, Yu. P. Solovyov

Tuyển tập biên soạn:
A. A. Abrikosov, M. I. Bashmkov,
V. E. Belonuchkin, V. G. Boltyansky,
A. A. Borovoy, Yu. M. Brook, V. V. Vavilov,
N. V. Vasiliev, S. M. Voronin, V. V. Gnedenko,
V. L. Gutenkhacher, N. P. Dolbilin,
V. N. Dubrovsky, A. N. Zemlykov,
A. R. Zilberman, S. M. Kozel, S. S. Krotov,
L. D. Kudryavtsev, A. A. Leonovich,
S. P. Novikov, T. S. Petrova, M. K. Potapov,
V. G. Razumovsky, N. A. Rodina, N. Kh. Rozov,
A. P. Savin, Vâng. A. Smorodinsky,
A. V. Sosinsky, V. M. Uroev, V. A. Fabrikant

Ban biên tập:
A. M. Baldin, S. T. Belyaev, E. P. Velikov,
Tôi. Vâng. Verchenko, V. V. Vozdvizhensky,
G. V. Dorofeev, N. A. Erpmolaeva,
A. P. Ershov, Yu. V. Ivanov, V. A. Kirilin,
G. L. Kotkin, R. N. Kuzmin, A. A. Logunov,
V. V. Mozhaev, V. A. Orlov, N. A. Patrikeeva,
R. Z. Sagdeev, S. L. Sobolev, A. L. Stasenko,
I. K. Surin, E. L. Surkov, L. D. Faddeev,
V. V. Firsov, G. N. Ykovlev

Số đã được chuẩn bị:
A. N. Villenkin, A. A. Egorov, L. V. Kardasevich,
I. N. Klumova, T. S. Petrova,
A. V. Sosinsky, V. A. Tikhomirova

Số đã được phát hành:
Yu. A. Vashchenko, M. V. Dubakh, S. V. Ivanov, D. A. Krymov,
N. S. Kuzmina, T. N. Kolchenko, E. V. Nazarov,
E. K. Tenchurina, I. E. Smirnova, P. I. Chernusky,
V. V. Yudin

Đã gửi ảnh
E. Gunchenko

biên tập nghệ thuật
S. V. Ivanov
Biên tập viên nghệ thuật T. M. Makarov
Trưởng ban biên tập L. V. Chernova

Người hiệu đính M. L. Medvedskaya

Giao hàng vào ngày 15/04/88. Ký xuất bản ngày 27 tháng 5 năm 1988.
T-12536. Vumaga 70×100/16. in offset
CR.-ott có điều kiện. 27.09. Lò nướng có điều kiện l. 6 giờ 45. Biên tập học thuật. tôi. 7.6.
Lưu hành 197.364 bản. Giá 40 kopecks. Đặt hàng 928

Lệnh thay thế lao động đỏ
Nhà máy in Chekhov
VO “Soizpolgrafprom”
Ủy ban Nhà nước Liên Xô
cho công việc xuất bản và in ấn
và buôn bán sách
142300 Chekhov, khu vực Moscow

103006 Mátxcơva K-6, st. Gorky, 32/1, «Kvant»
điện thoại. 250-33-54